精品解析：陕西省西安市阎良区2024—-2025学年上学期数学期中测试九年级数学试卷

2024~2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 4. 当用公式法解方程时，的值为（ ） A. 2 B. C. 17 D. 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，点，在上，若，，则的长为（ ） A. B. 20 C. D. 8. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B的坐标为________． 10. 一元二次方程的解是________． 11. 请写出一个二次函数解析式，使其图象的对称轴为直线：________________．（写一个即可） 12. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，于点，且，则这段弯路所在圆的半径为______． 13. 如图，在△ABC中，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC，则图中阴影部分的面积为_____． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 16. 已知二次函数（m是常数），求证：该二次函数的图象与x轴始终有交点． 17. 如图，四边形是正方形，点E在边上，连接，将旋转得到． （1）旋转中心是点 ，旋转角 ； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，在图中作出旋转后的（、、分别与、、对应）； （2）在（）的条件下，写出点、的坐标． 19. 如图，抛物线与轴交于、两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上．求的面积． 20. 请阅读下列材料：已知方程x2+x﹣3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣3=0，化简，得y2+2y﹣12=0． 故所求方程为y2+2y﹣12=0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍． 21. 如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 22. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．求抛物线与直线的“和谐值”． 23. 某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的以内时），每减少5条生产线，每条生产线每个月反而会多生产2台，若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？ 24. 如图，在中，，连接，，过点作交延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求⊙的半径． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图1，在中，是边上的高线，垂足为点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，恰好垂直于．若，求四边形的面积； 问题解决 （2）如图2是某生态农庄的一块正方形田地的缩略图，其中，点是边上一点，且，管理部门计划在边上确定一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到线段，连接，以为边向外扩建一正方形种苗培育区，求缩略图上扩建的正方形种苗培育区面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的解 ∴，即 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解概念，正确代入计算是解题关键． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，解答本题即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 4. 当用公式法解方程时，的值为（ ） A. 2 B. C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论． 【详解】解：原方程可变形为， ，，， ． 故选：C 5. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线是，即． 故选：D 6. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，根据题目中的数量关系，列式即可求解，掌握一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：第一周进馆200人次，第三周进馆242人次，每周进馆人次的平均增长率为 ， ∴，   故选：C ． 7. 如图，是的直径，点，在上，若，，则的长为（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据同弧所对圆周角相等，可得，由直径所对的圆周角是直角，可得，进而得到是等腰直角三角形，即可求解， 本题考查了圆周角定理推论，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接， ， ， 是的直径， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：． 8. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点B的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，根据“关于原点对称点点横坐标和纵坐标都互为相反数”即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 10. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，由得，解得，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 11. 请写出一个二次函数解析式，使其图象的对称轴为直线：________________．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据对称轴为，可设，即可解答，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】解：二次函数解析式图象的对称轴是直线， 可设函数表达式为， 令， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，于点，且，则这段弯路所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，根据题意可以推出，若设半径为，则，结合勾股定理可推出半径的值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，是的中点，， ∴， ∴， 在中，， 设半径为，则， ∴， 解得：， ∴这段弯路的半径为， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，AC=4，将△ABC绕点C按逆时针旋转30°得到△FGC，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知△FGC的面积=△ABC的面积，观察图形可知阴影部分的面积就是扇形CAF的面积． 【详解】解：由题意得，△FGC的面积=△ABC的面积，∠ACF=30º，AC=4， 由图形可知，阴影部分的面积=△FGC的面积+扇形CAF的面积﹣△ABC的面积， ∴阴影部分的面积=扇形CAF的面积=. 故答案为. 【点睛】本题考查了旋转的性质，不规则图形及扇形的面积计算. 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 15. 如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 【答案】 证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，圆周角定理的推论，弧、弦、圆心角的关系，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据平行线的性质可得出，从而得出，即可证． 【详解】略 16. 已知二次函数（m是常数），求证：该二次函数的图象与x轴始终有交点． 【答案】 证明：∵抛物线为， ∴ ． ∵对于任意的m都有， ∴该二次函数的图象与x轴始终有交点． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，一元二次方程根的判别式．解题的关键在于对知识的灵活运用．由题意得一元二次方程，判断根的判别式与的大小即可． 【详解】略 17. 如图，四边形是正方形，点E在边上，连接，将旋转得到． （1）旋转中心是点 ，旋转角 ； （2）若，，求的长． 【答案】（1）A，90 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质： （1）根据正方形的性质得到的度数即可得到旋转角度，再由题意可得旋转中心为点A； （2）根据旋转的性质得到的长，根据正方形的性质得到的长，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将旋转得到， ∴旋转中心是点A，旋转角； 【小问2详解】 解：由旋转的性质可得， 由正方形的性质可得， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）将绕原点顺时针旋转，在图中作出旋转后的（、、分别与、、对应）； （2）在（）的条件下，写出点、的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2），． 【解析】 【分析】（1）到、、的对应点、、，然后连接，，即可； （2）根据平面直角坐标系特点即可写出点、的坐标； 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：绕原点顺时针旋转，找到、、的对应点、、，然后连接，，； 【小问2详解】 解：根据坐标系可知：，． 19. 如图，抛物线与轴交于、两点，其中点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，由抛物线的解析式容易得出点A，点B坐标和顶点C坐标；再根据三角形面积计算得出结果． 【详解】解：在中，当时，， ∴的坐标为， ∴， 在中，当时，， ，， ， ∴． 20. 请阅读下列材料：已知方程x2+x﹣3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣3=0，化简，得y2+2y﹣12=0． 故所求方程为y2+2y﹣12=0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍． 【答案】y2+3y﹣9=0． 【解析】 【分析】根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程． 【详解】设所求方程的根为y，则y=3x， ∴x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0， 化简，得y2+3y﹣9=0. 所以所求方程为y2+3y﹣9=0． 【点睛】考查了一元二次方程的解．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息． 21. 如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出； （2）根据圆周角定理得到，由是的直径，可得，根据直角三角形的性质求出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．求抛物线与直线的“和谐值”． 【答案】抛物线与直线的“和谐值”为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设点，则，可得， 利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设点为抛物线任意一点，过点P作轴交直线于Q，则， ∴ ， 当时，PQ有最小值，最小值为 ∴抛物线与直线的“和谐值”为． 23. 某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械．该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的以内时），每减少5条生产线，每条生产线每个月反而会多生产2台，若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？ 【答案】应减少10条生产线 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应减少条生产线，则每条生产线每个月可生产台该种医疗器械，根据题意建立方程，解方程可求出的值，再根据减少的条数在总条数的以内即可得出答案． 【详解】解：设应减少条生产线，则每条生产线每个月可生产台该种医疗器械， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． 答：应减少10条生产线． 24. 如图，在中，，连接，，过点作交延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求⊙的半径． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ． （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）根据平行的性质可得，根据圆周角定理可得，然后根据等量代换即可证明结论； （2）先说明，则；如图：连接交于点，连接，由垂径定理可得、，在中，由勾股定理得；连接，设，在中运用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， ． 如图：连接交于点，连接， ， ，． 在中，由勾股定理得， 连接，设，在中，由勾股定理得，， ，解得，即的半径为5． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 【答案】任务：； 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． 【解析】 【分析】任务：利用待定系数法，把，代入，即可求出的值； 任务：将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为米，据此即可得到答案； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：任务：由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， 任务：略 26. 问题探究 （1）如图1，在中，是边上的高线，垂足为点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，恰好垂直于．若，求四边形的面积； 问题解决 （2）如图2是某生态农庄的一块正方形田地的缩略图，其中，点是边上一点，且，管理部门计划在边上确定一点，连接，将线段绕着点顺时针旋转到线段，连接，以为边向外扩建一正方形种苗培育区，求缩略图上扩建的正方形种苗培育区面积的最小值． 【答案】（1）四边形的面积为；（2）扩建的正方形种苗培育区面积的最小值为 【解析】 【分析】（1）由题目可得到，，，通过互余得，再通过旋转后的三角形全等得到，，根据四边形的面积的面积的面积即可得到答案； （2）过作，分别交于，先证明出四边形是矩形，再根据旋转的性质得到，，进而得到全等三角形，设扩建的正方形种苗培育区面积为，，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由题可得，，， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 ． （2）如图，过作，分别交于， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，， 由旋转性质得，， ， ， ，， 设扩建的正方形种苗培育区面积为，， 则，， 在中，由勾股定理得， 则 ， ， 该二次函数图象开口向上， 当时，取得最小值， 故缩略图上扩建的正方形种苗培育区面积的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理、旋转以及矩形的判定，解题的关键在于正确画出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $