精品解析：江西南昌市雷式学校2025-2026学年第二学期八年级期末考试数学试卷

南昌市雷式学校2025-2026学年下学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，18分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 有一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 众数，平均数 B. 中位数，平均数 C. 方差，中位数 D. 方差，中位数 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程属于一元二次方程的是（　　） A. （x2﹣2）x=x2 B. ax2+bx+c=0 C. 3x+=5 D. x2=3x 5. 已知一次函数，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm． A. B. C. 3 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，18分） 7. 计算：_________． 8. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 9. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 10. 直线y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是_____． 11. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 12. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为_____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）如图，在中，，求的面积． 14. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 15. 如图，在中，点，分别在，上，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 16. 一次函数的图象，如图所示． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 17. 如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M； （2）在图2中，连接DF，若，作出线段DF的中点N． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，于点M． （1）若，，则的长度为多少？ （2）若，，则的长度为多少？ 19. 2024年4月下旬中国将发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组60分以下；B组分；C组分；D组分；E组分．每个组都含最小值不含最大值，例如B组包括60分，但不包括70分，并绘制了如图所示的条形、扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 ． （3）该校要对成绩为E组分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校1500名学生中获一等奖的学生人数有多少人？ 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当，求证：四边形为正方形． 21. 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 22. 定义：函数（其中）为关于x的两个一次函数与的生成函数．请你解答下列问题： （1）给定两个一次函数：． ①求它们的生成函数在时的函数值； ②判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上，请说明理由； （2）设两个一次函数与的图象的交点为P，判断点P是否在它们的生成函数的图象上，并说明理由． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，，，，，连接，P为的中点． （1）如图1，若、、三点共线，求的度数； （2）如图2，若、、三点不共线，求证：； （3）如图3，若点C线段上，，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市雷式学校2025-2026学年下学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题（共6小题，每小题3分，18分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】因为是最简二次根式，所以A符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：A． 2. 有一组数据，则下列说法正确的是（ ） A. 众数，平均数 B. 中位数，平均数 C. 方差，中位数 D. 方差，中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数、中位数、众数及方差的定义，利用算术平均数、中位数、众数及方差的定义及公式计算出结果，对照选项逐一排除即可确定答案，解题的关键是掌握这几种量的正确的求法． 【详解】∵平均数， 方差， 众数为，中位数， ∴正确， 故选：． 3. 在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可求解．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：在平行四边形中，若， 则． 故选：C． 4. 下列方程属于一元二次方程的是（　　） A. （x2﹣2）x=x2 B. ax2+bx+c=0 C. 3x+=5 D. x2=3x 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，逐项判定即可． 【详解】解：A．整理得：，不是一元二次方程，故此选项错误， B．当a=0时，不是一元二次方程，故此选项错误， C．左边不是整式方程，故不是一元二次方程，故此选项错误， D．是一元二次方程，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 5. 已知一次函数，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，列式计算即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练掌握“一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 6. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边cm，cm，现将沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，则的长为（ ）cm． A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质得：，， ，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程求解． 二、填空题（共6小题，每小题3分，18分） 7. 计算：_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，直接根据二次根式的乘法运算法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 8. 菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长即可． 【详解】解：如图，根据题意得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：5． 9. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 10. 直线y＝2x﹣4与x轴的交点坐标是_____． 【答案】（2，0） 【解析】 【分析】与x轴交点的纵坐标是0，所以把代入函数解析式，即可求得相应的x的值． 【详解】解：令，则， 解得． 所以，直线与x轴的交点坐标是． 故填：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 11. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；根据题意可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，点E在BC上，CE＝2，若点P是菱形上异于点E的另一点，CE＝CP，则EP的长为_____． 【答案】6或2或3﹣． 【解析】 【分析】连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到∠ECH=∠PCH=60°，然后依据SAS可证明△ECH≌△PCH，则∠EHC=∠PHC=90°，最后依据PE=EH求解即可. 【详解】解：如图所示：连接EP交AC于点H． ∵菱形ABCD中，∠B＝60°， ∴∠BCD＝120°，∠ECH＝∠PCH＝60°． 在△ECH和△PCH中 ， ∴△ECH≌△PCH． ∴∠EHC＝∠PHC＝90°，EH＝PH． ∴OC=EC=. ∴EH=3, ∴EP＝2EH＝6． 如图2所示：当P在AD边上时，△ECP为等腰直角三角形，则 ． 当P′在AB边上时，过点P′作P′F⊥BC． ∵P′C＝2，BC＝4，∠B＝60°， ∴P′C⊥AB． ∴∠BCP′＝30°． ∴ ． ∴ ． 故答案为6或2或3﹣． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）如图，在中，，求的面积． 【答案】（1） （2）60 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可. 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：∵中，， ∴， ∴， ∴的面积为. 14. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） 原方程无实数根 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法计算即可； （2）判断判别式为负数，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴原方程无实数根． 15. 如图，在中，点，分别在，上，． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形， ． （2）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证出四边形为平行四边形，最后利用平行四边形的性质得出对边相等即可； （2）先利用平行四边形的性质得出，，进而求出，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证出四边形为平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 一次函数的图象，如图所示． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将和分别代入，得到方程组，再解方程组即可； （2）根据平移规律，得到关于、的等式，化简即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，直线经过点和点， 将和分别代入， 得， 解得，， 这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 化简得，． ∴、之间的等式关系为． 17. 如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）． （1）在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M； （2）在图2中，连接DF，若，作出线段DF的中点N． 【答案】（1） 如图1中，点M即为所求． （2） 如图2中，点N即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接AF、BD，相交于点O，连接CO并延长，交DF于点M，根据两菱形边长相等，角度相等，可证，，得到OA=OB，OF=OD，通过C为AB中点可得OC⊥AB，OM⊥DF，根据等腰三角形三线合一，即M是DF中点； （2）连接AD、BF，并延长相交于点H，连接CH、DF，相交于点N，根据菱形是60°角可知AD∥CF，BF∥CD，所以四边形DCFH是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，所以点N即是DF中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图，熟练利用菱形的性质和平行四边形的性质是解题关键，本题中第（2）小题方法同样适用于第（1）小题． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，于点M． （1）若，，则的长度为多少？ （2）若，，则的长度为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长度，再由三角形的面积公式得出CM的长度； （2）先根据勾股定理分别表示出AC、BC 的长度，再利用勾股定理构造方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：在中， ． 的面积 以为底 ． 以为底 联立得方程 ． 解得 【小问2详解】 解：设 在中， ． 在中 ． 在中， ． 故列得方程： 解得．（负值舍去） 故． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 2024年4月下旬中国将发射神舟十八号载人飞船、迎接神舟十七号乘组返回．为了弘扬航天精神，某中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理，分成五组：A组60分以下；B组分；C组分；D组分；E组分．每个组都含最小值不含最大值，例如B组包括60分，但不包括70分，并绘制了如图所示的条形、扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图． （2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角度数为 ． （3）该校要对成绩为E组分的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二等奖，且一、二等奖的人数比例为，请你估计该校1500名学生中获一等奖的学生人数有多少人？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2） （3）48 【解析】 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以组对应百分比求出其人数即可补全图形； （2）乘以组人数所占比例即可； （3）总人数乘以一等奖人数所占比例，再乘以样本中组人数所占比例即可． 【小问1详解】 本次随机抽查的学生人数是（人， 组人数为（人， 【小问2详解】 扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （人， 答：估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数为48人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答． 20. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当，求证：四边形为正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 项目主题 设计一本书的封面 项目要求 1．封面长，宽； 2．正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形； 3．四周的白色边衬所占面积是封面总面积的； 4．上、下边衬等宽，左、右边衬等宽 项目任务 （1）求上、下边衬与左，右边衬的宽度之比； （2）设上、下边衬的宽均为，请你列出关于的方程，并分别求上、下边衬和左，右边衬的宽． 项目反思 （3）用上面设未知数的方法列方程，解方程进行解题较复杂，请你换一种设未知数的方法，更简单地解决上面的问题． 【答案】（1）； （2）上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）设中央矩形的长为、宽为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 上、下边衬的宽均为， 左、右边衬的宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）根据题意可得：封面的长宽之比为，则中央矩形的长宽之比也是，设中央矩形的长、宽分别是，，即可求解； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为，由题意可得：中央矩形的面积是封面总面积的，据此列方程即可求解； （3）设中央矩形的长为、宽为，根据题意列出方程，求出，最后根据：上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，即可求解． 【详解】解：（1）封面长，宽， 封面的长宽之比为：， 中央矩形的长宽之比也是：， 设中央矩形的长、宽分别是，， 上、下边衬与左，右边衬的宽度之比为：； （2）设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽为，则中央矩形的长为、宽为， 四周的白色边衬所占面积是封面总面积的，则中央矩形的面积是封面总面积的， ， 整理得：， 解得：，， 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，不符合实际意义； 当时，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为，符合实际意义； 综上所述，上、下边衬的宽为，左、右边衬的宽为； （3）略 22. 定义：函数（其中）为关于x的两个一次函数与的生成函数．请你解答下列问题： （1）给定两个一次函数：． ①求它们的生成函数在时的函数值； ②判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上，请说明理由； （2）设两个一次函数与的图象的交点为P，判断点P是否在它们的生成函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）①； ②这两个函数图象的交点在它们的生成函数的图象上，理由如下： 解方程组，得， 这两个函数图象的交点坐标为． ∵对于它们的生成函数，当时，， 交点在它们的生成函数的图象上． （2）解：点P在它们的生成函数的图象上，理由如下： 解方程组得， ∴一次函数与的图象的交点． ∵一次函数与的生成函数为， ∴当时， ， ∵， ∴， ∴生成函数的图象过点， 即点在它们的生成函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）①根据生成函数的定义写出和的生成函数，把代入，并结合，即可求出函数值； ②解两个函数联立的方程组得到这两个函数图象的交点坐标，结合①的结论即可判断这两个函数图象的交点是否在它们的生成函数的图象上； （2）解两个函数联立的方程组得到点P的坐标，再把点P的横坐标代入生成函数中，求出函数值，即可判断． 【小问1详解】 解：①由题意可得，和的生成函数为， 又， 当时，； ②略 【小问2详解】 略 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 如图，，，，，连接，P为的中点． （1）如图1，若、、三点共线，求的度数； （2）如图2，若、、三点不共线，求证：； （3）如图3，若点C线段上，，，请直接写出的长度． 【答案】（1） （2）证明，延长到点F，使，连接，，， ∵点P是的中点， ∴． 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在四边形中， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）延长，交于点F，利用已知条件证明，利用全等的性质和已知条件得到为等腰三角形，即可进行求解； （2）用倍长中线法构造三角形，证明三角形全等，即延长到点F，使，利用已知条件证明，利用全等的性质和四边形内角和得到，利用已知条件进而证明，得到是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）根据等腰三角形的性质得出，利用勾股定理求出的长，利用（2）同样的思路得出，，在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半可得出结果． 【小问1详解】 解：延长，交于点F， 为的中点， ， ，， ， 、、三点共线， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，延长到点F，使，连接，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ∵在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ∵在中，，， ． 【点睛】倍长中线法证明三角形全等是解题的关键，即见中点，想倍长，延长中线一倍长，对顶角，配两边，利用证明三角形全等．等腰三角形的三线合一要熟记于心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $