第二十五讲 同角三角函数的基本关系 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦同角三角函数的基本关系，核心涵盖平方关系、商数关系及常用变形，通过衔接三角函数定义与象限角知识，梳理公式推导与特殊角值，搭建从基础到应用的学习支架。 资料亮点在于易错点精准提示与题型分层设计，以“知一求二”“齐次弦化切”等解题步骤培养学生逻辑推理与运算能力，结合方程、不等式等跨知识应用，提升数学思维与问题解决能力，适配不同学习需求。

第二十五讲 同角三角函数的基本关系 【学习目标】会利用同角三角函数的基本关系解决有关的求值、化简和证明问题． 【学习重点】同角三角函数的基本关系的推导与运用． 【学习难点】同角三角函数的基本关系的运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 注：1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2.同角三角函数关系式的常用变形 （1）; ; （2）“”方程思想知一求二． （3）. （4）； . (5).; . 3、特殊角的三角函数值： 0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tan 0 1 不存在 0 不存在 4易错点汇总 （1）.对任意角恒成立；，不能等于 0； （2）.开平方，符号完全由角所在象限决定，无象限条件必须分类讨论； （3）.平方之后会丢失正负信息，平方之后一定要回判符号； （4）.弦化切：分式齐次，二次齐次要会使用做分母代换； （5）.二次方程根的题型，要检验，舍去不在值域的根。 题型一：同角三角函数两大基本关系式 1.平方关系：，对任意角恒成立。 变形：；。开平方时符号由角所在象限决定 2.商数关系：，成立条件，即。 变形：。 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 3．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：知一求二（已知一个三角函数值，求另外两个） 给出其中一个值，求剩下三角函数。 解题步骤： 1.使用平方关系列方程； 2.根据角所在象限，判断三角函数正负； 3.取舍正负解，再利用商数关系求。 易错提醒： ①题目给出象限，直接确定符号； ②没有给出象限，必须分多象限分类讨论。 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6（多选）．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7（多选）．已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 8（多选）．已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 题型三：整体处理（平方整体代换） 核心完全平方变形： 题型特点：已知，求或者求。 做题要点： 1.先平方，求出； 2.再结合角所在象限，判断整体正负，再开方； 3.不能直接开方，一定要看象限判断符号。 9．已知，是方程在上的两根，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 11．已知，，求的值． 题型四：齐次式 “弦化切”（分式齐次、二次齐次） 1.一次齐次分式（分子分母均为一次式） 例：，分子分母同时除以，全部转化为。 2.二次齐次题型（含） 利用，把分母补成 “1”，即，分子分母同除以，全部化成。前提条件：已知的值，适合弦化切 12．（1）已知，求的值. （2）证明：. 13．已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 14．. (1)求； (2)求. 题型五：三角恒等式证明、化简 证明思路： 1.从等式左边化简推导到右边；或者左右两边同时化简得到同一个式子。 2.常用手段：平方关系变形、弦切互化（切化弦），将改写为。 3.“1” 的代换：。 15．求证： (1)； (2)． 16．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 17．求证：. 题型六：三角函数与一元二次方程结合 已知是一元二次方程的两根，结合韦达定理（根与系数关系）+ 同角公式解题。 要点： 1.韦达定理写出、； 2.结合建立等式； 3.同时要注意三角函数取值范围：，舍去超出范围的根。 18（多选）．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七：三角函数求最值、基本不等式 “1 的代换” 形如，利用进行乘 1 变换，再用基本不等式求最小值。 注意：要满足基本不等式一正二定三相等条件。 19．的最小值是_______. 题型八：充分必要条件、命题辨析、象限符号判断 1.充分、必要条件：三角函数等式一般是多解，单向推导，注意判断谁能推出谁。 2.根据角所在象限，直接判断正负； 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 20．已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22（多选）．已知且，下列说法不正确的有（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 4．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6（多选）．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7（多选）．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8（多选）．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 10．已知是第二象限的角，化简_________ 11．已知，在第二象限，则的值为__________ 12．已知，则_____. 13．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 14．计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 15．已知，计算下列各式的值． (1)； (2)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五讲 同角三角函数的基本关系 【学习目标】会利用同角三角函数的基本关系解决有关的求值、化简和证明问题． 【学习重点】同角三角函数的基本关系的推导与运用． 【学习难点】同角三角函数的基本关系的运用. 必掌握知识点 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 注：1、利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2.同角三角函数关系式的常用变形 （1）; ; （2）“”方程思想知一求二． （3）. （4）； . (5).; . 3、特殊角的三角函数值： 0 sin 0 1 0 cos 1 0 0 tan 0 1 不存在 0 不存在 4易错点汇总 （1）.对任意角恒成立；，不能等于 0； （2）.开平方，符号完全由角所在象限决定，无象限条件必须分类讨论； （3）.平方之后会丢失正负信息，平方之后一定要回判符号； （4）.弦化切：分式齐次，二次齐次要会使用做分母代换； （5）.二次方程根的题型，要检验，舍去不在值域的根。 题型一：同角三角函数两大基本关系式 1.平方关系：，对任意角恒成立。 变形：；。开平方时符号由角所在象限决定 2.商数关系：，成立条件，即。 变形：。 1．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知为锐角，，则， 故． 2．若，是方程的一个根，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程，结合的范围可得，应用同角三角函数的基本关系对目标式进行化简求值即可. 【详解】由可得：，解得：. 已知，该区间内，故.所以. 3．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，联立方程组，求得，代入即可求解. 【详解】因为，联立方程组， 因为角为第二象限角，所以， 所以，则. 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 代入，化简得，又，，所以， 则有，. 题型二：知一求二（已知一个三角函数值，求另外两个） 给出其中一个值，求剩下三角函数。 解题步骤： 1.使用平方关系列方程； 2.根据角所在象限，判断三角函数正负； 3.取舍正负解，再利用商数关系求。 易错提醒： ①题目给出象限，直接确定符号； ②没有给出象限，必须分多象限分类讨论。 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的平方关系对所求式平方，结合已知条件计算平方结果，再根据的范围判断所求式的符号，开方后得到最终值. 【详解】， 已知，因此，结合，可得， 故，开方得. 6（多选）．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将等式两边取平方，利用同角三角函数关系式求得，结合角的范围求出，再与原式联立求出的值，进而求出即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以， 解得，则和符号相反. 因为，所以，则，. ， 因，则， 将其与联立，可得，，所以. 综上，选项A、B、D正确，选项C错误. 7（多选）．已知，且，其中，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用已知平方可得，进而求解出范围，求出范围可得. 【详解】因为，，两边平方整理得， 因为，所以，，所以且， 所以，则可知，故. 所以的值不可能是，和. 8（多选）．已知是第四象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用第四象限角的三角函数符号判断各选项. 【详解】因为是第四象限角，所以，，. A.，正确. B.，与矛盾，错误. C. 由平方关系知，在第四象限不等于，错误. D. 由且得，正确. 【点睛】第四象限：正弦负、余弦正、正切负；开方得绝对值. 题型三：整体处理（平方整体代换） 核心完全平方变形： 题型特点：已知，求或者求。 做题要点： 1.先平方，求出； 2.再结合角所在象限，判断整体正负，再开方； 3.不能直接开方，一定要看象限判断符号。 9．已知，是方程在上的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，两边平方后转化为的一元二次方程，利用根与系数的关系可求解. 【详解】由，得，两边平方得， 所以，所以， 由题意知是上述的一元二次方程的根，所以. 10．已知函数； (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， . （2）由得，，解得， 所以与异号，因为，所以，则，， 所以，， ， 所以. 11．已知，，求的值． 【答案】 【详解】由，平方得 ，即 ， 于是 ． 因为 ，有 ，，故 ，得 ． 联立 ，解得 ，，所以 ． 因此 ． 题型四：齐次式 “弦化切”（分式齐次、二次齐次） 1.一次齐次分式（分子分母均为一次式） 例：，分子分母同时除以，全部转化为。 2.二次齐次题型（含） 利用，把分母补成 “1”，即，分子分母同除以，全部化成。前提条件：已知的值，适合弦化切 12．（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）； （2）证明: . 【分析】（1）利用齐次式“弦化切”的方法求解； （2）利用同角三角函数的基本关系对等式左侧进行化简证明. 【详解】（1）已知， 所以. （2）略. 13．已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据终边上点得，由齐次式化弦为切即可求值； （2）由平方关系及已知求得、，即可求值. 【详解】（1）由题设，，则， 所以； （2）由题设，则， 所以，，则， 所以，所以. 14．. (1)求； (2)求. 【答案】(1)2 (2)2 【分析】（1）应用齐次式弦化切计算求解； （2）应用同角三角函数关系结合齐次式弦化切计算求解； 【详解】（1）因为，所以， 化简得，故； （2）因为，所以.题型五：三角恒等式证明、化简 证明思路： 1.从等式左边化简推导到右边；或者左右两边同时化简得到同一个式子。 2.常用手段：平方关系变形、弦切互化（切化弦），将改写为。 3.“1” 的代换：。 15．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 左边 右边．故原式成立． (2) 因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． 【分析】（1）从左向右证明，利用代换后进行弦化切证明即可； （2）将两边切化弦，计算得到左边，右边，即可求证. 16．证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 【分析】（1）提公因式，由化简即可证明； （2）弦切互化结合可得，化简即可证明； （3）分子分母同乘结合化简即可证明. 17．求证：. 【答案】 证明：左边 右边. ∴原等式成立. 【分析】从左向右证，先对左边分母中的1进行常值代换，然后再化弦为切即可得证. 题型六：三角函数与一元二次方程结合 已知是一元二次方程的两根，结合韦达定理（根与系数关系）+ 同角公式解题。 要点： 1.韦达定理写出、； 2.结合建立等式； 3.同时要注意三角函数取值范围：，舍去超出范围的根。 18（多选）．设，已知是方程的两根，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，求得，结合三角函数的基本关系式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】因为是方程的两根， 可得， 对于A，由，平方可得， 解得，所以，解得，所以A错误； 对于B，由， 因为且，所以， 所以，则，所以B正确； 对于C，联立方程组，解得， 所以，所以C错误； 对于D，由 ，所以D正确.故选：BD. 题型七：三角函数求最值、基本不等式 “1 的代换” 形如，利用进行乘 1 变换，再用基本不等式求最小值。 注意：要满足基本不等式一正二定三相等条件。 19．的最小值是_______. 【答案】9 【分析】由并根据基本不等式中“1”的应用计算即可. 【详解】依题意易知，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故答案为：9 题型八：充分必要条件、命题辨析、象限符号判断 1.充分、必要条件：三角函数等式一般是多解，单向推导，注意判断谁能推出谁。 2.根据角所在象限，直接判断正负； 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 20．已知，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系，结合充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】已知，若，则， 所以“”可以推出“”； 已知，若，则， 所以“”不能推出“”；故“”是“”的充分不必要条件. 21．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，因为，所以， 所以， 当时，因为，所以，所以， 所以时，则“”是“”的“必要不充分条件”. 22（多选）．已知且，下列说法不正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、的值，进而分析判断. 【详解】因为，解得或， 又，则，可得. 所以，，，，故AD正确，BC错误.故选：BC. 巩固提升： 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角正弦，余弦关系结合题设可得答案. 【详解】由题得整理可得，注意到，则． 3．已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 4．已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用同角三角函数平方关系，结合完全平方公式以及角的范围分析求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得， 由， 因为，所以，又，所以， 所以，所以. 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以. 6（多选）．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以， 所以，A正确； 对于B，C，因为，所以，因为，所以，，所以，C正确；，B错误； 对于D，因为，所以，所以，D错误. 7（多选）．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同角三角函数关系求出，结合选项判断即可得到答案. 【详解】联立，解得或， 因为，所以，所以，故A正确； ，故B错误；，故C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：AC 8（多选）．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查同角三角函数的基本关系，利用平方关系对已知式变形，结合θ的范围判断三角函数符号，逐项验证选项即可. 【详解】选项A：已知，因此， 将两边平方得：， 解得， 因此，故，A正确； 选项B：由上述计算得，B错误； 选项C：计算， 因为，故，开方得，C正确； 选项D：利用平方差公式分解：，D正确. 9．已知角的终边经过点，且，为第二象限角，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据θ的象限和的值求，得到点P的坐标，再利用任意角三角函数的定义计算. 【详解】已知θ为第二象限角，，得： 故，，故 则原点到点P的距离， 故. 10．已知是第二象限的角，化简_________ 【答案】 【详解】因为是第二象限的角，则，，可得，， 可得， ， 所以原式. 11．已知，在第二象限，则的值为__________ 【答案】 【详解】由，在第二象限，则. 12．已知，则_____. 【答案】 【分析】解法一：由题意可得，根据同角三角函数平方关系可得，进而计算即可求解；解法二：根据商数关系化简可得，由计算即可求解. 解法一：， ，， ， ，. 解法二： ， ，解得， . 故答案为：. 13．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合平方关系可得，，结合任意角三角函数值的符号运算求解； （2）根据题意结合（1）的结果列方程求，进而可得. 【详解】（1）因为， 即，解得， 则， 又因为，且， 则，，可得， 所以. （2）由（1）可知，解得， 所以． 14．计算： (1)已知为第二象限角，，求 (2)已知 （i）求的值 （ii）求的值 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可； （2）（i）利用同角商数关系可求得，再利用齐次式可求值；（ii）利用，结合齐次式即可求值. 【详解】（1）由为第二象限角，得，由，得， 所以， （2）由，得，解得. （i）； （ii） . 15．已知，计算下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：分式上下同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； （2）解法一：将原式变形为分母为的分式，再将分子分母同时除以，代入计算即可； 解法二：根据题意得，代入所求即可； 解法三：由分类讨论和同角的三角函数计算出和，代入计算即可； 【详解】（1）解法一：； 解法二：因为，所以，即， 所以； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时； 若在第四象限，则， 此时，综上； （2）解法一：； 解法二：因为，所以，即， ； 解法三：已知，若在第二象限，则，， 此时， 若在第四象限，则，， 此时，综上； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $