1.4 正方形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学正方形性质与判定同步练，分层设计清晰，从基础概念辨析到综合应用探究，梯度合理，适配新授课知识巩固与思维提升，体现几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形性质（对角线、边角）与判定的直接应用|选择1-5题辨析性质差异，填空7题添加条件判定正方形，夯实概念理解| |中档|性质的计算与简单推理|填空8-12题结合图形计算边长、面积，解答14-17题证明正方形及线段关系，提升运算与推理能力| |拔高|综合应用与分类讨论|选择6题动态最值、填空13题分类讨论和谐线，解答19题等角线四边形探究，培养空间观念与创新意识|

1.4 正方形的性质与判定 一、选择题： 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(    ) A. 四个角都为直角 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2.正方形一条对角线长为，则周长为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(    ) A. B. C. D. 5.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：，，，中选两个作为补充条件，使▱如图为正方形，现有下列四种选法，你认为错误的是(    ) A. B. C. D. 6.（拔高题）如图，四边形是正方形，边长为，点、分别在轴、轴正半轴上，点在上，且点坐标为，是上一动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 7.如图，在菱形中，对角线，相交于点，请添加一个条件          ，使得菱形为正方形． 8.如图，在正方形中，，分别为，上的点，且，垂足为若，则          ． 9.如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点若，则的长为          ． 10.如图，在中，，点是斜边的中点，以为边作正方形若正方形，则          ． 11.如图，在平面直角坐标系中有一个正方形，边长为，顶点的坐标为在正方形的边，，，上各有一点，，，，顺次连接，，，四点所得四边形为矩形若点的坐标为，点的坐标为，则点和点的坐标分别为          ． 12.某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板如图，由个等腰直角三角形、个正方形和个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为          ． 13.（分类讨论拔高题）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫作这个四边形的和谐线已知在四边形中，，，是四边形的和谐线，则的度数为          ． 三、解答题： 14.如图，在中，，平分，于点，于点求证：四边形是正方形． 证明：，，， ，四边形是矩形            平分，           角的平分线的性质， 四边形是正方形            15.如图，正方形的对角线，相交于点，求证：． 16.如图，正方形的边长为，，分别为，的中点．求证：；求的面积． 17.如图，已知四边形为正方形，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以，为邻边作矩形，连接．求证：矩形是正方形；探究：请直接写出线段，，之间的数量关系． 18.（画图题）尝试交流 如图，四边形是正方形．若在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点，重合，则菱形的另外两个顶点需要满足什么条件 若在图中画一个矩形，使矩形的四个顶点，，，依次在正方形的边，，，上，则矩形的四个顶点需要满足什么条件 19.（综合拔高题）综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“等角线四边形”如图进行研究． 定义：对角线相等的凸四边形为等角线四边形． 在我们下列学过的特殊四边形中，一定是等角线四边形的有          填序号；平行四边形；矩形；菱形；正方形． 性质探究如图，若，，，分别是等角线四边形四条边，，，的中点，此时以，，，为顶点的四边形称为它的中点四边形，当时，请判断中点四边形的形状并说明理由； 如图，在中，，为外一点，若以，，，四点为顶点的四边形为等对角线四边形且对角线互相垂直，请直接写出以，，，为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积． 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6. 【解析】作点关于的对称点，连接，求出，根据，可得结论．【详解】解：四边形是正方形，边长为， 平分，， 如图，作点关于的对称点，连接，， 点在上，，，点坐标为， ，， ，的最小值为． 7.答案不唯一  8.  9.  10.  11.，或，  12.  13.或或 【解析】【提示】由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形． 当时，是等边三角形 当时，四边形是正方形 当时，过点作于点，过点作于点， 根据边角关系可以求出，． 再根据角度的关系分别求解即可． 14.有三个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的矩形是正方形 15.证明：四边形是正方形，，，，  在和中，．  16.【小题】证明：四边形为正方形， ，  ，  ， 、为、中点， ，， ， 在和中， ； 【小题】解：由题意知、、均为直角三角形，  且，， ，正方形 ． 17.【小题】证明：如图，过点分别作于点，作于点，． 四边形为正方形，，平分，，，四边形是矩形，，，，，，，矩形为正方形． 【小题】 18.【小题】菱形的另外两个顶点在上，且关于直线对称． 【小题】矩形的四个顶点需要满足和均经过正方形的中心设为点，且被点平分． 19.【小题】【小题】四边形为正方形，理由如下： ，，，分别是等角线四边形四条边，，，的中点， ，，，，，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形； 【小题】分以下两种情况： 当点在的上方时，如图，，，，分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由可知，四边形为正方形，且， 四边形的面积为； 当点在的下方时，如图，，，，分别是等角线四边形四条边，，的中点，对角线，， 由可知，四边形为正方形，且， 四边形的面积为； 综上，以，，，为顶点的等角线四边形的中点四边形的面积为或．  【解析】  本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质． 根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及“等角线四边形”逐一判断即可； 【详解】解：平行四边形的对角线不相等，故不是等角线四边形； 矩形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 菱形的对角线不相等，故不是等角线四边形； 正方形的对角线相等且是凸四边形，故是等角线四边形； 综上，一定是等角线四边形的有． 故答案为：；  由中位线定理及等角线四边形的定义可得，，，，，，，证明四边形是菱形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是正方形；  分两种情况讨论，由可得中点四边形为正方形，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $