第一章 1 认识特殊平行四边形&2 菱形的性质与判定-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第一章 特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 菱形、矩形、正方形的定义 6.一个四边形顺次添加下列条件中的三个条 1.如图，要使口ABCD变为菱形，需要添加的 件便得到正方形： 条件是 ( a.两组对边分别相等b.一组对边平行且 A.AB=BC B.AD=BC 相等c.一组邻边相等d.一个角是直角 C.AB=CD D.AC=BD 顺次添加的条件：①a→c→d;②b→d→c; ③a→b→c.正确的是 A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 7.如图，矩形ABCD中，对角线 第1题图 第2题图 AC,BD交于点O,过点O的直 2.开放题如图，四边形ABCD的对角线互相平 线EF分别交AB,CD于点E, 第7题图 分，需要添加一个条件，使它变为矩形.你添 F.若AB=6,BC=8,则图中阴影部分的面 加的条件是 (不添加任何字 积为 母和辅助线，写出一种情况即可)。 8.几何直观如下图，在菱形ABCD中，AB= 3.在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC, AD,点E,F分别在BC和CD上，连接 AB=BC,∠B=90°，则四边形ABCD的形 AE,AF,且CE=CF.求证：AE=AF 状是 知识点②菱形、矩形、正方形的对称性 4.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别 是对角线AC上的两点.若EG⊥AB,EI⊥ AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I, H,J,则图中阴影部分的面积等于( 1 A.1 B.2 C. D. 4 知识要点归纳 1菱形、矩形、正方形的定义： (1)有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形； (2)有一个角是直角的平行四边形叫作矩形； 第4题图 第5题图 (3)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平 5.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点 行四边形叫作正方形. 2.菱形、矩形、正方形都是轴对称图形；菱形、矩 A的坐标为(2,3)，则点C的坐标为 形都有两条对称轴，正方形有四条对称轴， 上册第一章 2菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 已课内基础闯关 变式题求面积→求高 知识点 菱形的性质 如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 =8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 于点O.下列结论中，不一定正确的是( ( A.AB=AD B.AC⊥BD 24 A. B.6 D.12 C.AC=BD D.∠DAC=∠BAC 5 5 第1题图 第2题图 2.一题多解法如图，AC为菱形ABCD的对 变式题图 第6题图 角线，过点D作DE⊥BC,垂足为E.若 6.如图，四边形ABCD是菱形，以DC为边作 CE ∠ACD=30°，则 等边三角形CDE,连接AE.若∠B=70°，则 AD ∠AED的度数为 A号 B.2 C V3 3 n号 易错点错误地运用菱形的面积公式 3.(教材变式)若菱形两条对角线的长分别为 7.如下图，在菱形ABCD中，两条对角线 12cm和16cm,则这个菱形的周长为 ( 的长度之比是3：4，它们的差是2cm. A.10 cm B.20 cm C.28 cm D.40 cm 求菱形ABCD的面积. 变式题求周长→求对角线长 已知菱形ABCD的周长是52.若对角线 AC的长为24，则对角线BD的长为 4.（2025一2026瑞昌检测)如图，在菱形ABCD 中，连接AC,BD.若∠CDB=70°，则∠BAC 的度数为 已课外拓展提高 8.如图①，动点P从菱形ABCD的点A出发， 沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停 第4题图 第5题图 止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=3,BD 与x的函数图象如图②所示，当点P运动到 =4,则S菱形ABCD= BC中点时，PO的长为 () 九年级数学BS版 综合能力提升 11.转化思想在菱形ABCD中，∠ABC=60°， 图② E是对角线AC上任意一点，F是线段BC 图1 第8题图 延长线上一点，且CF=AE,连接BE,EF. A.2 B.3 C.5 D.2√2 (1)如图①，当E是线段AC的中点时，求 9.如图，在菱形ABCD中， 证：BE=EF. ∠A=30°.若在同一平面 (2)如图②，当E不是线段AC的中点，其他 B 内，以对角线BD为底边 第9题图 条件不变时，(1)中的结论 (填 作顶角为120°的等腰三角形BDE,则 “成立”或“不成立”) ∠EBC的度数为 (3)如图③，当E是线段AC延长线上的任 10.情境应用图①是一款汽车用“千斤顶”，其 意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是 示意图如图②.四边形ABCD为菱形，螺旋 否仍成立？若成立，请给予证明；若不成 杆PQ与地面平行.当螺旋杆PQ顺时针旋 立，请说明理由。 转时，B,D两点之间的距离变小，A,C两点 之间的距离变大，从而顶起汽车.图③是完 全折叠状态下的“千斤顶”（点B,A,D在同 一条直线上)，此时点A到地面的距离为 图① 图② 图③ 6cm.当点C上升到离地面36cm时，BD的 长度缩短了10cm,求连杆AB的长度， 螺旋杆 图① 图② 图③ 知识要点归纳 菱形的性质：(1)具有平行四边形的一切性质； (2)四条边相等；(3)对角线互相垂直. 上册第一章 3个 第2课时 菱形的判定 已课内基础闯关 A.AC=BD B.AB=AC C.AC⊥BD D.∠ABC=90° 知识点① 由边的关系判定菱形 5.(教材变式)如图，□ABCD 1.如图，在△ABC中，AB=AC.△DBC是 的对角线AC与BD相交于 B △ABC的轴对称图形.能直接判定四边形 点O,AB=10,AC=12.当 ABDC是菱形的依据是 ( BD= 时， 第5题图 A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 □ABCD是菱形. B.四条边相等的四边形是菱形 6.小惠自编一题：“如下图，在四边形ABCD C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 中，对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB D.对角线互相平分的平行四边形是菱形 =OD.求证：四边形ABCD是菱形.”她将自 己的证明过程与同学小洁交流， 小惠： 小洁： 证明：，AC⊥BD,OB=OD 这个题目还缺少条件， ∴.AC垂直平分BD, 需要补充一个条件才能 第1题图 第2题图 ..AB=AD,CB=CD. 证明， 2.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别 ∴.四边形ABCD是菱形， 是AB,BC,CD,DA的中点.当对角线AC, 若赞成小惠的证法，请在第一个方框内打 BD满足条件 时，四边形 “/”;若赞成小洁的说法，请你补充一个条 EFGH是菱形. 件，并证明。 3.一题多解法如下图，小张将一张矩形纸片 ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为 EF,连接DF.求证：四边形BEDF为菱形 已课外拓展提高 --0 7.下列平行四边形中，根据图中所标出的数 知识点② 由对角线的关系判定菱形 据，不一定是菱形的是 4.在□ABCD中，AC,BD是对角线，若补充 30 125 60° 309 609 一个条件可使得四边形ABCD为菱形，则这 个条件可以是 44 九年级数学BS版详解详析 第一章特殊平行四边形 》一题多解法 如图，连接BD,易证△BCD是等 1认识特殊平行四边形 边三角形，∴BC=CD=BD. 1.A :DE⊥BC,.BE=CE=2CD 1 2.∠ABC=90°（答案不唯一） 3.正方形4.B F2AD,即 CE 1 5.(2,一3)【解析】菱形为轴对称图形，依据关于x轴对 D2 称的点的坐标特征，可得点C的坐标为(2，一3). 3.D【解析】如图，四边形ABCD是菱 6.C【解析】①添加条件a使四边形变为平行四边形，添 形，AC,BD交于点O,AC=12cm,BD 加条件c使平行四边形变为菱形，再添加条件d使菱 =16cm.:四边形ABCD是菱形， 形变为正方形，故①正确；②添加条件b使四边形变为 ∴.AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,AO 平行四边形，添加条件d使平行四边形变为矩形，再添 =OC=6cm,OB=OD=8cm.在Rt△AOB中，AB= 加条件c使矩形变为正方形，故②正确；③添加条件a 使四边形变为平行四边形，添加条件b平行四边形仍 √AO+BO=√62+82=10(cm),∴.菱形ABCD的 是平行四边形，再添加条件c使平行四边形变为菱形， 周长为40cm. 不能得到四边形是正方形，故③不正确. 变式题10【解析】如图，四边形AB 7.12【解析】：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心 CD是菱形，AC,BD交于点O.,四边 是对角线AC与BD的交点O, 形ABCD为菱形，.AC⊥BD,AO= .△BOE≌△DOF,∴.S△B=S△OD, CO,BO=DO,AB=BC=CD=AD=52 ∴图中阴影部分的面积=△AOB的面积二AB· ÷4=13.又：对角线AC的长为24，A0=2AC BC= 12.在Rt△AOB中，根据勾股定理，得BO= 4×6×8=12. √AB2-AO产=√13-12=5，.BD=2B0=10. 8.证明：，四边形ABCD是菱形， 4.20°5.6变式题A .AB=AD=CB=CD,∠ABC=∠ADC. 6.25°【解析】四边形ABCD是菱形，△CDE是等边 CE=CF. 三角形，∴.∠ADC=∠B=70°，AD=CD,DE=CD, .CB-CE=CD-CF,∴，BE=DF ∠CDE=60°，∴.AD=DE,∴△ADE是等腰三角形. 在△ABE和△ADF中， :∠ADE=∠ADC+∠CDE=130°，∴.∠AED= (AB=AD, 180°-∠ADE=25. ∠ABE=∠ADF, 2 BE=DF, 7.解：，在菱形ABCD中，AC:BD=3:4, ∴.△ABE≌△ADF(SAS), ..AE=AF. 六BD-AC 4 2菱形的性质与判定 BD-AC=2 em,AC-AC-2 cm, 解得AC=6cm,.∴.BD=8cm, 第1课时菱形的性质 1.C 六5am-专AC,BD号×6X8-24em). 2.B【解析】，四边形ABCD是菱形， 8.C【解析】结合图象可得，当x=0时，PO=AO=4:当 .CD=AD,CA平分∠BCD. 点P运动到点B时，PO=BO=2.:四边形ABCD是 .∠ACD=30°， 菱形，∴AC⊥BD,∴.∠AOB=∠BOC=90°，∴.AB= .∠BCD=2∠ACD=60. BC=√OA+OB=25.当点P运动到BC中点时， ,DE⊥BC,∴∠DEC=90°， .在Rt△CDE中，∠CDE=30°， P0的长为2BC=5. CE=cD=AD.即器方 9.105°或45°【解析】如图，：四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD=BC=CD,∠A=∠C=30°， 上册详解详析 ∴.∠DBA=∠DBC= 2×(180 :四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC, ∴∠DEF=∠BFE,∠BEF=∠BFE, -30)=75. .BE=BE...BE=BE=DE=DE. 'ED=EB,∠DEB=120°，∴.∠EBD=∠EDB ∴四边形BEDF为菱形， 3O°.当点E在BD左侧时，∠EBC=∠EBD+∠DBC 》一题多解法《 =105°： 证明：由折叠的性质可得，∠BEF=∠DEF, 当点E'在BD右侧时，∠DBE=30°， ∠BFE=∠DFE,BE=DE. ∴.∠E'BC=∠DBC-∠DBE'=45°. ,四边形ABCD是矩形，.AD∥BC, 综上所述，∠EBC的度数为105°或45. ∴∠DEF=∠BFE,.∠BEF=∠DFE,.BE 10.解：如图，连接AC,交BD于点O. ∥DF, 设连杆AB的长度为xcm. ∴四边形BEDF为平行四边形. :四边形ABCD是菱形， 又，BE=DE,.四边形BEDF为菱形. ∴.AB=AD=xcm. 依题意可知，AC=36一6 4.C5.16 30(cm),BD=(2.x-10)cm. 6.解：赞成小洁的说法 :菱形ABCD的对角线互相垂直平分， 示例： 补充条件：OA=OC. ··ACBD,OB=7BD三2×(2x-10)=x 证明：，OA=OC,OB=OD, 5cm.0A-7Ac-×30=15(cm. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又，AC⊥BD,∴.□ABCD是菱形 在Rt△OAB中，OA+OB=AB, .152+(x-5)2=x2,解得x=25, 7.c8 ∴.连杆AB的长度为25cm. 9.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下： 11.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC. 如图①，作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G. ∠ABC=60°，.△ABC是等边三角形， :两张纸条为矩形且宽度相等，∴ABCD,AD∥BC, .∠BCA=60° CH=CG. ,E是线段AC的中点， ∴.四边形ABCD是平行四边形. ∴.∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE. :SaAn=AB·CH=AD·CG,且CH=CG, .CF=AE,..CE=CF, ∴AB=AD,.四边形ABCD是菱形 ∴∠F=∠CEF=3∠BCA=30. ∴∠CBE=∠F=30°，.BE=EF (2)成立 (3)结论成立.证明如下：如图， 图① 图② 过点E作EG∥BC交AB的延 (2)如图②，作AM⊥CD,垂足为M. 长线于点G. B :S菱形ABcD=CD·AM=8cm,且AM=2cm,.CD 四边形ABCD为菱形， 4cm,∴.AD=CD=4cm. ..AB=BC. 在R△ADM中，AM=号AD.∠1=30 ∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC,∠ACB=60°，∴.∠ECF=60°. 10.解：(1)证明：：∠MAB+∠EAC=90°，∠NAF+ ,EG∥BC,.∠G=∠ABC=60. ∠EAC=90°， :∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形， .∠MAB=∠NAF. 又，AB=AF,∠ABC=∠AFE, ∴AG=AE=GE,∴.BG=CE,∠G=∠ECF. ∴.△ABM≌△AFN(ASA),∴.AM=AN .CF=AE...GE=CF. (2)当a=30时，四边形ABPF是菱形. BG=EC, 理由：：a=30°，∠EAF=90°， 在△BGE和△ECF中，∠BGE=∠ECF, .∠BAF=120°. GE=CF. 又∠ABC=∠AFE=60°， .△BGE≌△ECF(SAS),∴.BE=EF」 .∠ABC+∠BAF=60°+120°=180°， 第2课时菱形的判定 ∠AFE+∠BAF=60°+120°=180°， 1.B 2.AC=BD .AF∥BC,AB∥EF, 3.证明：由折叠的性质可得，BE=DE,BF=DF,∠BEF .四边形ABPF是平行四边形. =∠DEF】 又AB=AF,.四边形ABPF是菱形 九年级数学BS版