周测三(1.4)-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

8.4【解析】如图，过点O作OG⊥BC 于点G,则∠A=∠OGF=90°，OG= AB.,四边形ABCD是矩形，O是 AD的中点，AB=2,AD=4,∴.OA= G F AB=OG.,∠EOF=90°，.∠AOE+∠EOG= ∠EOG+∠GOF=90°，.∠AOE=∠GOF,∴.△AOE ≌△GOF(ASA),∴.AE=GF,.EB+BF=EB+AE +BG=AB+BG=4. 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 0A=0C=号AC.AC.BD.∠C0D=90 DE=专AC0C=DE. DE∥AC, ∴.四边形OCED是平行四边形. 又：∠COD=90°， '.□OCED是矩形. (2)四边形OCED是矩形， 0F-20E-cD-AD-5. 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=CD AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°，∴.∠BAC=∠DCA. ,AB=6cm,BC=8cm,.AC=10cm.,'G,H分别 是AB,DC的中点，AG=号AB,CH=CD, ∴AG=CH.由题意，得AE=CF,∴.AF=CE ∴.△AGF≌△CHE(SAS),∴.GF=HE,∠AFG= ∠CEH,∴.GF∥HE,以E,G,F,H为顶点的四边 形始终是平行四边形 (2)如图，连接GH ,G,H分别是AB,DC 的中点，∴AG=DH.易 证AGHD为矩形，∴.GH =AD=BC=8cm,∴.当 EF=GH=8cm时，四边 形EGFH是矩形.分两种情况讨论： ①E,F相遇前，EF=(10-4t)cm,即10-4t=8,解 得t=0.5: ②若E,F相遇后，EF=(4t-10)cm,即4t-10=8, 解得t=4.5. 故当t为0.5或4.5时，以E,G,F,H为顶点的四边 形是矩形. 11.解：(1)①5/34√106√97 ②PA+PC=PB2+PD (2)成立.理由如下： :四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=∠ABC ∠ADC=∠BCD=90°，∴.∠EAB=∠FBA=90°. ,过点P作EF⊥AD,分别交AD,BC反向延长线 于点E,F,.∠E=90°，.四边形ABFE和四边形 DCFE都是矩形，.AE=BF,DE=CF. .PD2=DE2+PE=CF2+PE2,PA=AE2+PE2 =BE2+PE2,..PD2-PA=CF2-BE2 52 九年级数学BS版 .PC2=CF2+PF2,PB2=BE2+PF2..PC2- PB2=CF2-BF2,:PC2-PB2=PD2-PA, ∴.PA2+PC2=PB2+PD2. (3)√T-1 【解析】(3)如图，作PM⊥ CA交CA的延长线于点 M,则∠PMC=90°，∴.PC2 P =PM+CM2.PA'=PM2 十AM2. 作BN⊥PM交PM的延长 N 线于点N,作CT⊥NB交NB的延长线于点T,连接 AT,PT. ∠BAC=90°，∴∠BAM=90. :∠AMN=∠N=∠CTN=90°，∴.四边形ABNM 和四边形CTNM都是矩形，.TN=CM,BN=AM, ..PT2=PN2+TN2=PN+CM2,PB2=PN2+ BN2=PN2+AM2,.PT2-PC2=PN2-PM2, PB2-PA?=PN2-PM2,:.PT2-PC2=PB2- PA2.PA=1,PB=3,PC=√5，.PT= √PB+PC-PAF=√32+(3)2-1=√1T. TA+PA≥PT,.TA+1≥√I,.TA≥I 1. ,AB∥MN,∴.∠ABT=∠N=90°，∴.四边形ABTC 是矩形，.TA=BC,.BC>I1一1，.BC的最小 值为√T-1. 周测三（1.4) 1.C 2.B【解析】连接AC,CF,如图 ,四边形ABCD和四边形CEFG 都是正方形， H ∴.∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC =√2BC=2√2，CF=√2CE= 62, .∠ACF=45°+45°=90°. 在Rt△ACF中，AF=√/(2√2)+(6√2)2=45. :H是AF的中点， CH=2AF=25. 3.D【解析】如图，连接BD,EF交于点 O,则BD⊥EF,:正方形ABCD的面 积为16，∴.AD=AB=√16=4，∠A= 90°，∴.BD=AD+AB=4√2，OD =2BD=2V2.:菱形BEDF的面积 为42EF-2X42=20E=号EF=1DE 42 =√OD+OE=3,∴.菱形BEDF的周长=4DE=4 ×3=12. 4.C【解析】如图，在DC上截取DH=BG,连接AH. ,四边形ABCD是正方形，AB= AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABG.在 △ADH和△ABG中， (AD=AB, ∠ADH=∠ABG, DH=BG. .△ADH≌△ABG(SAS),.AG= AH,∠DAH=∠BAG, .∠DAB=∠GAH=90」 ,将射线AE绕点A顺时针旋转45°后交CB的延长 线于点G,∴∠GAE=45°，.∠GAE=∠HAF=45°. 又AF=AF,.△AFG≌△AFH(SAS),.∠AGF =∠AHF. :∠AFD=a,∴.∠AHF=180°-a-45°=135°-a =∠AGF. :AB∥CD,∴.∠BAE=∠AFD=a,∴.∠BAG=45°- a,∴∠AGC=90°-(45°-a)=45°+a,∴.∠CGF= (135°-a)-(45°+a)=90°-2a. 5.22.5° 6.3【解析】如图，将△APB绕点B顺时 针旋转90°，得到△CP'B,连接PP'. 根据旋转的性质，得△APB≌△CP'B, .BP=BP′=2，AP=CP'=1, ∠PBP'=90°，∠BP'C=135°， ∴△PBP'是等腰直角三角形， .∴.∠BP'P=45°，PP'=√BP+BPF=√22+2=22. ∠BP'C=135°，∠BP'P=45°， .∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，即 △PPC是直角三角形， ∴.PC=√PP+CPF=√(22)2+12=3. 7.6【解析】四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD 交于点O,.AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,OA= OB,∠OAD=∠ODA=∠ODC=45°..OM⊥ON, ∴∠AOM+∠MOD=∠MOD+∠DON=90°， ∴.∠AOM=∠DON.在△AOM和△DON中， ∠OAM=∠ODN=45°， OA=OD. ∠AOM=∠DON, ∴.△AOM≌△DON(ASA),.SAw=S△oN.四边 形MOND的面积是9，即S△N十S△oM=S网边影MaD =9,.S△AOM十S△D0M=S△A0n=9,.SE方形ABD= 4SA0D=4X9=36,∴.AB=√36=6. 8.105°【解析】·四边形ABCD为正方形， ..OA=OD,∠OAD=∠ODA=45°. EF∥AD, .∠OEF=∠OAD=45°，∠OFE=∠ODA=45°， .∠OEF=∠OFE=45°， ∴.∠AEF=∠DFE=135°，OE=OF. .OA=OD...AE=DF. (AE=DF, 在△AEF和△DFE中，∠AEF=∠DFE, EF=FE, .△AEF≌△DFE(SAS), ∴.∠CAF=∠FDE=15°， ∴.∠ADE=∠ODA-∠FDE=45°-15°=30°， ∴.∠AED=180°-∠OAD-∠ADE=180°-45°-309 =105° 9.解：(1)证明：△ABE为等边三角形， .∴.∠EAB=∠EBA=60°，AE=BE=AB ,四边形ABCD为正方形， .AD=BC=AB,∠DAB=∠CBA=90°， ∴.∠DAE=∠CBE=90°-60°=30°，AD=AE=BC =BE. ∴.△ADE≌△BCE(SAS), ..CE=DE. (2)30 【解析】(2)，BD是正方形ABCD的对角线， ∴.∠ADB=45 :∠DAE=30°，AD=AE, 1 ∠ADE=2×(180°-30)=75， ∴.∠EDB=∠ADE-∠ADB=75°-45°=30°. 10.解：(1)DG=BE,DG⊥BE. 证明：如图①，设BE与DG交于点M,连接BD. ,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， .∠GAE=90°=∠BAD,AG=AE,AD=AB, ∠ADB=45°， ∴∠GAD=∠EAB, .△GAD≌△EAB(SAS), .DG=BE,∠GDA=∠EBA, .∠BMD=180°-∠GDA-∠ADB-∠DBM= 180°-∠EBA-45°-∠DBM=90°， ∴.DG⊥BE 图① 图② (2)如图②，过点E作EH⊥AB于点H. ,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴.∠GAE=90°=∠BAD,∠EAF=45°， .∠HAE=45. ,AB=4,AE=√2，∠AHE=90°， ∴.AH=EH,AH2+EH=AE,解得AH=EH =1, .BH=4-1=3, ∴.BE=√1+32=√10. 11.解：(1)CM=DN,且DN⊥CM. 理由：，四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠B=∠NCD=90° 又.BM=CN, ∴.△BCM≌△CDN(SAS), ∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN. 上册详解详析 53Λ :∠BCM+∠MCD=90°， ∴.∠CDN+∠MCD=90°， .∠COD=90°， .DN⊥CM. (2)连接CE并延长交AD于点G,连接GM,如图①. ,四边形ABCD是正方形， M .AD=AB,∠A=90°，BC∥AD .∠ENC=∠EDG. 又，NE=DE,∠NEC=∠DEG, ∴.△CNE≌△GDE(ASA), ∴.CE=GE,CN=GD=1」 图① 又，MF=CF,.EF是△CMG的中位线， EF=号MG 正方形的边长为4，BM=GD=1, ,∴.AM=AG=3. 在Rt△AGM中，由勾股定理，得GM=√AM+AG =√32+32=3√2， EF=3 2 (3)线段PM的长为3Y☑ 17 【解析】(3)如图②，过点B作BH⊥CM于点H. .CM2=BC2+BM2, .CM=√+4=√/17. Sa=CMBH=C·BM, .17BH=4X1, BH=47 17 ∴CH=√BC-BH=16V7 17· ∠BPC=45°， 图2 ∴PH=BH=47 17· ·PC=PH+CH=207 17 ∴PM=PC-CM=3V7 17 周测四(2.1~2.2) 1.A2.C3.A4.B5.C 6.A【解析】，一元二次方程(m一3)x2十x十m2-9=0 的一个根为0，.m2一9=0且m一3≠0，解得m= -3. 7.x1=3,x:=48.3 9.2031【解析】，n是方程2x2一3x-6=0的一个根， .2n2-3n-6=0,.2n2-3n=6,.2m2-3n+2025 =6+2025=2031. 10.2【解析】由题意，得B-A=x2十2x-4x十3=x 54 九年级数学BS版 -2x十3=(x-1)2+2.:(x-1)≥0，.(x-1)2+ 2≥2，即点A,B之间的距离至少为2. 11.15【解析】：a2十b2=6a+12b-45,.a2-6a十b2 -12b+45=0, .a2-6a+9+b2-12b+36=0,.(a-3)+(b- 6)2=0. (a-3)2≥0，(b-6)2≥0，.a-3=0,b-6=0,.a =3,b=6. 根据三角形三边关系，6为腰长，∴.三角形的周长=6 +6+3=15. 12.x=一2【解析】将等式√5一2x=1一x两边同时平 方，转化为整式方程，得5一2x=1-2x十x2,解整式 方程，得x1=2,x2=一2.经检验，x1=2不符合题意， 舍去，x2=一2符合题意.故x=一2是原方程的解. 13.解：(1)原方程可化为(y十2)=12. 两边开平方，得y+2=±2√3， y1=-2+2√5，y2=-2-23. (②)移项得r-号=1.配方：得r-号十（兮） =1+(兮)广，即(。一》广-0两边开平方得 1 3 41 (3)原方程可化为x-3x=3· 配方得(-号)-子 两边开平方，得一号-士。 2+√72-√7 .x1 3 一，x2 3 (4)原方程可化为x2-3.x=10.配方，得x2-3.x十 (》=10+(号》，即(x-》-9两边开平方， 3 7 得x-2=士2心x1=5x:=-2. 14.解：(1)证明：由题意，得△=m2一2m十1=(m-1)2. :无论m取何值，(m一1)≥0，.无论m取何值，该 方程总有两个实数根. (2)若四边形ABCD是菱形，则AB=BC,即方程有 两个相等的实数根，∴.(m一1)2=0，∴.m=1.将m=1 1 1 代人方程，得x-x+4=0,解得工=x=2,故当 m=1时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长 (3)根据题意，将x=2代入方程x一mx十？一 24 0,解得m=子将a=号代人方程一mr十号是 =0,得2-名十1=0，解得=2=号BC周测三 (时间：60分钟满 一、选择题（每小题6分，共24分） 1.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则 以AC为边的正方形ACEF的周长为() A.14 B.15 C.16 D.17 G H 60B AD BC 第1题图 第2题图 2.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中， 点D在CG上，BC=2,CE=6.若H是AF 的中点，则CH的长是 () A.5 B.25C.√10 D.4 3.如图，正方形ABCD的面积为16，菱形 BEDF的面积为4√2，则菱形BEDF的周 长为 A.23B.3 C.8√3D.12 第3题图 第4题图 4.如图，在正方形ABCD的边BC上取一点 E,连接AE并延长交DC的延长线于点F. 将射线AE绕点A顺时针旋转45°后交CB 的延长线于点G,连接FG.若∠AFD=a,则 ∠CGF的大小是 () A.a B45-号 C.90°-2a D.60°-a 二、填空题（每小题7分，共28分） 5.如图，E为正方形ABCD的对角线BD上的 一点，且BE=BC,则∠DCE= (1.4) 分：100分+10分) B 第5题图 第6题图 6.如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA, PB,PC.若AP=1,BP=2,∠APB=135°， 则PC的长为 7.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点 O,M是边AD上一点，连接OM,过点O作 ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的 面积是9，则AB的长为 第7题图 第8题图 8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,E,F分别为AO,DO上的点， 且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°， 则∠AED的度数为 三、解答题（第9,10小题各15分，第11小题 18分，共48分) 9.如下图，在正方形ABCD的内部作等边三角 形ABE,连接DE,CE,DB. (1)求证：CE=DE, (2)∠EDB的度数为 上册限时周测 121 10.如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG 有公共顶点A,连接BE,DG. (1)如图①，请判断BE与DG的数量关系 与位置关系，并证明你的结论 (2)如图②，已知AB=4,AE=√2，当点F 在边AD上时，求BE的长 图① 图② 1114115 122 九年级数学BS版 11.几何直观【问题背景】如图，正方形ABCD 的边长为4.M,N是边AB,BC上两点，且 BM=CN=1,连接CM,DN,CM与DN 相交于点O.(18分) 图① 图② 图③ 【探索发现】 (1)如图①，探索线段DN与CM的数量与 位置关系，并说明理由.(8分) (2)如图②，若E,F分别是DN与CM的 中点，计算EF的长.(10分) 【拓展提高】 (3)(选做题)如图③，延长CM至点P,连 接BP.若∠BPC=45°，请直接写出线段 PM的长.(10分)