第一章 特殊平行四边形单元检测练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊平行四边形，涵盖矩形、菱形、正方形的判定与性质，通过生活情境（如门窗制作）和动态几何问题（如动点P），培养几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|矩形判定（第2题）、菱形性质（第3题）|结合生活实际（李师傅做门窗）| |填空题|5/20|直角三角形斜边中线（第11题）、正方形综合（第15题）|动态旋转问题（EF旋转得GF）| |解答题|6/80|折叠性质（第17题）、菱形判定（第19题）|动点分类讨论（第21题P点运动）|

第一章 特殊平行四边形 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）下列说法正确的是（　　） A．一组对边平行的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每组邻边都相等的四边形是正方形 2．（5分）如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（　　） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 3．（5分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠A=120°时，AC等于（　　） A． B． C． D．2 4．（5分）如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 5.（5分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，要判定四边形DBFE是菱形，下列所添加条件不正确的是（　　） A．AB=AC B．AB=BC C．BE平分∠ABC D．EF=CF 6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝9cm，AD＝12cm，对角线AC、BD相交于点O．过点O作OE⊥AC，交AD于点E，则ED的长为（　　） A． B． C．2cm D． 7．（5分）如图，过矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，AF平分∠BAD交EC的延长线于点F，若BD＝8，则CF的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 8．（5分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F．已知，，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．1 9． （5分）如图，直线l上有三个正方形A，B，C．若正方形A，C的面积分别为4和3，则正方形B的面积为（　　） A．6 B．23 C．7 D．120 10.（5分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=3，BC=4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＞∠B，且两锐角之差是12°，取AB中点D，连结CD，则∠ADC＝　 　 ． 12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC的长为 ． 13．（4分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．若AC＝4，AB＝5，则四边形ADCF的面积是　 　 ． 14.（4分）如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF．若点E，A，G在同一直线上，EG=8，BC=7，则△ABC的面积为 . 15．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝11，E在AB边上，F在BC边上，且BF＝3，将EF绕着点F顺时针旋转90°得到GF，连接DG，则DG的长的最小值为　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分80分） 16．（12分）如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求证AE与DF的位置关系和数量关系． 17.（10分）如图，在长方形ABCD中，BC＝4，CD＝3，现将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在对点C'处，BC'交AD于点E． （1）试说明DE＝BE； （2）求AE的长． 18．（12分）已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，∠A＝90°．求证：四边形ABCD是正方形． 19．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若∠ACB＝60°，平行线AF与BC间的距离为，求菱形ADCF的面积． 20．（16分）如图，▱ABCD中，点G是线段BC的中点，点F是线段AB延长线上一点，连接DF，且∠CDG＝∠FDG． （1）若∠A＝45°，∠ADF＝75°，，求线段BC的长； （2）求证：AB＝BF+DF． 21．（16分）如图1，在▱ABCD中，点O是边AD的中点，连接BO并延长，交CD的延长线于点E，连接BD、AE． （1）求证：四边形AEDB是平行四边形； （2）若∠BDC＝90°，DC＝4，BC＝5，动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿EC向终点C运动，设点P运动的时间为t（t＞0）秒．若点Q为直线AB上的一点，当P运动时间t为何值时，以B、C、P、Q构成的四边形可以是菱形？ 答案 一、选择题 1．【解答】解：对于选项A， ∵两组对边互相平行的四边形是平行四边形， ∴选项A不正确，不符合题意； 对于选项B， ∵一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴选项B不正确，不符合题意； 对于选项C， ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴选项C正确，符合题意； 对于选项D， ∵每组邻边都相等，且有一个角是直角的四边形是正方形 ∴选项D不正确，不符合题意， 故选：C． 2.【解答】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，AD=BC，AB=DC， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，AC=BD， ∴平行四边形ABCD为矩形． 故选：B． 3． 【解答】解：连接AC， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD， ∴AB=BC， ∵∠A=120°， ∴∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2． 故选：D． 4．【解答】解：由图可得，∠BAC＝90°，BC＝8﹣2＝6（cm）， ∵点D为线段AB的中点， ∴ADBC＝3（cm）， 故选：A． 5.【解答】解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形； 理由：∵点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形， ∵DE=BC，EF=AB， ∴DE=EF， ∴四边形DBFE是菱形． 故B正确，不符合题意， 当BE平分∠ABC时，可证BD=DE，可得四边形DBFE是菱形， 当EF=FC，可证EF=BF，可得四边形DBFE是菱形， 故C、D不符合题意， 故选：A． 6．【解答】解：连接CE，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB＝9cm，AD＝12cm， ∴CD＝AB＝9cm，OA＝OC，∠ADC＝90°， 设ED＝acm， ∴AE＝AD﹣ED＝（12﹣a）cm， ∵OE⊥AC，交AD于点E， ∴OE是线段AC的垂直平分线， ∴CE＝AE＝（12﹣a）cm， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+ED2， ∴（12﹣a）2＝a2+92， 解得：a， ∴ED＝a． 故选：A． 7．【解答】解：如图，连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AD∥BC， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO＝∠OCB＝∠OBC， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF∠BAD＝45°， ∴∠CAF＝45°﹣∠OAD， ∵CE⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠OBC， ∴∠ECO＝90°﹣2∠OBC＝2（45°﹣∠OBC）＝2∠CAF， ∵∠ECO＝∠CAF+∠CFA， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴CA＝CF＝BD＝8， 故选：C． 8．【解答】解：如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，过E作MN⊥AD于M，交BC于N， ∴∠MAB＝∠ABN＝90°，∠MDE＝∠EBN＝45°，∠DMN＝∠AMN＝90°， ∴四边形MNBA是矩形， ∴∠BNE＝90°，AM＝BN， ∴△BNE是等腰直角三角形， ∴EN＝BN， ∴AM＝EN， ∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， ∴∠MAE+∠MEA＝∠FEN+∠MEA＝90°， ∴∠MAE＝∠FEN， 在△ENF和△AME中， ， ∴△ENF≌△AME（ASA）， ∴FN＝ME，， ∵∠MDE＝45°，∠DME＝90°， ∴△DME是等腰直角三角形，且， ∴， ∴FN＝1， 在直角三角形AEM中，∠AME＝90°，，ME＝1， 由勾股定理得：， ∴BN＝AM＝3， ∴BF＝BN﹣FN＝3﹣1＝2． 故选：C． 9．【解答】 解：如图， ∵A、B、C都是正方形， ∴DF=FH，∠DFH=90°， ∵∠DFE+∠HFG=∠EDF+∠DFE=90°， ∴∠EDF=∠HFG， 在△DEF和△FGH中， ， ∴△DEF≌△FGH（AAS）， ∴DE=FG，EF=HG， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF2=DE2+EF2=DE2+HG2， ∴SB=SA+SC=4+3=7， 故选：C． 10．【解答】解：∵AB=3，BC=4， ∴矩形ABCD的面积为12，AC===5， ∴AO=DO=AC=， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为3， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即3=AO×EO+DO×EF， ∴3=××EO+××EF， ∴5（EO+EF）=12， ∴EO+EF=， 故选：C． 二、填空题 11．【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A＞∠B，且两锐角之差是12°， ∴∠A﹣∠B＝12°， ∴∠A＝51°，∠B＝39°， ∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠BCD＝39°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝78°， 故答案为：78°． 12.【解答】解：∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， 又∵AC、BD相等且互相平分， ∴△ABO为等边三角形， 因此AC=2AO=2AB=2×2.5=5． 故答案为：5 13．【解答】解：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB， ∵AD为BC边上的中线， ∴DB＝DC， ∴AF＝CD， ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵D是BC的中点， ∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝S△ABCAB•AC5×4＝10． 故答案为：10． 14.【解答】解：∵四边形ABED和四边形ACGF是正方形， ∴∠EAB=∠GAC=45°， ∵E，A，G在同一直线上， ∴∠BAC=180°-45°-45°=90°， 设AB=x,AC=y, ∵EG=8，BC=7， ∴x2+y2=72，x+y=8， ∴x+y=8， ∴（x+y）2=x2+y2+2xy=64， ∴2xy=15， ∴xy=， ∴△ABC的面积=AB•AC=xy=， 故答案为：． 15．【解答】解：过点G作GH⊥BC，垂足为H， ∴∠GHF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝11，∠B＝90° ∴∠B＝∠GHF＝90°， 由旋转得：EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GFH＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GFH， ∴△EBF≌△FHG（AAS）， ∴BF＝GH＝3， ∴点G在与BC平行且与BC的距离为3的直线上， ∴当点G在CD边上时，DG最小且DG＝11﹣3＝8， ∴DG的最小值为8， 故答案为：8． 三、解答题 16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB， 在△DAF和△ABE中， ， ∴△DAF≌△ABE（SAS）， （2）解：由（1）知△DAF≌△ABE， ∴AE＝DF，∠ADF＝∠BAE， ∵∠BAE+∠DAO＝90°， ∴∠ADF+∠DAO＝90°， ∴∠AOD＝90°， ∴AE⊥DF且AE＝DF． 17．【解答】 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， 由翻折的性质可知∠DBE＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠ADB， ∴DE＝BE． （2）设BE＝DE＝x， 在Rt△ABE中， ∵∠A＝90°， ∴BE2＝AB2+AE2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， 解得， ∴， ∴． 18．【解答】证明：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB＝AD＝CD， ∵∠A＝90°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠CBD＝∠ABD＝45°，∠CDB＝∠ADB＝45°，∠C＝∠A＝90°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝90°，∠ADC＝∠CDB+∠ADB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°， 又∵AB＝CB＝AD＝CD， ∴四边形ABCD是正方形． 19．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB， ∵AD是BC边上的中线， ∴DC＝DB， ∴AF＝DC， ∵AF∥DC，且AF＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝CDBC， ∴四边形ADCF是菱形． （2）解：作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝90°，AG＝4， ∵AD＝CD，∠ACB＝60°， ∴△ACD是等边三角形，∠CAG＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴AC＝2CG，DG＝CG， ∵AGCG＝4， ∴CG＝4， ∴CD＝2CG＝8， ∴S菱形ADCF＝CD•AG＝8×432， ∴菱形ADCF的面积是32． 21．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝45°，AB∥CD， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝135°， ∵∠ADF＝75°， ∴∠CDF＝135°﹣75°＝60°， ∵∠CDG＝∠FDG， ∴∠CDG＝∠FDG＝30°， 作GH⊥CD于H，如图1所示： 则DHGH，CH＝GH，CGGH， ∵CD＝DH+CH，CD＝3， ∴GH+GH＝3， 解得：GH， ∴CGGH， ∵点G是线段BC的中点， ∴BC＝2CG＝2； （2）证明：延长DG交AF的延长线于M，如图2所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠CDG＝∠M， ∵∠CDG＝∠FDG， ∴∠M＝∠FDG， ∴DF＝MF， ∵点G是线段BC的中点， ∴BG＝CG， 在△CDG和△BMG中， ， ∴△CDG≌△BMG（AAS）， ∴CD＝BM， ∵AB＝CD，BM＝BF+MF， ∴AB＝BF+DF． 21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABO＝∠DEO， ∵点O是边AD的中点， ∴AO＝DO， 在△AOB和△DOE中， ， ∴△AOB≌△DOE（AAS）， ∴BO＝EO， ∴四边形AEDB是平行四边形． （2）解：∵∠BDC＝90°，DC＝4，BC＝5， ∴BD3， ∵四边形AEDB和四边形ABCD都是平行四边形， ∴DE＝AB＝DC＝4， ∴CE＝2DE＝8， ∵EP＝t， ∴PC＝8﹣t， 如图2，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形，且点P与点Q在直线BC同侧，则PC＝BC， ∴8﹣t＝5， 解得t＝3； 如图3，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形，且点P与点Q在直线BC异侧，则PB＝PC＝8﹣t， ∵BD2+PD2＝PB2，且PD＝t﹣4， ∴32+（t﹣4）2＝（8﹣t）2， 解得t， 综上所述，当运动时间t为3秒或秒时，以B、C、P、Q构成的四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $