第一章 特殊平行四边形 学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

九年级数学BS版上册 学业质量自我评价 第一章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟 满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，是真命题的是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为 ( A.30° B.451 C.60 D.120 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，将边长为2cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线I翻折得到四边形 ABEF.若∠DAB=30°，则四边形CDFE的面积为 () A.2 cm2 B.3 cm" C.4 cm D.6 cm' 4.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点.若AB=5,AD=12, 则四边形ABOM的周长为 () A.16 B.20 C.29 D.34 5.(2025一2026佛山南海区期末)如图，在矩形ABCD中，E为BA延长线上一 点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点 G,连接BG.若AB=4,CE=10,则AG的长为 ( A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 G 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图所示的是由10根完全相同的小棒拼接而成的图形，请你在图中再添2根与 前面完全相同的小棒，使拼接后的图形恰好有3个菱形.拼接方法共有() A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD,连接AC, BD.若AB=6,AC=4,则BD的长为 8.如图，正方形ABCD的面积为4，E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中 点，则四边形EFGH的面积为 4444 147 FP B 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，BE,CF都是△ABC的高，M为BC的中点，连接EF,FM,ME.若EF= 5,BC=8,则△EFM的周长是 10.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F.若 AD=4,则EF= 11.如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰三角形ABF,AB=AF, AE平分∠DAF交DC于点G,交BF的延长线于点E,连接DE.若BF=2, 则DG= G B D 第11题图 第12题图 12.(2025一2026瑞昌检测)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,E为AB的中 点，点F从点A出发，沿A→B→C→D→A的方向运动，连接EF,EC,FC.当 △CEF为直角三角形时，EF的长为 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)如下图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E, ∠AOB=56°.求∠BAE的度数. D (2)如下图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥ BD,过点D作DE∥AC,CE与DE相交于点E.求证：DE=CE. 14.如下图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点 F,连接BE,∠F=45°.求证：四边形ABCD是矩形. 15.如下图，在□ABCD中，AD=2AB,∠B=60°，E,F分别为边AD,BC的中点. (1)如图，以B,C为顶点画矩形BECG(仅用无刻度的直尺画图，保留画图痕 迹，不写画法). E D B (2)若AB=1,则(1)中矩形BECG的面积为 16.如下图，在四边形ABCD中，AB=BC,AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=90°.点 E,F分别在边AB,AD上，CE与BF相交于点G,BE=AF.线段BG的垂直 平分线交BE于点H,且∠EHG=64°.求∠EGH的度数. 17.如右图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=2BC,∠ABD= 90°，E为AD的中点，连接AC,BD,BE. (1)求证：四边形BCDE是菱形. (2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=2,求BD的长. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.如右图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的中点， 且ABCD,ADBC,四边形EFGH是矩形 (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为 10,求AB的长. 1111114 148 19.如下图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），GE ⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F.连接EF,AG,并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG=∠EGH. (2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由， D 20.如下图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE =2AC,连接CE,OE,连接AE交OD于点F. (1)求证：OE=CD (2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，求AE的长. 4404444 149 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.如图①，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE=AF,DE⊥AF 于点G,延长CB到点H,使得BH=AE,连接AH. (1)求证：四边形ABCD是正方形. (2)判断△AHF的形状，并说明理由。 (3)如图②，在菱形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，DE与AF相交于 点G,DE=AF,∠AED=60°，AE=6,BF=2.求DE的长. H. B F 图① 图② 22.【问题情境】 如图①，四边形ABCD是正方形，M是BC边上一点，E是CD边的中点，AE 平分∠DAM. 【探究展示】 (1)求证：AM=AD+MC. (2)AM=DE十BM是否成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形（如图②），其他条件不变，(1)(2) 中的结论是否成立？请分别作出判断（不需要证明）. 图① 图② 六、解答题（本大题共12分） 23.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. (1)操作一：如图①，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF, 把纸片展平.操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点 M处，把纸片展平，连接PM,BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图 ①中一个度数为30°的角： (2)小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片AB CD按照(I)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q,连接BQ. ①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ= ,∠CBQ ②改变点P在AD上的位置（不与点A,D重合），如图③，判断∠MBQ与 ∠CBQ之间的数量关系，并说明理由. (3)在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm.当FQ=1cm时， 求出AP的长. 图① 图② 图③ 11生5155 150则DE=}+08DF=1+(m-2,EF= +(m-) 分两种情况讨论： ①当EF,DF为邻边时，此时EF=DF, 1十(a-2y=+(m-》,解得m铝 F(器）： ②当DE,EF为邻边时，此时DE=EF, 没+(m》解得m号m-2 设直线DE的表达式为y=k1x十b1, 7 k+b1=2, 1=21 ,+o,5解得 .33 ,、3 2· 直线DE的表达式为y-号一， 将=2代人得y号此时点E,D,F在同一条直 线上，F(2,2. 149 综上所述，点F的坐标为(2,56)或(2,2). 学业质量自我评价 第一章学业质量自我评价 1.C2.C3.C4.B 5.C【解析】，四边形ABCD为矩形， .∠ABC=∠BAD=90° 在Rt△BCE中，F为斜边CE的中点， 1 ..BF= E=5,BG-BF=5. 在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG=√BG一AB =3. 6.D【解析】共有以下6种拼接方法， 堡令分 ④ ⑤ 7.8√28.2 9.13【解析】：BE,CF都是△ABC的高，M为BC的 中点，BC=8, 六在R△BCE巾.EM=号BC=4, 在R△BCF中，FM=2BC=4. 166 九年级数学BS版 又EF=5, .△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13. 10.2【解析】，四边形ABCD为正方形，△ADE为等 边三角形，EF⊥AB,AD=4,.∠FAD=90°， ∠EAD=60°，∠AFE=90°，AD=AE=4,∠FAE =30EF=7AE=2. 11.152 4 【解析】如图，过点A作AH⊥D BE于点H,连接DF,交AE于点O. :正方形ABCD的面积为50，∴.AB =AD=√50=5√2，∠ADC= ∠BAD=90°.AB=AF,BF=2,∴.AD=AF,AH 1 平分∠BAF,BH=FH=2BF=1,AH VAB-B=7.:AH平分∠BAF,AE平分 ∠DAF,·∠HAF=2∠BAF,∠EAF= 名∠DAP,&∠BAH=∠HAP+∠EAF 1 1 2∠BAF+∠DAF)=ZX90°=45，.△AEH是 等腰直角三角形，∠AEH=45°，∴.EH=AH=7, .EF=EH-FH=6.又：AD=AF,AE平分 ∠DAF,∴AE垂直平分DF,∴DE=EF=6,OD= 2DF,÷∠AED=∠AEH=45 .∠DEF=∠AED+∠AEH=90°，.DF= √DE+EF=62,∴.OD=3√2.在Rt△AOD中， OA=√AD-OD=42.设OG=x(x>0),则AG =OA+OG=4√2+x.在Rt△ADG和Rt△DOG中， AG2-AD=DG2=OD2+OG,即(4√2+x)2- 6v2)3回+解得9，即cG日 41 则DG=√OD+OG =15v2 4 124度6政4 【解析】：四边形ABCD为矩形， .AB=CD=8,∠A=∠B=∠D=∠BCD=90 :E为AB的中点， ..AE=BE=4. 当△CEF为直角三角形时，分以下三种情况讨论： ①当点F与点B重合时，A E B △EFC为直角三角形，此时 EF=BE=4. ②如图①，当F在CD上，且 ∠EFC=90时，△EFC为直角D 三角形， 图① 此时四边形EFCB是矩形， ..EF=BC=6. ③如图②，当点F在AD上时，∠CEF=90. E 图② 设DF=a,则AF=6-a. 由勾股定理，得EF2+CE2=FC2, ∴.42+(6-a)2+62+42=82+a2, 10 108 ∴.a= ,则AF=6- 33 F-+( 3 综上所述，当△CEF为直角三角形时，EF的长为4 或6或43 3 13.解：(1)：四边形ABCD是矩形， .AC-BD.OA-TAC.OB-TBD. ∴.AO=OB. 又.∠AOB=56°， .∠OBA=∠OAB= 2×(180°-56)=62. AE⊥BD,∠AEB=90°， .∠BAE=90°-∠ABE=28. (2)证明：，CEBD,DE∥AC, .四边形CODE是平行四边形 :正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ∴.OD=OC,∠DOC=90°， .□CODE是正方形，.DE=CE. 14.证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC, .∠DAE=∠F.∠F=45°，.∠DAE=45°.，AF 是∠BAD的平分线，∴.∠EAB=∠DAE=45°， .∠DAB=90°，.四边形ABCD是矩形. 15.解：(1)如图，矩形BECG即为所求. (2)3 16.解：AB∥CD,AD∥BC, .四边形ABCD是平行四边形. ·AB=BC,.□ABCD是菱形 :∠ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形， ∴∠A=∠CBE=90°. .'BC=AB.BE=AF. .△BCE≌△ABF(SAS), ∴.∠BCE=∠ABF. ∠ABF+∠CBF=90°， ∠CBF+∠BCE=90°， ∴.∠BGC=∠EGB=90. :点H在线段BG的垂直平分线上， .HB=HG,∠HGB=∠HBG. :∠EHG=∠HBG+∠HGB=64°， .∠HGB=∠HBG=32°， .∴∠EGH=90°-32°=58° 17.解：(1)证明：，E为AD的中点，AE=ED= 2AD. AD=2BC...ED=BC. .'AD∥BC, .四边形BCDE是平行四边形 :∠ABD=90°，E为AD的中点， .BE=ED=AE,□BCDE是菱形. (2)AC平分∠BAD,.∠BAC=∠DAC. AD∥BC,.∠DAC=∠BCA, ∴.∠BAC=∠BCA,∴.AB=BC 在Rt△ABD中，AB=BC=2,AD=2BC=4.根据勾 股定理，得BD=√AD-AB=√4-2=2√5. 18.解：(1)证明：如图，连接BD,AC,AC与BD交于点O. AB∥CD,AD∥BC, H .四边形ABCD是平行四边形 :四边形ABCD中，E,F,G,H分 别是各边的中点， .GF∥BD,HG∥AC. :四边形EFGH是矩形，.HG⊥GF,.BD⊥AC, ∴.四边形ABCD是菱形 (2)四边形ABCD中，E,F,G,H分别是各边的 中点， .GF-EH-BD.HG-EF-AC. ,矩形EFGH的周长为22， .BD+AC=22. 四边形ABCD是菱形， 即2BD+2AC=OA+OB=1. ,四边形ABCD的面积为10， ÷75D:AC=10,即20A0B=10. .(OA+OB)2=0A2+20A.OB+OB2=121, .0A2+0B2=121-10=111, .AB=√OA+OB=√11I. 19.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥ CD,∴.∠ADE=∠GEC=90°， .AD∥GE,∴.∠DAG=∠EGH. (2)AH⊥EF,理由如下： 连接GC交EF于点O,如图. :BD为正方形ABCD的对角线， ∴.∠ADG=∠CDG=45° 上册详解详析 67△ 又DG=DG,AD=CD, .△ADG2△CDG(SAS),.∴.∠DAG =∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF=90°. 又GE⊥CD,GF⊥BC, .四边形FCEG为矩形，∴OE=OC, ∠OEC=∠OCE,.∠DAG=∠OEC. 由(1)，得∠DAG=∠EGH, .∠EGH=∠OEC, ∴.∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC =90°， .∠GHE=90°，.AH⊥EF 20.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 0c= 2AC,∠C0D=90 1 又：DE=2AC,DE=OC, ,DE∥AC,.四边形OCED是平行四边形. 又∠COD=90°，∴.四边形OCED是矩形， ..OE=CD. (2)在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°， .△ABC是等边三角形 .AD=AC=AB=8,∴AO=4, .在矩形OCED中，CE=OD=AD-AO= 43. 又在矩形OCED中，∠OCE=90°， ∴.AE=√AC2+CE=√82+(43)2=4√7. 21.解：(1)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠ABC=90°. ,DE⊥AF, .∠AGD=90 .∠ADE+∠DAF=90 ∠BAF+∠DAF=90°， .∠ADE=∠BAF. DE=AF. ,.△ADE≌△BAF(AAS), ..AD=BA, .四边形ABCD是正方形 (2)△AHF是等腰三角形. 理由：由(1)，得△ADE≌△BAF, ..AE=BF. 又BH=AE .BH=BF. ∠ABC=90°，即AB⊥HF, ,.AB垂直平分线段HF, ..AH=AF, △AHF是等腰三角形， (3)如图，延长CB到点H,使BH=AE,连接AH. :四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,AB=DA, ∠ABH=∠DAE. 68 九年级数学BS版 .BH=AE. .△ABH≌△DAE(SAS), .AH=DE,∠H=∠AED =60°. DE=AF, :.AH=AF, .△AHF是等边三角形， ..AH=HF=BH+BF=AE+BF=6+2=8, ..DE=AH=8. 22.解：(1)证明：如图①，延长AE,BC 交于点N.:四边形ABCD是正方 形，∴AD∥BN,∴.∠D=∠NCE, ∠DAE=∠N.:E是CD的中 图① 点，.DE=CE,.△ADE≌ △NCE(AAS),.AD=NC. :AE平分∠DAM,∴.∠DAE=∠EAM, .∠N=∠EAM,∴.AM=MN=MC+CN,∴.AM= AD+MC. (2)AM=DE+BM成立.理由如下： 如图②，过点A作AF⊥AE,交CB 的延长线于点F :四边形ABCD是正方形， M .AB=AD,∠ABC=∠BAD=∠D 图② =90°， ∴∠ABF=∠D=90°. AF⊥AE, ∴.∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD= ∠BAD=90°， ∠FAB=∠EAD, △AFB≌△AED(ASA), .BF=DE. :AE平分∠DAM, ∴.∠DAE=∠MAE=∠BAF. 又：∠F+∠BAF=90°，∠FAM+∠MAE=90°， .∠F=∠FAM,∴.AM=FM, ∴.AM=DE+BM. (3)结论AM=AD+MC成立，结论AM=DE+BM 不成立 23.解：(1)∠EMB(答案不唯一) (2)①15°15 ②∠MBQ=∠CBQ.理由如下： :四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠A=∠C =90°.由折叠的性质，得AB=BM,∠A=∠BMP= 90°，∴.BM=BC,∠BMQ=∠C=90°.又BQ= BQ,.Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),∴.∠MBQ =∠CBQ. (3)由折叠的性质，得DF=CF-2CD=4cm,AP PM.,Rt△BMQ≌Rt△BCQ,∴.MQ=CQ.F是 CD的中点，DF=CF=2CD=4cm.设AP= xcm,则PM=xcm,PD=(8一x)cm.分以下两种情 况讨论： ①当点Q在CF上时..FQ=1cm,.DQ=DF十 FQ=5 cm,QC=QM=CF-QF=3 cm,.'.PQ=PM 十QM=(x十3)cm.根据勾股定理，得(8-x)2+52= （十3)，解得z=铝AP的长为9cm ②当点Q在DF上时.，FQ=1cm,.DQ=DF FQ=3 cm,QC=QM=CF+QF=5 cm,.PQ=PM 十QM=(x十5)cm.根据勾股定理，得(8-x)2十32= 十5)，解得器AP的长为酷cm 40 .24 综上所述，AP的长为cm或3cm. 第二章学业质量自我评价 1.A2.C3.C4.A 5.B【解析】由题意可知，与墙平行的边长为(30一2x)m 根据题意，得(30一2.x)x=100.整理，得x2-15.x十50 =0,解得x1=5,x2=10.当x=5时，30一2x=20> 15,∴.x=5不合题意，舍去；当x=10时，30一2x=10 <15.故x为10m. 6.B【解析】：四边形ABCD是边长为5的菱形，DH 1 是AB边上的高，SAD=2AC·BD=AB· 1 DH,AB=5,2AC·BD=5DH. ,对角线AC,BD的长度分别是一元二次方程x2十 mx十24=0的两个实数根，.AC·BD=x1x2=24, 1 2X24=5DH,DH=2.4. 7.148.-1 9.-专【解折】：一元二次方程2+2mr十m=0有两 个根x1,x2∴.x1十x2=一2m,x1x2=m,△=(2m)2 4m≥0，.m≤0或m≥1.x1x2-x1一x2=x1x? 1 (x,十x2)=-1,∴.m-(-2m)=-1,m=-3: 10.2【解析】设人行通道的宽度为xm. 由题意，得(30-3x)(24-2x)=480, 解得x1=20(不合题意，舍去)，x2=2. 故人行通道的宽度为2m. 11.一2【解析】由题意，得5x2+(8一4y)x+(y2一2y +3-W)=0. x为实数，.(8-4y)2-20(y2-2y+3-W)≥0， 即5W≥(y+3)2-10≥-10，.W≥-2，∴.W的最 小值为一2. 、12.10或6或12【解析：2k-9<0,k<?, 根据题意，得6-4ac=9k-32>≥0，解得k≥ 9 又：k为整数，k=4,.原方程为x2一6x十8=0， 解得x1=2,x2=4. 若△ABC为等腰三角形， 则三边的长分别为4,4,2，此时周长为10： 若△ABC为等边三角形，则三边的长分别为2,2,2 或4,4,4，此时周长为6或12. 综上所述，△ABC的周长为10或6或12. 13.解：(1)整理，得x(3x十2)=2(3x+2).移项，得x(3x +2)-2(3x+2)=0. 因式分解，得(3x+2)(x一2)=0，.3.x十2=0或x 2=0, 2 解得x1=一3x,=2. (2)将x=3代入x2-2x+a=0,得32-6+a=0, 解得a=一3. 将a=-3代入x2-2x十a=0,得x2-2x-3=0, 解得x1=3,x2=-1. 故a的值为一3，方程的另一个根为一1. 14.解：(1)：方程x2十(2m十1)x+m2-1=0有两个实 数根， .△=(2m+1)2-4(m2-1)≥0， 5 解得m≥一4 (2),x1和x2是一元二次方程x2+(2m十1)x+m 一1=0的两个根， .x1十x2=-(2m+1),x1x2=m2-1, ∴.x1十x2+x1x2一6=0， ∴.-(2m+1)+m2-1-6=0, .m2-2m-8=0, 解得m1=4,m2=-2. 5 由(1)知m≥-4： ∴.m=4. 15.解：二两边开平方求的是平方根，而不是算术平 方根 正确的解答过程如下： 移项，得4(2x-1)2=25(x十1)2. 两边开平方，得2(2x-1)=士5(x+1), 即2(2x-1)=5(x+1)或2(2x-1)=-5(x+1), 1 解得x1=-7,x2=一3 16.解：(1)，关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0 有两个实数根x1,x2, ,∴.△=（一6）2一4(m十4)=20一4m≥0，解得m≤5. 故m的取值范围是m≤5. (2),关于x的一元二次方程x2一6.x十m十4=0有 两个实数根x1,x2, ∴.x1十x2=6,x1x2=m十4. 又：3.x1=x2十2，∴.3(6-x2)=x2十2， ∴.x2=4,则x1=2, ∴.8=m十4，解得m=4. 17.解：(1)设每个月盈利的增长率为x. 上册详解详析 69△