1.4《 正方形的性质与判定》同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过基础辨析、中档应用、综合探究三层设计，实现正方形性质与判定从概念理解到综合推理的递进巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|正方形定义、性质与判定的单一辨析|单选题1-4聚焦概念辨析，如平行四边形到正方形的判定条件，培养抽象能力与推理意识| |中档层|性质的综合应用与简单计算|填空题5-8结合图形变换（如旋转、折叠）及面积计算，发展几何直观与空间观念| |拔高层|多知识点综合探究与证明|解答题9-15涉及正方形与菱形、矩形的综合证明及动态问题，提升推理能力与创新意识|

1.4《正方形的性质与判定》同步练习 一、单选题 1.已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 B.当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是OA上一点，连接DE,若 OE=1 DE=3 ,则1E的长为《) D E B A.22-1 B.V2-1 C.2-√2 D.2V2-2 3.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是另一个正方形AB'CO的一个顶点.如 果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为() A.3 B.6 C.9 D.4 4.数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为V5 的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上，如图 2,，小明将正方形1BCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DC上时，此时BE的长为 ABCD DG C G 图1 图2 A.1 B.3 C.2 D.3W2-4 二、填空题 5.如图，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，连接AC,AE,且AC=CE,则∠BAE 的度数为 B 6.正方形ABCD中，点O为对称中心，EF过点O且点E在AD上，点F在BC上，BF=3, ·则 CF=1 D B 7.如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为10，小正方形的面积为6，则阴影 部分的面积为 B 8.如图，等边三角形ABC的边长为4+2V5,正方形DEFG的四个顶点分别落在△ABC的三边 上，则正方形DEFG的边长为 E 三、解答题 9.已知BD是菱形ABCD的对角线. B D C 图1 图2 (1)如图1，以A为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点EF,连接AE,AF,CE,CF 求证：四边形AECF是菱形： (2)尺规作图：在图2中作正方形AMCN,其中M,W在BD上（保留作图痕迹，不写作法） (3)在(2)的条件下，已知∠ABC=60°，菱形ABCD面积为S,求正方形AMCN的面积（用含 S的代数式表示). 10.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90°，CN⊥AC,AN与BD交于点E,且E为 AN中点· A E B (1)求证：OE∥CW; (2)求证：四边形ABCD为正方形； AE (3)连接CE,ND,若四边形ECND为平行四边形，直接写出BC的值. 1L.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点 G,DG EF 与交于点 O B E (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)若AD=AE,求证：AB=AG; (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求DF的长. 12.正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形AB,CD的顶点A与点O重合，且这两个正方形 的边长都是1.已知4D,AB与正方形ABCD的边分别交于M,N两点. ()N B B M M D 图1 图2 C (1)如图1，若AD1DC,则重叠部分四边形OMCN的面积是 (2)当正方形AB,CD绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形OMCN的面积是否发生变化？ 证明你的结论； (3)在正方形AB,CD绕着点O旋转的过程中，请直接写出MN的最短长度是多少. 13.综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动. B A H D G E G\M 图① 图② 图③ 图④ 【动手操作】 第一步：如图①，四边形ABCD是正方形纸片，将该纸片对折，使DC与AB重合，折痕为EF, 展开铺平，如图②； 第二步：沿直线CE折叠，使点D落在D'处，CD'交EF于点G,如图③； 第三步：延长ED'交AB于点H,连接CH交EF于点M,如图④. 【解决问题】 (I)线段BH与D'H的数量关系是 ； GF (2)若正方形ABCD的边长为4·①求BH的长；②求GE的值. 14.在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC. A 0 O P ○ N F 以 B E 图1 图2 (1)求证：平行四边形ABCD是正方形； (2)如图1，点E,F分别在边BC,CD上，BE=CF,AE与BF相交于点H,求证：AE⊥BF; (3)如图2，在(2)的条件下，点N在AH上，HN=BH,连接DN,HP平分∠AHF交DN于点 P,连接1并廷长交CD于的O,者D0=C0,BE= 10,求线段DP的长. 15.【问题情境】在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点（不与A、C重合），连接DE、 BE,过点E作EF LDE,交BC于点F ,交于点· A E E E M B F 图1 图2 图3 (1)【猜想证明】如图1所示，求证：△CDE≌△CBE. (2)【解决问题】如图2所示，分别以DE,EF为邻边作矩形DEFG,①求证：四边形DEFG BF 是正方形；②若cE=CD,求CF的值. (3)【拓展提升】如图3所示，点N是CD的中点，连接BN交EC于点M,若EF⊥BN,MN=1, 则正方形ABCD的边长为 (直接填写结果) 参考答案 一、单选题 1.D 解：，四边形ABCD是平行四边形， 选项A,对角线互相垂直的平行四边形是菱形，，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，选项 A结论正确，不符合题意； 选项B,当BD平分∠ABC时，可得∠ABD=∠DBC,又平行四边形ABCD中ADIIBC, ∠ADB=∠DBC·∠ABD=∠ADB,:.AB=AD,一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形 ABCD 是菱形，选项B结论正确，不符合题意； 选项C,有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∴当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形， 选项C结论正确，不符合题意； 选项D,对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，.当AC=BD时，四边形ABCD 是矩形，不一定是正方形，选项D结论错误，符合题意. 2.A 解：四边形ABCD是正方形， 六AC⊥BD,AC=BD, o4=ac=4c,o8=00号8D, ∴.∠AOD=90°，OA=OD, :0D=VDE2-0E2=32-P-=2V2 .0A=0D=2W2, .'AE =0A-OE=22-1. 3.C 解：如图，设AB与AO交于点E,BC与CO交于点F, ”正方形1BC 、正方形4BC0 ∴.∠AOB=∠AOC'=90°AO=BO∠OAE=∠OBF=45° ∴.∠AOE=∠BOF 在△AOE和△BOF中， ∠OAE=∠OBF AO=BO ∠AOE=∠BOF, .△AOE≌△BOF(ASA) SAAOE =SABOF 则两个正方形重叠部分的面积为 1 1x62=9 S.aE+5.0e=S,ae+S.4aE=S.os=45E方形D= 4.B 解：连接AC,交BD于点O,如图所示： G F 9 图2 在正方形ABCD中，AD=AB=V2,∠BAD=90°， 则AC=BD=VAD+AB2=2, ∴.OA=OD=1AC⊥BD 在正方形AEFG中，AG=AE,∠EAG=90°， '∠BAE=∠BAG+∠EAG=∠BAG+90°∠DAG=∠BAG+∠BAD=∠BAG+90° ∴.∠DAG=∠BAE 在△DAG和△BAE中， AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE ∴.△DAG≌△BAE(SAS) ∴.BE=DG 在R△A0G中，0A=L,AG=5,则由勾殷定理可得0G=V4G-0=2, .BE=DG=OD+OG=3 二、填空题 5.67.5 解：四边形ABCD是正方形 ∴.∠ABC=90°，∠ACB=45 .AC=CE ∴.∠CAE=∠E .:∠ACB是△ACE的外角 ∴.∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E ∴∠E=22.5° 在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠E=90°-22.5°=67.5°， 6.25 解：如图，连接AC,过点E作EG⊥BC于点G, D G 四边形HBCD 是正方形，点为对称中心 点1与点C关于点°对称， ADBC ∴.∠EAO=∠FCO 在△AOE和△COF中 I∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF ∴.△AOE≌△COF(ASA) .AE=CF=1 .BF=3,CF=1 .∴.BC=BF+CF=3+1=4 ”四边形1BC 是正方形 ∴.∠A=∠B=90°AB=BC=4 .∠EGB=90° ·四边形 ABGE 是矩形 .∴.EG=AB=4,BG=AE=1 ∴.GF=BF-BG=3-1=2 在RtAEGF中，由勾股定理得 EF=VEG2+GF2=V42+22=V16+4=V20=2√5 7.5 解：如图，连接BF, D B ABCD 四边形 和右侧四边形均为正方形， ·AC、BF分别为正方形的对角线， ∴.∠CAB=∠FBE=45° .AC∥BF ∴.S.cAF=SHBc “大正方形的面积为， 10 w×10=5,即阴影都分的面积为5 1 1 S.cHr=S。ABc= 8.25 :△ABC为等边三角形且边长为4+2V3, .AB=AC=4+2V3,∠A=∠B=60° ,四边形DEFG为正方形， ∴.DE=GD=EF,∠GDE=∠FEB=90° .∠ADG=∠FEB=90° 在△ADG和△BEF中， [∠A=∠B ∠ADG=∠FEB DG=EF .△ADG≌aBEF(AAS), ∴.AD=BE 设AD=BE=m, :∠A=60°，∠ADG=90° ∴.∠AGD=30° 在RiADG中，AG=2AD=2m,DG=VAG2-AD=V5m .DE=DG=3m .AD+DE+BE=AB=4+2V3」 即m+V3m+m=4+2W3 解得m 4+2w520+3）-2 2+V32+V3 ∴.DE=V3m=2√3 三、解答题 9.(1)证明：连接AC,如图所示： ,四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD,AO=CO, 根据作图可知：AE=AF, ..OE=OF, .四边形AECF为平行四边形， ,AC⊥EF, ∴.四边形AECF是菱形 (3)解：如图， 设AB=x, ,四边形ABCD是菱形， ∴.BA=BC,BD平分∠ABC,AC⊥BD, ∠ABC=60°， ·△4BC是等边三角形，∠AB0=)x60°=30 2 .AC=AB=x, :0B=VAB2-0A= 2 ..BD=20B=x, SImn-2ACDx5 1 2 2 2W 即 S ,:四边形AMCN为正方形， .MN=AC=x, .SE方形4MCv=2 cww 2, S苏C-2×}S-V3、 -S 3 10.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.点O为AC的中点， 点E为AN的中点， .OE为△ACN的中位线， ..OE I CN (2)证明：四边形ABCD为平行四边形，且∠BAD=90°， ∴.四边形ABCD为矩形， ,CN⊥AC, .∠ACN=90°， ..OElICN ∴.∠AOE=∠ACN=90°， ∴.BD⊥AC, ,:四边形ABCD为矩形且对角线互相垂直， ∴.四边形ABCD为正方形； (3)解：如图，连接CE,WD, D E 由(1)知OE为△ACN的中位线， OE-CN,OEICN. 2 由(2)知四边形ABCD为正方形， ∴.OA=OB=OC=OD,∠AOD=∠BOC=90°， 设OE=a,则CN=2a, ,四边形ECND为平行四边形， .'DE=CN=2a,OA=OB=OC=OD=OE+DE=3a, 在RtAOE中，AE=VOAP+OE2=Vi0a 在RtBOC中，BC=VOB+OC2=32a. AE 10a 5 ∴.BC32a3. 11.(1)证明：，矩形ABCD, ∴.∠BAF=∠ABE=90° EF⊥AD, ∴.四边形ABEF是矩形. ,AE平分∠BAD, ∴.EF=EB, ∴四边形ABEF是正方形； (2)证明：.AE平分∠BAD, ∴.∠DAG=∠BAE. .DG⊥AE ∴.∠AGD=∠ABE=90° 在△AGD和△ABE中， I∠DAG=∠BAE ∠AGD=∠ABE AD=AE :△1GD≌aABE(AAS) ∴.AB=AG; (3)解：由(1)知，四边形ABEF是正方形 ∴AB=BE=1. 由(2)知△AGD≌△ABE, ∴.DG=BE=AB=AG=1, 4D-VAG+DG .'DF=AD-AF=2-1. 12.(1)解：：四边形ABCD和4BCD都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， .∠BCD=∠B4D=90°，CD=1,OC=OD,AC⊥BD, .AD⊥DC,即∠AMC=90°， ∴.四边形OMCN是矩形， 又.OC=OD,AC⊥BD, .OM -CN-CD- 2 .∴矩形OMCN是正方形， 1.11 .重叠部分四边形OMCN的面积是2×2-4. (2)解：四边形OMCW的面积不发生变化.证明如下： “四边形MBCD ABCD 和四边形 都为正方形， .∠OBC=∠OCD=45°OB=OC∠B0C=90°∠D,OB,=90° :∠BON+∠CON=90°∠CON+∠COM=90° .∠BON=∠COM 在△COM和△BON中， [∠OCM=∠OBN OC=OB ∠COM=∠BON' ∴.△COM≌△BON(ASA) .S△coM=SABON “重叠部分四边形OMCV的面积为 SACOM SACON =S△BON+SACON =S.OBC SE方D 4 =-×1×1 4 1 24 即四边形OMCN的面积不发生变化， (3)解：：四边形ABCD和ABCD都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， 1 ∠ADC=∠BCD=∠B,4D=90°，AD=CD=l,OC=2AC, 21 在R4CD中，AC=VAD+CD2=V2 0C- 2, 如图，取MN的中点E,连接AE,CE,, B O(A) B. E D M D C 在RaMN中，4E-:在R△CN中，CE-W, 2 2 又AE+CE之OC,当且仅当4，E,C三点共线时，等号成立， MW+)Mw≥2 1 1 .2 2 2,即 w≥ 2, v② ∴MN的最短长度是2. 13.（1)解：.四边形ABCD为正方形， ∴.CB=CD,∠D=∠B=90°， 由折叠的性质可得CD'=CD,∠D=∠CD'E=90°， ∴.∠CD'H=180°-∠CD'E=90°，CB=CD', 在RtACD'H和Rt△CBH中， CD'=CB CH=CH, RtACD'H≌RtACBH(HL) .'BH=D'H (2)解：①.四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD=CD=BC=4，∠D=∠A=∠ABC=90°， ,四边形ABCD是正方形纸片，将该纸片对折，使DC与AB重合，折痕为EF,展开辅平， DE-AE-T4D-2, 由折叠的性质可得D'E=DE=2, 由(1)可得BH=D'H, 设BH=D'H=x,则EH=D'E+D'H=2+x,AH=AB-BH=4-x, 由勾股定理得AE2+AH=EH, :2+(4-x=2+x 解府 ②如图，连接BM, H M小F G 由折叠的性质可得EF垂直平分BC, CF=BC=2,BM=CM ∴.∠MCF=∠MBF, .∠ABC=90°， ∴.∠MCF+∠CHB=90°，∠MBF+∠MBH=90°， ∴.∠CHB=∠MBH, ∴.BM=HM, ∴.CM=HM, ∴.MF为△CBH的中位线， .MF-TBH=2 2 2 3 由折叠的性质可得∠DCE=∠D'CE,EFI‖DC,EF=CD=4, ∴.∠FEC=∠DCE, ∴.∠FEC=∠D'CE, ∴.GE=GC, 由勾股定理可得GF2+CF2=GC2, .GC=GE=EF-GF=4-GF, :.GF2+22=(4-GFy 3 :GF=2, .GE=EF-GF=5 2, GF2-3 GE=55. 14.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠ABC=∠ADC∠ABC+∠ADC=I80° ∴.∠ADC=∠ABC=90° 小平行四边形 ABCD 是矩形， AB=BC 小平行四边形 BCD 是正方形； (2)证明：在正方形ABCD中，AB=BC, ∴.∠ABC=∠BCF=90° ∴.△ABE≌ABCF .∠BAE=∠CBF .∠ABF+∠CBF=∠ABF+∠BAE=90° ∴.∠AHB=90° AE⊥BF (3)解：如下图所示，过点A作AM⊥AH交HP延长线于M,连接DM, :AE⊥BF ∴.∠AHF=90° 3 :P平分∠Ar ∴.∠AHP=45° :AM⊥AH ∴.∠MAH=90° .∠AHP=∠AMP=45° .AH=AM ∴.△AHM 为等腰直角三角形， ∴.∠EAM=∠BAD=90° .∠BAH=∠DAM AB=AD ∠BAH=∠DAM 在 和 中， ABH△ADM AH=AM .,△ABH≌AADM :.∠AMD=∠AHB=∠MAH=90°MD=BH :AH DM .∴.∠PHN=∠PMD .·BH=HN .MD=HN [∠HPN=∠MPD ∠PHN=∠PMD 在 和 PNH'△PDM 中， HN =MD ..PNHSPDM .PM=PH .AP⊥PH∠HAP=45 延长CB到点G,使BG=DD, AB=AD ∠ABG=∠ADC=90° 在RtADO 和 RtAABG 中， BG=DO ∴.△ADQ≌△ABG ∴.∠DAQ=∠BAG AG=AQ .∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAQ+∠BAE=45° ∴.∠GAE=∠QAE=45° AG=AO ∠GAE=∠QAE 和 △AGE△AQE AE=AE ∴.△AEG≌△AEQ ..DO=BG EG=EO .BE+DO=BE+BG=GE=EO ∴.CE2+CQ2=EQ M A DO=x,BC=CD=2x,CE=BC-BE=2x-10,EQ=GE=BE+BG=x+10 可得：2+(2x-o=(x+o, 3V10 解得：=0（不符合题意，舍去），5= 2, ∴AB=CD=3V10 .AE=AB2+BE2=10 S.w-2AB-BE-AEB 2 .3V10×V10=10×BH .BH=3 HE=BE2-BH2=1 AH=AE-HE=10-1=9 过点D作DK⊥AN于K, .·∠ADK+∠DAK=90°∠DAK+∠BAE=90° ·,∠ADK=∠BAE [∠AKD=∠AHB=90° ∠ADK=∠BAE 在 和 ADK△ABH 中，AD=AB .△ADK≌△ABH .AK=BH=3 DK=AH=9 KN=AH-AK-NH=3 ..DN=DK2+KN2=310 ∴DP-号DN-3 2 2. 15.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .BC=CD∠BCE=∠DCE 又：CE=CE, .ACDE≌aCBE(SAS) (2)证明：①如图2，'△CDE≌△CBE, .DE=BE∠CBE=∠CDE ,四边形ABCD是正方形， ∴.∠DCB=90° ,EF⊥DE ∴.∠DEF=90 ∴.∠CDE+∠EFC=360°-90°-90°=180° ∴.∠CBE+∠EFC=180° :∠EFB+∠EFC=180° ∴.∠CBE=∠EFB ∴.BE=EF ∴.DE=EF ,四边形DEFG是矩形， 四边形DEFG是正方形. ②如图2，CE=CD, E F 图2 ∴.∠CED=∠CDE ,四边形ABCD是正方形 ∴.BC=AD=CD=CE∠ADC=∠DEF=90°∠DAE=∠ECF=45° ∴.∠ADC-∠CDE=∠DEF-∠CED ∠ADE=∠CEF ，即 .△ADE≌ACEF(ASA) .AE=CF ~在Rt△ABC中，4C=VAB+BC=V2BC2=V2BC=V2(BF+CF) 又，AC=AE+CE=CF+BC=CF+BF+CF=2CF+BF, :.(BF+CF)=2CF+BF, :(N2-I)BF=(2-V2)CF BF-2 C (3)解：如图3，EF⊥DE,EF⊥BN, D M 分 图3 .DE BN N CD 点是的中点， “点M是CE的中点， BC=CD=2NC MN是△CDE 的中位线， ∴.DE=2MN=2 .·△CDE≌△CBE ∴.BE=DE=2∠CED=∠CEB .DE I BN ∴.∠CED=∠BME ∴.∠CEB=∠BME ∴.BM=BE=2 ∴.BN=BM+MN=3 在RtABCN中，由勾股定理得BC2+CN2=BW2即(2CN)2+CN2=9, :Cw=25 5 .cD-5