精品解析：陕西省西安市西安理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024-2025学年陕西省西安理工大学附中九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与位似，位似中心为点O，若，的周长为3，则的周长为（　　） A. 6 B. 9 C. D. 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程，对该方程的根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的边长，，点F在线段上，且，与交于点N，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是关于的方程的一个根，且点都在反比例函数的图象上，则和满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 10. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 11. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为________． 12. 如图，在中，轴于点B，，，反比例函数的图象经过点A，则k的值为________． 13. 如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若，则MN的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 15. 计算： 16. 装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间与装载速度x之间的函数关系如图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果以的速度装货，需要多长时间才能装完货物？ 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，点E，G在的边，上，连接，点D为外一点，连接，，点F在上，连接，，，，求的值． 19. 如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回）小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撤抽到半张“黑桃”的概率是______； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撤获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 20. 如图，在中，，O是的中点，，． （1）求的长； （2）求与的值． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，连接相交于点，． （1）求证：； （2）连接，若，求四边形的面积． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 23. 阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，）     24. 如图，在中，对角线、相交于点，为上一点，交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）交线段于点，若，求证：． 25. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点 （1）求和的值； （2）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，线段交反比例函数第一象限的图象于点，连接、，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的点，若，求点的坐标 26. 如图，回答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，、、是从入口C通往三个观光点A、E、F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E、F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E、F（观光点E、F分别在、上），现要在、上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元，桥梁的造价为100万元，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安理工大学附中九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，是需要识记的内容． 2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解答本题的关键． 根据常见的简单几何体的三视图，即可解答． 【详解】解：A、球的俯视图是圆，故A选项不符合题意； B、圆锥的俯视图是圆，故B选项不符合题意； C、圆柱的俯视图是圆，故C选项不符合题意； D、三棱柱的俯视图是三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，与位似，位似中心为点O，若，的周长为3，则的周长为（　　） A. 6 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似，根据相似图形的周长比等于相似比直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，， ∴，， ∴的周长的周长， ∴的周长为， 故选：B． 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；故选项C不符合题意； 当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5. 已知关于x的一元二次方程，对该方程的根的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据与0的关系直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 7. 如图，矩形的边长，，点F在线段上，且，与交于点N，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质，根据勾股定理求出，结合矩形性质得到，即可得到答案 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知是关于的方程的一个根，且点都在反比例函数的图象上，则和满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，反比例函数的图象上的点的坐标特征，先利用方程的解求得a的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可． 【详解】解：∵是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上， ∴点都在第二象限， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 不透明的木箱里装有12个红球和若干个蓝球，这些球除颜色外都相同，从木箱里随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在附近，估计木箱中蓝球有________个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中蓝球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中蓝球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中蓝球约有8个， 故答案为：8． 11. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，解直角三角形求出是解题的关键．解直角三角形求得，再利用三线合一即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ，， ∴． 故答案为：4． 12. 如图，在中，轴于点B，，，反比例函数的图象经过点A，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键．先求出点的坐标，再代入计算即可得． 【详解】解：∵轴于点，，， ，， ， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 13. 如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别为BC，CD边上的动点，连接AE，BF交于点G，连接DG，点M，N分别为CD，DG的中点，连接MN．若，则MN的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质易证，则有，取中点，连接、、，根据三角不等关系可得，进而根据三角形中位线可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴（HL）， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 取中点，连接、、， ∴，， ∵， ∴当点在线段上时，取得最小值， ∴， ∵点、点分别为的中点， ∴，即； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题利用因式分解法即可求解． 【详解】解： 或 解得：． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算．化简各数后，按照运算顺序进行计算即可．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间与装载速度x之间的函数关系如图： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果以的速度装货，需要多长时间才能装完货物？ 【答案】（1） （2）需要才能装完货物 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式是解题的关键； （1）求出货物质量，根据装完货物所需时间的关系列出函数关系式即可； （2）利用函数关系式，把代入，可求卸完货物时间． 【小问1详解】 设该运货车上装载货物的质量， 把代入得货物的质量， y与x之间的函数关系式． 【小问2详解】 当时，有， 需要才能装完货物． 17. 如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】解：如图所示，点D即为所作求． 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，点E，G在的边，上，连接，点D为外一点，连接，，点F在上，连接，，，，求的值． 【答案】10 【解析】 【分析】由得到，，再代入数据即可求出，继而可求． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19. 如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回）小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撤抽到半张“黑桃”的概率是______； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撤获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，正确的画出树状图，掌握概率公式，是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：四张半张牌，半张“黑桃”有2张， ∴小撤抽到半张“黑桃”的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 不公平，理由如下： 用表示两张半张“黑桃”，用表示两张半张“黑桃K”，画出树状图如图： 共12种等可能的结果，其中能组成一整张牌的结果有4种， ∴小撤获胜的概率为，小尼获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 20. 如图，在中，，O是的中点，，． （1）求的长； （2）求与的值． 【答案】（1）12 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，角的余弦和正切： （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理求得； （2）由等边对等角可得，结合三角函数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：，O是的中点，， ， ， ， 【小问2详解】 解：，O是的中点， ， ， ，． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，连接相交于点，． （1）求证：； （2）连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的余角相等，得到，证明，得到，即可得出结论； （2）分割法得到四边形的面积等于，进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 22. “靠山吃山，靠水吃水”，金丝峡景区的人民依靠制作手工艺品也走出了一条致富路，其经营模式一般为生产组的产品由商店代理销售．已知某商店代理销售“竹编篮”平均每天可销售50套，每套盈利22元，在每套降价幅度不超过6元的情况下，每下降1元，则每天可多售4套，如果每天要盈利1160元，每套应降价多少元？ 【答案】每套应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每套“竹编篮”降价元，利用该商店每天销售“竹编篮”获得的利润每套的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设每套降价元， 由题意，得， 解得：，， ∵每套降价幅度不超过6元， 故， 答：每套应降价元． 23. 阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，）     【答案】古建筑的高为12米 【解析】 【分析】在中利用三角函数关系求出，从而得到的长，再利用太阳光是平行光线，证明，利用对应边的比例关系即可求出答案． 【详解】解：在中，米，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米． 答：古建筑的高为12米． 24. 如图，在中，对角线、相交于点，为上一点，交的延长线于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）交线段于点，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明是的中位线，推出，即可证明平行四边形是菱形； （2）先证明，得到，再证明． 【小问1详解】 四边形是平行四边形， 是的中点， ，即是的中点， 是的中位线， ， ， ，即， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 ， ， 又， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 25. 如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点 （1）求和的值； （2）以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，线段交反比例函数第一象限的图象于点，连接、，求的面积； （3）在（2）的条件下，点是反比例函数图象上的点，若，求点的坐标 【答案】（1）， （2）10 （3）或 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，反比例函数与几何综合，涉及菱形的性质，勾股定理，三角形面积等知识点，掌握平面直线坐标系中三角形面积的求法是解题的关键． （1）将点代入求出n的值，再将代入求出的值； （2）先根据求出，根据菱形的性质求出，再根据，即可求解； （3）设点的坐标为，根据即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入正比例函数， 得：，即， 将代入反比例函数， 得：， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 四边形是菱形， ， ， 点在线段上， ； 【小问3详解】 解：点是反比例函数图象上的点， 设点的坐标为， 由（2）知， ， ， 解得， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 26. 如图，回答下列问题： 【问题探究】 （1）如图1，在中，连接，． ①求证：是矩形； ②若，探究线段与线段之间的数量关系． 【问题解决】 （2）如图2所示，矩形是一块待开发的旅游景点规划地，、、是从入口C通往三个观光点A、E、F的路线，其中，且，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接到达观光点E、F，为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E、F（观光点E、F分别在、上），现要在、上架一座桥梁，已知，桥梁的造价为200万元，桥梁的造价为100万元，求建好和两座桥梁所需要的总造价． 【答案】（1）①见解析；② （2）400万元 【解析】 【分析】（1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由得到，在中，运用勾股定理即可求解； （2）延长至点G，使得，连接、、，先证明，则，，由（1）知，那么，再同理得出，，则，此时，那么，即可求解总造价． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②解：；理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 解：延长至点G，使得，连接、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴总造价为：（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $