精品解析：陕西咸阳市永寿县豆家中学2025-2026学年度第二学期第二次阶段性作业八年级数学

2025-2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10=30分） 1. 下列说法不正确的是（　　） A. 平行四边形两组对边分别平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角互补，邻角相等 D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等 2. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　） A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 3. 已知在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5. 如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3 ），则D点的坐标为（　　） A. （3，0） B. （4，0） C. （5，0） D. （6，0） 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，那么图中三个阴影三角形的周长和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 10. 如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3分×8=24分） 11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__． 12. 如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时，△PBA的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________． 14. 如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为_______cm． 15. 如图，在中，平分，，则的周长为______． 16. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_________． 17. 如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为_________． 18. 如图，分别以的直角边AC，斜边AB为边向外作等边和，F为AB的中点，连接DF、EF，，，则以下三个结论：①；②四边形BCDF为平行四边形；③．其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（共66分） 19. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH． 21. 如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 22. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，画四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中，以为对角线画一个，使其面积为4． 23. 如图①，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点． （1）四边形是_________四边形； （2）如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． （1）求证：； （2）若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 25. 平行四边形中，连接，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）求的面积； （2）如图1，连接，点是的中点，求的长； （3）如图2，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（3分×10=30分） 1. 下列说法不正确的是（　　） A. 平行四边形两组对边分别平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 平行四边形的对角互补，邻角相等 D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】A. 平行四边形两组对边分别平行,故该选项正确，不符合题意； B. 平行四边形的对角线互相平分,故该选项正确，不符合题意； C. 平行四边形的对角相等，邻角互补,故该选项不正确，符合题意； D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等,故该选项正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题是考查平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键，平行四边形的性质为：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 2. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（　　） A. 66° B. 104° C. 114° D. 124° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC， ∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°， ∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键． 3. 已知在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质（邻角互补、对角相等），解题的关键是根据平行四边形中角的关系列出等式，求出未知角的度数． 利用平行四边形邻角互补，结合，列方程求出的度数；再根据平行四边形对角相等得到的度数． 【详解】解：在平行四边形中， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴，即，解得． ∵平行四边形对角相等， ∴． 故选：B． 4. 在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【详解】分析：充分利用角平分线的性质证明∠E=90°即可判断． 详解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE是直角三角形， 故选B． 点睛：本题考查的是直角三角形的判定，熟记有一个角是90°的三角形是直角三角形是解题的关键. 5. 如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3 ），则D点的坐标为（　　） A. （3，0） B. （4，0） C. （5，0） D. （6，0） 【答案】C 【解析】 【分析】作CE与x轴相交于F点，根据关于数轴对称点的坐标特点可得C（7，3），即CE=6，因为△ACE是等边三角形，利用勾股定理可求得AF的长，进而得到OA的长，再利用平行线的性质即可得到OD的长. 【详解】解： 作CE与x轴相交于F点， ∵C与点E关于x轴对称，E（7，﹣3 ）， ∴C（7，3），F（7，0），即CF=3，CE=6，OF=7， ∵△ACE是等边三角形， ∴AC= CE=6， 在Rt△ACF中，AF==9， ∴OA=AF﹣OF=9﹣7=2， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OD=AD﹣OA=BC﹣OA=5， 则D（5，0）. 故选C. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，关于数轴对称的点的坐标，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 6. 如图，在中，对角线，相交于点O，交的延长线于点E，连接，若的周长为28，的周长为18，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，，然后根据的周长为18得到，然后根据垂直平分线的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵的周长为28 ∴，，， ∴ ∵的周长为18 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 7. 如图，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，那么图中三个阴影三角形的周长和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定与性质，将阴影三角形的边长通过等量代换转化为大三角形的三边长，即可得出结果. 【详解】解：如图大三角形为，内部点为，过作三边平行线分别交于，交于，交于， 则四边形，，均为平行四边形， ，，，，，， ∵的周长为，即， 三个阴影三角形的周长和   . 8. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴ 故选：． 9. 如图，在平行四边形中，过对角线上一点，作EFBC，HGAB，若四边形和四边形的面积分别为和，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出 ，即． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EFBC，HGAB， ∴AD=BC，AB=CD，ABGHCD，ADEFBC， ∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形， ∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC， ∴△ABD≌△CDB， ∴； 同理可得：，，， ∴ 即，也即． 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合面积做差得出结论是解题的关键． 10. 如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理． 先根据题意求出，，再分别代入四个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在线段上，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，值随着改变； ，值随着改变； ，值随着改变； ，值不变； 故选：D． 二、填空题（3分×8=24分） 11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=__． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，平行四边形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴∠A=∠C=70°, ∵DC=DB, ∴∠C=∠DBC=70°， ∴∠CDB=180°-70°-70°=40°. 故答案是：40°． 【点睛】考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 12. 如图，P是四边形ABCD的DC边上的一个动点．当四边形ABCD满足条件______时，△PBA的面积始终保持不变（注：只需填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形） 【答案】AB//CD（答案不唯一） 【解析】 【分析】要使△PBA的面积始终保持不变，根据三角形面积公式由于AB的长一定，需满足AB边上的高需不变，故四边形ABCD需满足条件DC∥AB． 【详解】解：当四边形ABCD满足条件DC∥AB时，△PBA的面积始终保持不变． 故答案为：DC∥AB． 【点睛】本题考查了三角形同底等高面积相等的情况，根据三角形面积公式进行判断． 13. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是__________． 【答案】（3，0） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可知：OA=BC=3，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴OA=BC=3， ∴点A的坐标是（3，0）， 故答案是：（3，0）． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及点的坐标，掌握平行四边形的对边相等，是解题的关键． 14. 如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为_______cm． 【答案】12． 【解析】 【详解】试题分析：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为12． 考点：三角形中位线定理． 15. 如图，在中，平分，，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义推出，从而证得，判定四边形为菱形，利用菱形周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长． 16. 如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为_________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 17. 如图，中，，，．，，都是等边三角形，则四边形的面积为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】先证出，，根据全等三角形的性质可得，，则可得四边形是平行四边形，再过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，正确找出全等三角形是解题关键． 18. 如图，分别以的直角边AC，斜边AB为边向外作等边和，F为AB的中点，连接DF、EF，，，则以下三个结论：①；②四边形BCDF为平行四边形；③．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①② 【解析】 【分析】证明，，可证BCDF为平行四边形，从而判断②正确，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①正确，然后由三角形三边关系判断③错误，即可得出结论． 【详解】解：，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为的中点， ， ， ， 四边形为平行四边形，故②正确； 四边形为平行四边形， ，， 又， ，故①正确； 和都是等边三角形， ，， ， ，故③错误； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、含直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 三、解答题（共66分） 19. 在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)． 求证：BE=DF． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 若选②，即OE=OF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵OE=OF，∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选①，即AE=CF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（SAS）， ∴BE=DF； 若选③，即BE∥DF； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO， ∵BE∥DF； ∴∠BEO=∠DFO， 又∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴BE=DF； 【解析】 【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键． 20. 在□ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH＝EH． 【答案】证明见试题解析． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到BECD ，故有∠E＝∠2，由于CE平分∠BCD，得到∠1＝∠2，故∠1＝∠E，故BE＝BC ，又 因为BH⊥BC，由三线合一可得到CH＝EH． 【详解】解：∵在□ABCD中BECD ∴∠E＝∠2 ∵CE平分∠BCD ∴∠1＝∠2 ∴∠1＝∠E ∴BE＝BC 又∵BH⊥BC ∴CH＝EH（三线合一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 21. 如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】 正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】略 22. 图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图1中，画四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中，以为对角线画一个，使其面积为4． 【答案】（1） 解：四边形如图所示： （2） 解：如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称图形，轴对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合网格特征，画出一个平行四边形，即可作答． （2）先结合网格特征，画出平行四边形，结合平行四边形的面积等于底乘高，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图①，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点． （1）四边形是_________四边形； （2）如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）平行 （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵点E是四边形的边的中点，将图①中的点C移动至与点E重合的位置， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∵点H是的中点，点G是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接，结合三角形中位线性质得到，，即可推出四边形是平行四边形； （2）首先得到，然后结合三角形中位线性质得到，，即可推出四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵点E、F、G、H分别是四边形各边的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点在线段上，且为的中点，连接． （1）求证：； （2）若分别是的中点，连接，，交于点，． ①求证：是等腰三角形； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴．，， ∵，， ∴， ∴． ∵为中点， ∴． 又∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2） ①证明：∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定以及三角形中位线定理是解题的关键． （1）利用平行四边形对角线互相平分及已知条件得出等腰三角形，再结合等腰三角形性质和角度关系证明； （2）①利用三角形中位线定理及平行四边形性质即可证明；②利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵四边形是平行四边形， ∴．， ∵是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25. 平行四边形中，连接，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． （1）求的面积； （2）如图1，连接，点是的中点，求的长； （3）如图2，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； 【小问3详解】 解：如图，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合，连接， ∴,,,， ∴共线， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $