5.4.3 正切函数的图象与性质-【成才之路•学案】2025-2026学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导(人教A版)

160 5.4.3正切函数的图象与性质 新课程标准解读 学科核心素养 能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图象. 数学抽象、直观想象 掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性. 数学运算 能利用正切函数的图象及性质解决有关问题， 逻辑推理 教材梳理明要点 ●情境导入 我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇 偶性、对称性、单调性、最值（值域）等方面来进行研究.那么正切函数有着 怎样的性质呢？ [提示] [提示] 借助单位圆，依据正切 函数定义画出函数y 曰新知初探 =tanx的图象，由图 知识点正切函数的图象与性质 象观条得到函数性质。1图象：如图所示。 正切函数y=tanx的图象叫做正切曲线. 2.性质：如下表所示。 函数 性质 y=tanx 定义域 2+hm,k∈Z 值域 R 周期 奇偶性 [知识点反思] 单调性 在每一个区间 上单调递增 正切函数在定义域内 不具备单调性，但在每 对称中心 一个开区间 _元+ 3.渐近线与周期 2 k元，2+k元]∈z 直线x=T+kπ(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，正切曲线无限接近渐近 内是增函数 线；函数y=Aan(wx+p)+b的周期是T=T [知识点反思] 161 ©预习自测 1.函数y=2tan 【2x-牙的最小正周期是 A.T B.2 C.3m D.4T 2.比较大小：tan135 tan138°.（填“>”或“<”） 题型探究提技能 题型一 正切函数的定义域、值域问题 [方法总结1] 例1.(1)若y=tan2x-年)，则该函数定义域为 求与正切函数有关的 函数的定义域时，除了 (2)函数y=tan+， 2 的值域是 求函数定义域的一般 要求外，还要保证正切 D[方法总结1] 函数y=tanx有意义， 》跟踪训练1 即x≠交+h元，k∈Z. 2 (1)函数f(x)=tan2x在 6’6 上的最大值与最小值的差为 B23 [方法总结2] A.23 3 C.2 D. 3 1.求函数y=Atan(wx +o)(A,ω，0都是常 (2)函数y=tanx-2anx(lxl≤牙的值域为 数)的单调区间的方法 (1)若ω0，由于y= 题型二正切函数的单调性及应用 anx在每一个单调区 例2 (1)求函数y=tan 2x-牙的单调区间. 间上都是单调递增的， 故可用“整体代换” 1 看成一个整体，利用正切函数 的思想，令元受 < 的单调性，求得该函数的单调递增区间 (2)比较m-1F与an-的大小 0x+e质元+经求 得x的范围即可， 利用诱导公式化到同一单调区间 ●[方法总结2] (2)若ω0，可利用诱 内，再运用函数的单调性比较大小 导公式先把y= Atan(wx+p)转化为y =Atan[-(-ωx-p)] =-Atan(-ωx-p), 即把x的系数化为正 值，再利用“整体代 换”的思想，求得x的 范围即可. 2.运用正切函数单调 性比较大小，先利用函 数的周期性或诱导公 式将角化到同一单调 区间内，再运用单调性 比较大小关系. 162 》】跟踪训练2 (1)比较tan1,tan2,tan3的大小 (2)求函数y=3an(年-2x的单调区间， 题型三正切函数的周期性与奇偶性 例3.(1)求函数x)=m3x-罗的最小正周期 (2)已知函数f(x)=asinx+btan x+2,若f(3)=-1,求f(-3)的值. g(x)=f(x)-2具有奇偶性 》跟踪训练3 (1)函数f代x)=1tan2xl是 （) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C周期为罗的奇函数 D.周期为的偶函数 (2)若函数y=3anox+石的最小正周期是7，则w= 6 163 随堂检测 重反馈 1函数y=anx+行的定义域是 A.xeRx≠km+石keZ B女eRx≠m-石keZ CeRx2≠km+石keZ D.teRtz2ka-g.kez 2.下列各式中正确的是 A.tan735°>tan800° B.tan 1 >tan 2 C.tan 5T AT 9 7 <tan D.tan 7 8<tan 7 3函数y=tan牙-x(xe TT 44 ,且x≠0的值域为 4已知函数y=anx-哥 ,则该函数图象的对称中心坐标为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[50] 5.5 三角恒等变换 5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 新课程标准解读 学科核心素养 了解两角差的余弦公式的推导过程，知道两角差的余弦公式的意义 数学抽象、逻辑推理 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍 逻辑推理、数学运算 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化 简等问题 数学运算 第1课时 两角差的余弦公式 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们已经知道一些特殊角的三角函数值（如下表） 0° 30° 45° 60° 90° 120° 1350 150° 180° 函数 0 T T T 2 3T 5 6 4 2 3 4 6 T 1 1 sin a 0 √2 3 1 3 2 2 0 2 2 2 2 2 [提示] cos Q 3 2 1 0 2 3 15。=45°-30°= 2 2 2 2 2 2 60°-45，利用两角差 那么15的余弦值是多少呢？ [提示] 的余弦公式可求得.上单调递减，故C不正确；当<<2m时，智<x-石< 子y=sin2x的单调碱区间呢[k红+牙k如+]eZ, ,所以)在(，2)上不单调，故D不正确故选A 3[ 0≤x≤ 2,6 (2)y=c(号-2x）=o(2x-号)，由2km≤2x-号≤ 一(+引s号，所以函数的值蚊为[-分引 2水m+mkeZ,得km+石≤≤km+,keZ函教y=4[2,10]令1=0e,由于eR,故1≤s1y4+5 =(t-2)2+1,当t=-1时，即cosx=-1时函数有最大值 (牙-2的单调递减区间是[m+君km+keZ). 10:当t=1,即cosx=1时函数有最小值2.所以该函数的值域 是[2,10]. :(1)co 5.4.3正切函数的图象与性质 因为0<号<号<，则y=mx在[0，]止单调递减。 教材梳理 明要点 所以cas号>eus智，即o12>csl号 新知初探 知识点 (2)因为es1=sim(受-1），面0<受-1<1<受且y=2m 奇函数 (-受+m,受+m）(kez) 钙0kez 血在[0，]上单调递增， 预习自测 所以sin(受-1)<siml,即cos1<sinl 1BT =2m (3)sin164°=sin(180°-16)=sin16°，cos110°=cos(90°+2.<函数y=tanx在90°~180°上单调递增，所以tan135°< 20°)=-sin20°. tan 138. 因为sin16°>0，-sin20°<0，所以-sin20°<sin16°， 题型探究 提技能 即cos110°<sin164°. 跟踪训练2：(1)B(2)cos150°<cos760°<sim470° :D{≠g+受，ez (2)(1,5] 【解析】(1)由题意可知0<a<受，0<B<受，且a+B> 【解析】 (D因为y=m(2x-平），所以2x-年≠受+6m 受，所以B>受-a,且0<受-a<受”y=inx在 eZ),解得x≠语+钙，e乙，所以接画数定义城为 8 [0,]上为单调递增函数，sinB>sim（受-a）,即sinB >cosa.故选B. (2)c0s150°<0，sin470°=sin110°=c0s20°>0，c0s760°= (2)因为x∈(0，引，所以5+年∈（平，引结合正切函数 c0s40°>0，且c0s20°>cos40°，所以c0s150°<cos760°< sin470°. 的性质可得：1<y≤5 郎：因为0≤≤号，所以-号≤2x-号≤等 跟踪训练1：(1)A(2)[-1,3+25] 【解析】 所以-9≤2-号）1， (1)画数)=am2x在[-石，]上单调递增， 因为a>0, 可得代x)=am(2×石）=厅：可得f()m=m(-2× 所以x)a=a+b=5x)m=-5。 0+6=-2. 石)=-5，所以最大值与最小值的差为2厅 ra+b=3, 得a2, (2)冷令=an,11≤骨由正切函教的图象知MG b=-2+3 [-5,5],原函数可化为y=2-2u,ue[-5,W5],二 次函数y=u2-2w=(u-1)2-1图象开口向上，对称轴方程 跟踪训练3：y=cos2x-sinx=1-sin2x-sinx=- sin+ 为让=1，∴.当u=1时，ymn=-1,当u=-5时，ymw= )*话 3+25,.原函数的值域为[-1,3+25] :(1)由km-受<7x-平<km+受(keZ),得2km-受< 2 x<2T+ 所以当mx=一分，即x=一君时，函数取得最大值， 受keZ,所以函数y=m(宁一平)的单调递塔 区间是(2km-受，2km+要）(kez), 4 当sinx=,即x二时，函数取得最小值 (2)于m(-1）=m(-4领+婴）=m经：-m子 2 2 随堂检测重反馈 am(-号）=-m(2m+)=-am又0<< 1.Ccos10°=sin80°，sim168°=sin12°.sin80°>sim12°> sin11°，即cos10°>sim168°>sim11°. <受，而y=amx在(0，受)上单调递增，所以an平< 2B由2+号2a2+要eZ得+≤m+m-m>-m号即m(-）>m(-号) 2 -349 跟踪训练2：(1)因为tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). 预习自测 又因为受<2<m,所以-牙<2-m<0 1.Dos(30°-45°)=cos30°c0s45°+sin30°simn45°=5x2 +号*96 2 2 因为号<3<m,所以-牙<3-m<0 2 4 显然-号<2-m<3-m<1<受， 2B原式=o(45-159)=m30-号 又y=amx在(-受，受）内是单调递增的.。 题型探究提技能 所以tan(2-π)<tan(3-r)<tan1,即tan2<tan3<tanl. 1:6牛E(2分(3) 4 2y=3am(年-2x）=-3am(2x-平）： 【解析】(1)cos15°=c0s(45°-30)=c0s45°·cos30°+ 由-受+m<2-寻<受+km得，-骨+经<x<得+钙 sin45°·sin30°= ×+号×分6牛 4 EZ), (2)原式=c0s83°c0s23°+sin83°sin23°=cos(83°-23°)= 所以y=3n(子-2x的单调递减区间为(-晋+空，受 c0s60°=2 1 (3)原式=c0s[(a-35°)-(25°+a)]=c0s(-60°)= +受)kez. s60= 郎：(1)因为2an(3x-牙）=2m(3x-号+m）, 跟踪训练1：（)原式=os(72-12)=os60°= 即m[3(+号）-号引之am(3x-号)】 (2)原式=cm(2m+号）as(2m-君)+im(a-号)· 因此f(x+牙)=f(),故函数的最小正周期为T= (2)令g(x)=asin x+btanx,则f(x)=g(x)+2. 因为g(-x）=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)= -g(x), 所以g(x)是奇函数. 因为f3)=g(3)+2=-1,所以g(3)=-3,则g(-3)=3. 故f代-3)=g(-3)+2=3+2=5. 2:18 (2)见解析 跟踪训练3：（1)D(2)±2 【解析】(1)f代-x)=Itan(-2x)1=Itan2xl=f(x)为偶函 【解析】(1)：180°<a<270°，sina=-5,cosa= 数，T=牙故选D 号：又：0<B<10,m8=音w8=-0 5 (2)语=受w=2 ms(a-BA)=+inin=(-子）×(-是)+ 随堂检测重反馈 1.A由正切函数的定义域可得，+号≠受+m,ke乙，≠ (号)×品格 6 +km,keZ故函数的定义域为{xeRx≠石+km,keZ (2)<a受a+<m, 2Dam=(+）=tm因为0<<号<受 m(a+)=手s(a+牙）=子， y=anx在(0，牙)上是增函数，所以an号<ian号，即 oa=e[(a+平）-】 =(+子）os平+im(a+)m 3 3.(-∞，-1]U[1,+∞) +4x巨- 5 2 2 =10 4(经+骨0）ez由-号经(ez得=经+号 4 3 2 跟踪训练2：由sina= ae(受，），得 eZ),所以图象的对称中心坐标为（经+号.0）k∈乙 a=a-√-（传 5.5三角恒等变换 又由cosB=- 方B是第三象限角，得inB=-√-coSB 5 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 -()号 第1课时两角差的余弦公式 所以cos(a-B)=coB+sin asin B=(-子）× 教材梳理明要点 新知初探 ()+号×()=器 知识点 cos a cos B+sin asin B 例3：(1)子(2)见解析 -350