湖南永州市宁远县第一中学2027届高三上学期收心检测数学学科试卷

2027届高三年级上学期收心检测数学学科 满分：150分时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. L.已知集合A={x∈Z-1<x<10,B={yy=x2,x∈A,则AnB中的元素个数为() A.4 B.5 C.2 D.3 2.已知a,5是两个不共线的向量，向量6-a,)a-2五共线，则实数的值为() 23 4 A.3 B.2 C.3 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,其中an=19-2n,则Sn取得最大值时n的值为() A.8 B.9 C.10 D.11 4.已知直线4：ar+2y-a+1=0,42:3x+(a-1)y-2=0,则“a=-2”是“412”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知函数f(x)=log2(x2-ax)在区间(，2)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.（-0,l) B.（-oo,l C.(-0,2] D.(1,2) 6.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张， 其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有() A.18种 B.27种 C.36种 D.54种 7.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0),直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 2,则OM的最小值为() A.3 B.6 C.45 D.3 5 21-x,0≤x≤2， 8.已知函数f(x)= }/(-2以.x>2函数8()=/)-c有4个零点。则实数太的取值范 围是() ag開B别 D.i 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个 选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分. 9.已知z,=2+i,22=1-2i,则() A.= B.3+z=V10 C.2=l D.3122=z22 10.过点P(2,2)作圆C:(x+2)'+(y+2)=2(r>0)的两条切线，切点分别为A,B,下 列结论正确的是() A.0<r<2√2 B.若aPAB为直角三角形，则r=4 C.△PAB外接圆的方程为x2+y2=4 D.直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0 1I.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为棱CD的中点，P为侧面BCCB内 一点（含边界），则() D A.若P为线段BC上一点，则三棱锥D-PAE的体积为定值 B.若该正方体表面上的动点T满足DT=2,则动点T的轨迹长度是4π C.若P为侧面BCC,B的中心，则过，点E且与DP垂直的平面截正方体所得截面面积为 6 D.若该正方体的内切球表面上的动点Q满足BQ/1平面ACD,则线段BQ长度的最小 值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设随机变量X~N(0,o2),且P(Xs1)=0.66,则P(X≤1)= 13.已知曲线y=x+nx在点(L,)处的切线与曲线y=a2+(2a+3)x+1只有一个公共点，则 d= 14.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于 同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关 于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被 6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a},则数列{an}的项数为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 及验算步骤。 15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)(sinB-sinC)=(a-c)sinA. (1)求B; ②)若△MBC的面积为35，且D=2DC,求BD的最小值 4 16.如图，在三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC,AC=BC,四边形ABBA是菱形， 2 ∠AAB=。π，平面ABB1A1⊥平面ABC,点E是BB中点，点F是AC上靠近C点的三等分 3 点。 B (1)证明：AC⊥AB； (2)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值. 17.对于定义在R上的函数f(x),若x,∈R，使得f(x)=x,成立，则称x为函数f(x)的 不动点 (I)若f(x)=x2-x+1,求y=f(f(x)的不动点： (2)对于二次函数f(x)=2x2-(2+a)x+a-1」 ()当0<x<2时，函数g(x)=f(x)+2有唯一的不动点，求实数a的取值范围； ()若函数f,)有两个不相等的不动点，西，且，>0，求点+2x++2x,的最小值 18.已知椭圆C:+产=1(1>)的左、右焦点分别为斤、5.直线1：y=:+m(m≠0) 与椭圆C交于M、N两点(M点在N点的上方)，与y轴交于点E. (1)当1=3时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求△AFF的周长； ②若椭圆C的离心率为25，当k为何值时.1OMP+1ONP恒为定值：并求此时△MON面 积的最大值， 19.DM训练机器人玩传球游戏，现有编号为l,2,,n(n∈N,n≥3)的n位球员围成一个圆， 机器人DM居于圆心位置，传球规则如下：球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回 DM为一次传球.DM传球给目标球员顺序依次为1→23→·→n.每次传球时，DM只 从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员（如当前应传至k号，则k为目标 球员)，则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为k+1号；若选中非目标球员 则传球失败，球传回DM,DM记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员， 且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为1次传球，直到第” 号球员接球后传回机器人DM游戏终止. (1)当n=5时， ()求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率； (i)设X为完成全部传球所需总次数，求X的分布列及数学期望E(X: (2)设Xn为完成全部传球所需总次数，若E(X+Y)=E(X)+E(Y)证明E(Xn)<2n-ln(n+I) 2027届高三年级上学期收心检测数学学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D & C B y y D ABC BD 题号 11 答案 ACD 7.A【详解】设M(x,y),因为直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2， 所以少，-》，=2，化简得到点M的轨迹方程y=-号x+2,(x≠±2)， x+2x-2 oMF+了，将y=+2代人得到1oM=++2=-+4. 令1=得到1≥0且14，所以1OM--1+4,(20且14)为开口朝上的二次蹈数 对称轴1=2当1=2时，OM=3,所以OM1nn=V5故选：A 8.D【详解】当0≤x≤1时，f(x)=2-2x,当1≤x≤2时，f(x)=2x-2, 当2<x≤3时，0<x-2≤1，f(x-2)=2-2(x-2)=-2x+6, 所以f()=)f(x-2)=-x+3, 当3<x≤4时，1<x-2≤2，f(x-2)=2(x-2)-2=2x-6, 所以f(x)=)f(-2)=x-3, 当4<x≤5时，2<x-2≤3，f(x-2)=-(x-2)+3=-x+5, 所以7-e-2)=+ 当5<x≤6时，3<x-2≤4，f(x-2)=(x-2)-3=x-5, 所以1()-心x-2)-x-多作出函数f的大致图象 =f(x V-kx 23 456x 若函数g(x)=f(x)-:有4个零点，即y=f(x)与y=x有4个交点， 当直线P=过点4时.=分当直线)=：过点44时.日 由图可知，)=)与y=c有4个交点时，有日≤k≤存故选：D 11.ACD【详解】对于A,若P为BC上一点，由BCI1AD、ADC平面AD,E、BCd平 面ADE,得BCI平面ADE,则点P到平面ADE的距离为定值，又△ADE的面积为定 值，因此三棱锥P-ADE的体积为定值，A正确： D Di-2 E B 对于B,动点T在正方形ADD,A、正方形ABCD、正方形CDDC内， 其轨迹是以点D为圆心，2为半径的4圆弧， 因此动点T的轨迹长度是3×2×=3π，B错误 对于C,若P为BCCB的中心，即BC的中点，取CC的中点N, 连接DN,AE,DE,AD,则DE⊥DN,PNI/BC, 由BC⊥平面CDDC得BC⊥D,E,则PN⊥DE, 又DNOPN=N,DN,PNC平面DPW, 于是DE⊥平面DPN,DP⊥DE,取BC中点R,连接PR,DR,同理DP⊥AE, 因此DP⊥平面AD,E,过E与DP垂直的平面截正方体所得截面为△AD,E, D,E=AE=V5,4D=22,则△4DE的面积为)×22×V(W5)-(W2列=6，C正确： D B B 对于D,在正方体ABCD-AB,CD中，平面ABC/1平面ACD, 由点Q满足BQ/平面ACD,则点Q在平面ABC上，又点Q在正方体的内切球表面上， 则点Q的轨迹为正三角形ABC的内切圆，记圆心为O,半径为”， D A B E D B 因此B0的最小值为B0-r=5×2N2x-=6 2 32)=2,D正确.故选：ACD 12.0.83 13. 0或号 14.169 【分析】由能被4除余3且被6除余3的数就是能被12整除余3的数，运用等差数列的通 项公式，以及解不等式即可得到所求的项数， 【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被 4整除，也能被6整除 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为a,=12n-9,neN, 显然数列{a}为等差数列，且首项为3，公差为12 由1≤a,≤2026，则1≤12n-9≤2026，解得2≤n≤2035≈169,58. 5 6 12 由于n是正整数，n的取值为1,2，，169，总共有169项. 15.wB-背a2. 【详解】(1)由正弦定理得(b+c)(b-c)=(a-c)a, 即d+c2-B=ac,由余弦定理可得cosB=a+c-2=ac=1 2ac 2ac21 因为B∈(O,),所以B= 2 2)由已知Sc=)acin=35,所以c=3因为D=2DC,所以=4C 2 4 可得0=B+0=M+号4C=i+号+号c-+号C, 3 3 3 所以(a-a网+ac+2号aia网-+0+-g+号+号 9 31 又2+号+号20知+号2，当且仅当a=6=6时取等号. 9 所以BD的最小值为√2. 16. )证明见解析：(2)V2四 29 【详解】证明：(1)取AB中点O,连结AO,OC在△MBC中，AC⊥BC,AC=BC, 2 OC1B,在菱形ABBA中，由∠M4B=了π可知AM4B为等边三角形， .A0⊥AB,又：Aonoc=0,A1c平面A1OC,OCc平面A1OC, ∴AB⊥平面A1OC,ACc平面A1OC,.AC⊥AB (2)·平面ABB1A1⊥平面ABC,平面ABB1A1∩平面ABC=AB 由(1)可知A01OC,.OA,OC,0A两两垂直， 如图，以O为原点，OA,OC,OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 不妨设4B-2,则40,0).4@0).C0,1o).8(-1a0.FG号0 -(10-同由从=丽。得8(2a同.则照的点(} 从面4-0-(号设平4F的法向最为后=(小.则 3 2=0 x=-1 4En=0 2 2 4F.i=0' 3+3y-32=0 x.2 不妨取x=-1,得y=5，即i=(15,5) z=√5 则cosi,AB= AB-2 -V29 l4B2√29 29， 所以直线4B与平面4EF所成角的正弦值为2四 29 17.(1)x=1(2)(i)（-o,-UU3,+∞）(i)43+6 【详解】(1)y=(f(x)=(x2-x+-(x2-x+)+1, 则不动点满足y=f(/(刃=x,即(x2-x+-(x2-x+)+1=x,整理得(x2-x+=2, 因为-41-(-+0.所以-x1-以 当x>0时，x2-x+1=x,解得x=1,满足；当x<0时，x2-x+1=-x,无解， 所以y=f(f(x)的不动点为x=1. (2)(i)g(x)=2x2-(2+a)x+a+1, 当0<x<2时，g(x)有唯一的不动点，则方程2x2-(2+a)x+a+1=x只有一个解， 即函数h(x)=2x2-(3+a)x+a+1在(0,2)上只有一个零点， 当△=3+a-8a+l)=(a-}=0时.a=l,x=3+=l,满足要求 4 当△>0，即a≠1时，h(0)h(2)=(a+1)3-a）≤0，解得a≤-1或a≥3， a=-1时，h(x)=2x(x-1),在(0,2)上只有一个零点1， a=3时，h(x)=2(x-1)(x-2),在(0,2)上只有一个零点1， 所以a的取值范围为(-o,-小UU3,+o). (i)令f(x)=2x2-(2+a)x+a-1=x,整理得2x2-(3+a)x+a-1=0 X1+x2 3+a>0 2 则 0 {x2= ,解得a>1, △=(3+a}-8(a-1)>0 点+2x+点+2%=5++26+）-伍+广-245+2k+5) X2 32 （s+x》2+28+-2a--2+3+0,令a-1=>0,7 Xx2 则点+2%+点+25-+4-2+3+11=+8+6≥4N5+6. X2 24 2 当且仅当兰-冬即145时等号政立 3 所以字+25+字+2的最小值为45+6 X2 18.()25+22,(Q)k=±1oMf+1ONP恒为定值：△MON面积的最大值为 【详解】(1)当1=3时， 椭圆方程为C:号+y=1,故a=5且c=V2, 由椭圆定义可得，△4FE2的周长为2a+2c=2√5+2√2； (2)由题意得 -1_22 解得1=9， 圆方程号+-1，联立仁，清元得p+2+1849w-g-0 [y=kx+m △=3242m2-36(9k2+1)(m2-)>0,可得9k2-m2+1>0, 设M(y),N(:,),则+名=9k+1x=9g2+1 -18km 9m2-9 又因为M、N在椭圆上，则疗=1-号疗=1-号 则OMP ON=+1-写++1-号=2+(+) 9k2m2-m2+(9k2+ -2+5+-24]=2+6o2+ 2 =2+16 (9k2-1）m2+(9k2+) 当1OMP+1ONP为定值时，即与m2无关，故9k2-1=0, (9k2+1 得k=±号，此时MN=+1+5-45=6e+ix92m+1.02-m, 1+9k2 又点0到直线1的距离d=mL=30m 所以 V1+k2 10 dxIo. 20 当且仅当|m上√2-m2,即m=1时，等号成立， 因为△=9k2-m2+1,经检验，此时△>0成立，所以△MON面积的最大值为 19.【详解】(1)()设事件A为"第3次恰好成功完成给2号球员传球"”， 情况一：第1次传球成功（传给1号），第2次失败，第3次成功（传给2号）， 率为-0 情况二：第1次传球失败，第2次成功（传给1号），第3次成功（传给2号）， ①：第1次传球选中的是2号，则第3次对2号是直接传球， 率为P-兮分 1 ×1= ②：第1次传球选中的非2号球员(3,4,5号之一)，则第3次对2号是随机选择成功，概率 为P=3xx{-1 54320 综上，P()=R+B+B=20 面X可能的取值为5679，P(K=列-号对兮1=0 1111 4×3×2×11 当X=9时，2到5号球员恰好全部在1号成功之前误传，则P(X=9)= 5×4×3×2×15' 当X=6时，只有1位球员在所有比他小的球员传球时误传，P(X=6)= 1+2+3+41 5×4×3×2×112 当X=8时，有3次误传，P(X=8)=3×2×1+4×2×1+3×4x1+3×2×45 5×4×3×2×1 12 P(X=7)=1- 11157 2051212241 故X的分布列为 5 6 7 8 9 1 7 5 120 12 24 12 1-5 1 数学期望E(X)=5× +8× 5 1463 120 +6× 12 +7×241 1 +9×560 (2)记y为第i号球员接球的次数，则y= 2 Y=1时，将抽取球员的编号理解为一个数列：{21,2，…}， 表示第一次选错了2，第二次选对了1，第三次由于此时目标为2，直接给2， 不难发现，若y=1,将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列，如{，l,2,n-1,,,}, 则1必在1,2，，-1出现之后再出现，相当于计算i在最后一位的情况占红，2，，排列的比例， 则Pg=-京Pg=2到=1月÷B)=2-(X)-)=2-（+*+ 对任意x>0,有ln(1+x)<x,下面证明该不等式成立，设f(x)=n(1+x)-x,x>0, 则了代)小中x1<0在@网上植成立则代在@+四上单调建波.则 f(x)<f(0)=0,即n(1+x)<x在(0，+o)恒成立， 令xaN则：：-h生< 则E(x)<2n-ln(n+I).