第一章 《特殊平行四边形》单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册《特殊平行四边形》单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖矩形、菱形、正方形性质与判定，强化几何直观与推理能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|命题辨析（如三角形三边关系）、矩形性质|基础概念辨析，强化空间观念| |填空题|6题/18分|特殊四边形关系转换、菱形判定|概念关联，培养抽象能力| |解答题|8题/72分|正方形动点证明、矩形与菱形综合|综合应用，提升推理能力与模型意识|

第一章 《特殊平行四边形》单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列命题正确的是(　　) A．正五边形的外角和是540° B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形 C．三角形两边的和大于第三边 D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形 2．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，CE∥BD， DE∥AC ， AD＝2， DE＝2，则四边形 OCED 的面积为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 3．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　） A．13 B．26 C． D． 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，对角线 相交于点为 的中点，且，则菱形 的周长为（　　） A． B． C． D． 6．若顺次连接一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．一组对边相等 D．一组邻边相等 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 ，点P为AB边上一动点(不与点A、B重合)，于点，于点，若 ，，则EF的最小值为 (　　) A．3 B．2 C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且 连接EF. 若AC=8， 则EF的长为(　　) A．1 B．8 C．4 D．2 9．如图，在中，，将的顶点E放在矩形的一边上，使得，其中与交于点F，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形的对角线，交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（每题3分，共18分） 11．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是　 　． 12．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件　 　，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可） 13．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　． 14．如图，等边△AEF的顶点E， F分别在正方形ABCD的边BC， CD上，则∠AEB=　 　°. 15．如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为　 　． 16．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，，若，则的度数为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 18．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由． 19．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，过对角线BD的中点O的线段分别交AB，CD边于点E，F. （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）当四边形DEBF 是菱形时，求线段DE的长. 20．如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，. 交AC于点E， 交AC于点 F. （1） 求证： （2） 若AC平分. ，求BD的长. 21．如图，在▱ABCD中， AC， BD相交于点O， E、F分别是OA、OC的中点. （1）求证： BE =DF. （2）连接DE，BF，已知　 　(从以下两个条件中任选一个作为已知，填写序号)，请判断四边形DEBF的形状，并证明你的结论. 条件①： AC =2BD； 条件②： AB=BC. 22．如图，在矩形中，，分别是，边上的点，且． （1）求证：； （2）当时，，，求四边形的面积． 23． 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点 P，连接OP. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=12， BD=16，求OP的长. 24．如图，在中，是的平分线，，交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，如果，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：选项A：任意多边形的外角和均为，与边数无关，因此正五边形外角和为，不是，故A错误； 选项B：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线垂直无法判定四边形为菱形，故B错误； 选项C：根据三角形三边关系，任意三角形中两边之和大于第三边，该命题成立，故C正确； 选项D：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，仅一组对角相等无法判定平行四边形，故D错误。 故答案为： 【分析】本题考查多边形外角和、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定的命题辨析。结合对应几何定理逐一验证每个命题：多边形外角和恒为；菱形需同时满足对角线垂直与互相平分；三角形天然满足两边之和大于第三边；平行四边形需要两组对角分别相等，据此即可选出正确的命题。 2．【答案】A 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故答案为：D． 【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 【分析】 根据矩形的性质和定义逐一分析选项即可． 5．【答案】C 6．【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 由题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点， ∴EF=FG=CH=EH， ∵点E，F是边AD，AB的中点， ∴， ∵点F、G是边AB、BC的中点 ∴ ∴BD=AC ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故答案为：B． 【分析】 本题考查了菱形的性质与三角形中位线定理．熟知三角形中位线定理是解题关键. 首先根据题意画出图形，由题意可知：四边形EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，根据菱形的性质：四边相等可知：EF=FG=CH=EH，再根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：，，等量代换可得：BD=AC，即原四边形一定是对角线相等的四边形，由此即可得出答案. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， ∴ 连接OP ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F ∴四边形OEPF是矩形 ∴EF=OP 当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小 ∵ ∴ ∴EF的最小值为 故答案为：C 【分析】根据菱形性质可得AC⊥BD，，根据勾股定理可得AB，连接OP，根据矩形判定定理可得四边形OEPF是矩形，则EF=OP，当OP⊥AB时，OP的值最小，即EF的值最小，根据三角形面积即可求出答案. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：在矩形中，， ， ， ， 点是边的中点， 为的中位线， ． 故答案为：D . 【分析】根据矩形性质可得点为中点，根据三角形的中位线定理解答即可． 9．【答案】D 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 故答案为：B． 【分析】 由矩形对角线互相平分、对边平行的性质，结合对顶角相等的条件，利用 AAS 判定△AOE与△COF全等，得到二者面积相等；通过面积的等量代换，将分散的三块阴影面积拼接转化为△BCD的面积；最后代入边长，利用直角三角形面积公式计算出阴影部分的总面积. 11．【答案】有一组邻边相等（答案不唯一） 【解析】【解答】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填对角线相等； 有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；对角线互相垂直的矩形是正方形，则（2）处可填 对角线互相垂直 ； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则（3）处填 对角线互相垂直； 有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；对角线相等的菱形是正方形，则（4）处可填 对角线相等 . 故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）． 【分析】由于矩形、菱形是特殊的平行四边形，故在平行四边形的基础上添加矩形具有的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该平行四边形是矩形；在平行四边形的基础上添加菱形具有的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该平行四边形是菱形；由于正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故在菱形基础上添加矩形的特殊性质“一个内角是直角或对角线相等”可得该菱形是矩形；在矩形基础上添加菱形的特殊性质“邻边相等或对角线互相垂直”可得该矩形是正方形，据此解答即可. 12．【答案】OA=OC（答案不唯一）． 【解析】【解答】解：添加条件OA=OC即可； ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵四边形ABCD对角线互相垂直， ∴平行四边形ABCD是菱形． 故答案为：OA=OC（答案不唯一） 【分析】根据菱形判定定理即可求出答案. 13．【答案】6 【解析】【解答】解：过点作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案. 14．【答案】75 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AB，∠D=∠B=90° ∵△AEF为等边三角形 ∴AF=AE，∠FAE=60° 在Rt△ADF和Rt△ABE中， ∴Rt△ADF≌Rt△ABE ∴ ∴∠AEB=180°-90°-15°=75° 故答案为：75 【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠D=∠B=90°，根据等边三角形性质可得AF=AE，∠FAE=60°，再根据全等三角形判定定理可得Rt△ADF≌Rt△ABE，则，再根据三角形内角和定理即可求出答案. 15．【答案】 【解析】【解答】解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】首先证明和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据面积法求出，进而可得的长． 16．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，∠ACB=45°， ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=90°-35°=55°， ∴。 故答案为： ． 【分析】本题先根据正方形的性质得到，∠ACB=45°，然后计算出∠EBC=55°，最后根据三角形内角和定理计算即可求出。 17．【答案】（1）证明：， ． 在中，点是的中点， ． 同理． ， （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点，，是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形． 【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得，，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据三角形中位线定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案. 18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD. ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2. ∴四边形EFGH为菱形． ∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2， ∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°. ∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH是正方形． （2）解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点． ∵BE=ΠDG， ∴四边形BGDE为平行四边形． ∴BD，EG互相平分． ∴BO＝OD. ∴点O为正方形的中心． ∴直线EG必过正方形的中心． 【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，再根据三角形全等的判定与性质证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG得到EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2，进而根据菱形的判定与性质得到∠2＋∠3＝90°，即∠HEF＝90°，再根据正方形的判定即可求解； （2）连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点，根据平行四边形的判定与性质得到BD，EG互相平分，则BO＝OD，再根据正方形的性质即可求解。 19．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， O是BD的中点， ∴∠A=90°， AD=BC=4， AB∥DC， OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 又∵∠BOE=∠DOF， ∴△BOE≌△DOF(ASA)， ∴EO=FO， 又∵OB=OD， ∴四边形DEBF 是平行四边形； （2）解：当四边形DEBF是菱形时， BE=DE=DF， 设BE=x，则DE=x， AE=AB-BE=6-x， 在Rt△ADE中， 解得： ∴即菱形的边长为 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质利用ASA得到△BOE≌△DOF，即可得到EO=FO，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质得到 BE=DE=DF，设BE=x，根据勾股定理列方程求出x的值解答即可. 20．【答案】（1）解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD， ∴∠BAC=∠DCA， ∵BE⊥BA，DF⊥DC ∴∠ABE=∠CDF=90°， 在△ABE和△CDF中 ∴△ABE ≌△CDF（ASA） （2）解：∵AC平分∠DAB，得∠DAC=∠BAC， 又∵∠BAC=∠DCA， ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=CD ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ∵∠DAB=2∠DAC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AD=12. 【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对边平行且相等，推导出角相等和边相等，从而构造全等条件，进而利用ASA定理即可证明； (2)根据“对角线平分一组对角’判定四边形ABCD为菱形，进而利用菱形的性质，可得△ABD是等边三角形，进而即可求解. 21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB =CD AB∥CD OA=OC ∴∠BAE =∠DCF E、F 分别是OA、OC 的中点， ∴ 在△ABE 和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴ （2）① 【解析】【解答】（2）解： 连接DE、BF， 选择条件，四边形DEBF 是矩形； 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC， E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴EF =BD ∴四边形DEBF是矩形； 选择条件②，四边形DEBF 是菱形. 证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OD =OB OA=OC E，F 分别是OA，OC的中点， ∴OE =OF ∴四边形DEBF是平行四边形， AB =BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD ∴四边形DEBF是菱形. 【分析】（1）由平行四边形的性质，利用证明，根据对应边相等证明结论即可； （2）若选择①，先根据对角线互相平分得到四边形是平行四边形，得到，即可证明结论；若选择②，先得到四边形是平行四边形，然后哦推理得到，证明结论即可． 22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， （2）解：由（1）得， ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，AD∥BC， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形， 设与交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出，，由证明即可； （2）由（1）中的全等三角形可得，由线段的和差可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，然后利用勾股定理求出的长，用菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可求解． 23．【答案】（1）证明：在▱ABCD中， AD∥BC， ∴∠DAC =∠ACB ， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC =∠BAC ， ∴∠ACB =∠BAC ， ∴AB =BC ， ∴四边形ABCD 是菱形； （2）解：DP∥AC ， CP∥BD， ∴四边形OCPD 是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD =90°， ∴四边形OCPD 是矩形， ∴OP = CD ， 在ABCD中， 在Rt△OCD中， ∴OP = CD =10. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，利用等角对等边得到AB =BC，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到是矩形，即可得到OP=CD，根据勾股定理求出CD的长解答即可． 24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解： 如图，过点C作交的延长线于点G， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【解析】【分析】（1）由大平行四边形ABCD得DF∥AE；结合EF∥AD，两组对边平行，先证AEFD是平行四边形；DE平分∠ADC，得∠ADE=∠EDF；DF∥AE推出内错角∠EDF=∠AED，等量代换得∠ADE=∠AED；等角对等边，得到邻边AD=AE；平行四边形 + 一组邻边相等，判定菱形. （2）平行四边形ABCD，得AB=DC=6，BC=AD=4，AD∥BC；延长AB，作CG⊥AG，由平行线同位角得∠CBG=∠BAD=60∘；Rt△CBG中∠BCG=30∘，求出BG=2，勾股算出高CG=；计算AG=AB+BG=8；在Rt△ACG中再次使用勾股定理，算出AC并化简二次根式. 学科网（北京）股份有限公司 $