湖南省衡阳市衡东县第一中学2026届高三上学期开学数学摸底考试试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三数学秋季开学摸底考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C C A D A A AC ABD 题号 11 答案 CD 1．A 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2．A 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 3．C 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 4．C 【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解． 【详解】由，得， 当时，． 故选：C． 5．A 【分析】利用函数的周期性得，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果. 【详解】因为是为周期的周期函数 所以， 因为在上是奇函数，则， 又因为当时，，则 故选：A. 6．D 【分析】建立直角坐标系，得到的坐标，设，联立解方程组，求出得出结论. 【详解】建立如图直角坐标系，则， ， 设，则 所以 解得：， 故， 故选：D. 7．A 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及中间值比较大小. 【详解】， ，且， 故， 又， 故. 故选：A 8．A 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 9．AC 【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 所以，， 又M为中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为，与平面相交且不垂直， 所以与平面不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知平面，平面， 所以，由题可知， 又平面，平面， 所以平面，又， 所以平面，故C正确. 故选：AC. 10．ABD 【分析】应用二倍角公式计算判断A,B选项，根据两角和差公式计算判断C,D选项. 【详解】对于A： ，A正确； 对于B：，B正确； 对于C: ，C错误； 对于D: 正确，D正确. 故选：ABD. 11．CD 【分析】根据抛物线的方程可得，即可求解焦点和准线，进而可判断AB,根据焦半径公式即可判断C，根据焦点弦公式即可求解D. 【详解】由可得，故，所以焦点为，A错误， 准线的方程为，B错误， 根据焦半径公式可得若，则，C正确， 设过点的直线方程为，联立其与抛物线的方程可得， 设,，,，则，，则 故， 故当时，此时弦最短长度为1，即，故D正确， 故选：CD 12．4 【分析】设出切点坐标，结合导数列方程，由此求得的值. 【详解】设切点的坐标为， ，则，即， 点在直线上，所以， 即，， 所以. 故答案为：4． 13． /0.5 【分析】由和两类情况，结合前项的和求解即可； 【详解】当时，，所以. 当时，，所以. 故答案为： 14． 【分析】分析可知随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，， ， 所以，. 故答案为：. 15．(1)； (2)根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【详解】（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌的概率； （2）列联表如下，    品牌 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设，， 所以根据小概率值的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联. 16．(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由可得，即可证明数列是以为首项，为公差的等差数列，从而求出； （2）由（1）知，利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）解：当时，由，得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，即． （2）解：由（1）知， 所以，① 所以，② ①②得 ， 所以． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决. 【详解】（1） 连接，交于点，根据正方形性质，对角线，又面，平面， 故，由，面，故面，而面， 根据面面垂直的判定，面面. （2）由平面，平面，故，，由， 故下以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：， 则，，，，根据中点坐标公式：， 故，，故， 异面直线与所成角的范围是， 故所成角的大小为. 18．(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. (3)最大值为40，最小值为. 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【详解】（1）因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. （2）由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. （3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知得建立关于的方程组，求解即可； （2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，可得结论； （3）运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值. 【详解】（1）由已知得，解得， 因此椭圆的方程为；； （2）由，整理得， 设，则，， 因为， ， 所以； （3）设为点到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即时，等号成立. 因此，的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季高三开学摸底考试卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设全集，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．函数图象的对称中心可能是(    ) A． B． C． D． 5．已知在上是周期为4的奇函数，当时，，则等于（　　） A． B．2 C． D． 6．已知向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 10．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线，焦点为，准线为，弦过点，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．准线的方程为 C．若，则 D．弦的长度 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线是曲线的切线，则 ． 13．已知等比数列的首项为，前项和为，若，则的值为 . 14．一个袋子中有个大小相同的球，其中个黄球，个红球．规定：取出一个黄球得分，取出一个红球得分．现随机从袋中有放回地取次球（每次一个），记次取球得分之和为随机变量，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：    品牌 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联. 附：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16．（15分）已知数列的前项和为，，当时，． (1)证明数列为等差数列，并求； (2)求数列的前项和为． 17．（15分）已知四棱锥的底面为正方形，且平面，为中点 (1)求证：面面 (2)求异面直线与所成角的大小 18．（17分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在上的最大值、最小值. 19．（17分）已知直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，离心率为. (1)求椭圆方程的标准方程； (2)证明； (3)求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025年秋季高三开学摸底考试卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数==i(2+3i),则z的虚部为() A.2 B.-3 C.2i D.3i 2.设全集U={x∈N-2<x≤4，A={0,2,3},则CA等于() A.1,4 B.{01,4 C.{-1,1,4} D.{-1,0,1,4} 3.已知双曲线C器。-1a>06>0的焦距与共虚轴长之比为3：2，则C的腐心率为() A.√5 B.4V5 C.3v5 5 D.⑤ 5 2 4.西数了)=tm2x-习引图象的对称中心可能是(） A. c.( D 5.己知f(x)在R上是周期为4的奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2,则f(2019)等于() A.-2 B.2 C.-98 D.98 6.已知向量ā，b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底{a,b}表示c,则() A.c=-2a+3b B.c=2a-3b C.c=-3a+2b D.c=3a-2b 7.已知x=ny=log2z=e2,则（） A.x<y<- B.<x<y C.<y<x D.y<z<x 8.已知点M,N在圆x2+y2-2y-3=0上，点P在直线V3x-y-3=0上，点9为MN中点，若W=2W3,则 PQ的最小值为() A.1 B.5 C.2 D.3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.正方体ABCD-ABC,D中，M为AA中点，O为BD中点，以下说法正确的是() D Ci B A M D月 A.OM//平面ABCD B.OM/平面BCCB, C.OM⊥平面BBDD D.OM⊥平面BCC,B, 10.下列选项正确的是() A.sin15 cos15=1 4 8sin2π-V2 B.cos2 82 C.sin40 cos50-cos140 cos40 =-1 D.sin40 (tan10-3)=-1 11.已知抛物线y=x2,焦点为F,准线为l,弦PQ过F点，则下列说法正确的是() A.焦点F的坐标为0，》 02 B.准线1的方程为x=- C.若P(),则叫=+ 4 D.弦PQ的长度PQ≥1 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线y=3x+1是曲线C:y=3的切线，则a= 1成。已知等比数列的首项为-1，前”明和为，苦品8-员测9的值为 14.一个袋子中有6个大小相同的球，其中2个黄球，4个红球.规定：取出一个黄球得2分，取出一个红球得1 分.现随机从袋中有放回地取3次球（每次一个），记3次取球得分之和为随机变量X,则E(X)=一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)某商店为了解消费者对某产品不同品牌(A,B)的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100 名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表： 品牌 B 性别 男性 15 30 女性 30 25 (1)根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率： (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联 附：x2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.100 0.050 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 16.(15分) 已知敬列a的前加项和为.a弓当n≥2时，88。=及8 1 (1)证明数列 为等差数列，并求S: 2 (2)求数列 的前n项和为In. 17.(15分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD,PD=2,PA=2N3,E为PC中点 (I)求证：面PAC⊥面PBD (2)求异面直线PA与BE所成角的大小 18.(17分)已知函数f(x)=x(a+x2),曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线3x+y+1=0平行. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)在[0,4]上的最大值、最小值 段17分)已知直线y=-1交椭圆C+花1a>b>0)于A,8两点，M03)为椭圆上一点，离心率为 2 (1)求椭圆方程C的标准方程； (2)证明ALMB; (3)求M4M的最大值.2025年高三数学秋季开学摸底考试参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A A A D A A AC ABD 题号 11 答案 CD 1.A 【分析】先根据复数的乘法运算求解出z,则复数的虚部可知. 【详解】因为z=i(2+31)=2i+3i2=-3+2i,所以z的虚部为2， 故选：A. 2.A 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】U=0,1,2,3,4,A={0,2,3}, CA=红，4} 故选：A. 3.C 【分析】设c=3(m>0),由已知可得a=√5m,进而可求离心率. 【详解】由题意可知，2c:2b=3:2,则c:b=3:2,设c=3m(m>0),则b=2, 所以a=Ve2-B=V5m,故C的离心率为e=-3W5 a 5 故选：C 4.C 【分析】令2x-工匹，kZ即可求出网对称中心横坐标，从而可判断求解。 72 【详解】由2x-亚匹，k∈Z,得x=亚+，keZ, 72 144 当k=0时，x= 14 故选：C. 5.A 1 【分析】利用函数的周期性得f(2019)=f(-1),再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果， 【详解】因为f(x)是4为周期的周期函数 所以f(2019)=f(4×505-1)=f(-1), 因为f(x)在R上是奇函数，则f(2019)=f(-1)=-f(1), 又因为当x∈(0,2)时，f(x)=2x2,则f(2019)=-f(1)=-2 故选：A. 6.D 【分析】建立直角坐标系，得到a,b,c的坐标，设c=x+b,联立解方程组，求出x,y得出结论 【详解】建立如图直角坐标系，则ā=(2,1)-(1,0)=(1,1)， b=(0,4)-(2,1)=(（-2,3),c=(7,1)-(0,4)=(7,-3) 'a' 设c=xa+b,则(7，-3)=x(1,1)+y(-2,3) [7=x-2y 所以 -3=x+3y 解得：x=3,y=-2, 故c=3a-2b, 故选：D 7.A 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及中间值比较大小. 【详解】x=lh上-h<0, y=1og,2= 111 og,51og,42,且y=1og,2>1og,1=0, 1 故v0 1 又z=e>e=1 故x<y<=. 故选：A 8.A 【分析】根据垂径定理可得点Q在以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解 【详解】由题意可得圆的标准方程为x2+(y-1)=4, 设圆心为C,半径为r,则C(0,1),r=2, 所以由垂径定理可得Cg=2-(=1,故点0在以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上， N 因为点C到直线VBx-y-3=0的距离d=10-1-3到=2， V3+1 所以P2的最小值为2-1=1， 故选：A 9.AC 【分析】设AC,BD交于E,利用线面平行的判定定理可判断A,由题可得OMI1AC进而可判断BD,利用线面垂 直的判定定理可得AEL平面BB,DD,进而可判断C 【详解】连接AC,BD交于E,连接OE,则E为BD的中点， D C B A M D B 3 所以OB11DD,OB=DD, 2 又M为A4中点，AM11DD,AM=DD, 2 所以OE//AM,OE=AM, 所以四边形OMAE为平行四边形， 所以OM/IAE,又OMa平面ABCD,AEC平面ABCD, 所以OMI/平面ABCD,故A正确： 因为OM11AC,AC与平面BCC,B,相交且不垂直， 所以OM与平面BCCB,不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知BB⊥平面ABCD,AEC平面ABCD, 所以BB⊥AE,由题可知AE⊥BD, 又BB,∩BD=B,BB,C平面BB,DD,BDC平面BB,D,D, 所以AE⊥平面BB,D,D,又OMI/AE, 所以OM⊥平面BB,D,D,故C正确. 故选：AC 10.ABD 【分析】应用二倍角公式计算判断A,B选项，根据两角和差公式计算判断C,D选项. 【详解】对千A:m5ca15-方25cod5-分sns0},A正编： 8sin2π 对于B:cos2 -5，B正确： 8=cos 42 对于C sin40cos50-cos140cos40°=sin40cos50°+cos40°sin50=sin(40+50）=sin90=1,C错误； D:sin40 (tan103)-sin40 (sin13)=sin40 (sino-3co1 cos10 cos10 2sil0、 2 cos10 2(sin10 cos60 cos10 sin60 -2sin40sin50正确 sin40 =sin40 cos10 cos10 cos10 -2sin40 cos40 -sin80 -cos10 =-1,D正确 cos10 cos10 cos10 故选：ABD 11.CD 【分析】根据抛物线的方程可得P号即可术解焦点和准线，进而可判断AB根据焦半径公式即可判断C,根据 焦点弦公式即可求解D 【详解】由x2=y可得2p=1,故p=2 所以焦点为 A错误， 准线的方程为y=子B错误。 根据焦半径公式可得若P心6，)，则+好C正确， 设过点严到的直线方程为y=+子联立其与抛物线的方程可得-片0， 设，.e,,则A=+1>0,=,则元+%=(G+)++分 故PO=y+y2+p=k2+1≥1， 故当k=0时，此时弦PQ最短长度为1，即PQ≥1，故D正确， 故选：CD 12.4 【分析】设出切点坐标，结合导数列方程，由此求得a的值. 【详解】设切点的坐标为(x,), y=m3→y'=3a2,yl==3a,则3=3，即=1， 点(x,)在直线y=3x+1上，所以ax=3x。+1, 即飞成=+1，=+l=方 所以a= 上=4 故答案为：4. 13. 【分析】由q=1和q≠1两类情况，结合前n项的和求解即可： 【详解】当q=1时，8=1≠1 S 天32，所以q≠1 当g≠1时，S0-8:=4+4+4+a+4=g5= 1 S4+a2+4+a4+4 =32,所以q=2 故答案为：号 14.4 【分析】分析可知随机变量X的可能取值有3、4、5、6，计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得 E(X)的值 【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6， Px-(》Px=4-c号x-列=c周号 8+4× 4 +6x 2 所以，E(X)=3 2 +5 9 9 274 故答案为：4. 15.0 5 (2)根据小概率值α=0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联。 【分析】(1)根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可： (2)应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论. 【详解】(1)由表格数据知，女性消费者偏好品牌8的概率P=,25=5, 30+2511 (2)列联表如下， 品牌 B 性别 男性 15 30 45 女性 30 25 55 45 55 100 由题设， x2= 100×(30×30-25×15)2 ≈4.4995>3.841， 45×55×55×45 所以根据小概率值=0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联 16.(1)证明见解析，8=中 1 (2)Tn=n.21 6 【分折1④D自85，-及，一8可得后名山，即可证明数列 S 是以2为首项，1为公差的等差数列，从而求 出Sa: (2)由(1)知 =+少2，利用错位相减法计算可得。 11=1, 【详解】(1)解：当n≥2时，由S,S1=SS,得点8 1 所以数列 s. 1=上=2为首项，1为公差的等差数列. 是以sa 所以支n+L,即S= n+1 (2)解：由(1)知 -=(0n+1)2, 所以Tn=2×2+3×22+…+n×2+n+1)×2”,① 所以2T,=2×22+3×2+…+n×2”+(n+1)×2+,② ①-②得-Tn=4+(22+2++2"）-(0n+1)2+1 =4+(21-4)-(0n+10-2+=-n-21, 所以T=n-21. 17.(1)证明见解析 (2arccos533 33 【分析】(1)根据面面垂直的判定，结合题目条件，证明AC⊥面PBD即可； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式来解决. 【详解】(1) 7 连接AC,BD,交于O点，根据正方形性质，对角线AC⊥BD,又PD⊥面ABCD,ACC平面ABCD, 故AC⊥PD,由PDOBD=D,PD,BDC面PBD,故AC⊥面PBD,而ACC面PAC, 根据面面垂直的判定，面PAC⊥面PBD, (2)由PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD,故PD⊥AD,PD⊥CD,由AD⊥CD, 故下以D为原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，正方形边长为：√PA2-PD2=22, 则A(2√2,0,0)，B(2√2,22,0)，P(0,0,2),C(0,2√2,0)，根据中点坐标公式：E(0,√2,1)， 故BE=(←-22，-V2,1,pA=(2W5,0-2》,故c0s(PA,BE)= PA·BE -105V33 PABE23×V1133· 异面直线PA与E所成角的范围是0，] 2 故所成角的大小为arcco 5V33 33 18.(1)-6 (2)单调递增区间为（∞，-√2）和（√2，+0），单调递减区间为（√2，√2）. (3)最大值为40，最小值为-4√2 【分析】(1)对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得α的值： (2)对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解： (3)求出f(x)在[0,4]上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【详解】(1)因为f(x)=x(a+x2),则f'()=a+3.x2, 则f'0)=a+3x12=a+3,而直线3x+y+1=0的斜率为-3， 则a+3=-3,解得a=-6. (2)由(1)可知a=-6,所以f(x)=x3-6x,定义域为R,且f'(x)=3x2-6. 令f"x)=0,即3x2-6=0,化简可得x2=2,解得x=±V2, 当f'(x)>0,即3x2-6>0时，解得x<-√2或x>√5， 所以fx)的单调递增区间为(-∞，-V2)和（√2，+∞）， 当f"(x)<0即3x2-6<0时，解得-√5<x<√2， 所以f(x)的单调递减区间为(-√2，√2) 6 综上，f(x)得单调增区间为(-∞，-V②)和(2，+∞)，单调减区间为(-√2，②) (3)由(2)知f(x)=x3-6x,其单调增区间为(-∞，-V2)和(V2,+∞)，单调减区间为(-√2，√2)， 所以f(x)在「0，√2上单调递减，在[V2,4上单调递增，x=√2为其极小值点， 则 0 (0,2) √5 (V2,4) 4 f'(x) J(x) 0 减函数 -4W5 增函数 40 综上，函数f(x)在[0,4]上的最大值为40，最小值为-4√2. 19.+-1 18+9 (2)证明见解析 (3)32 【分析】(1)由已知得建立关于4，b,c的方程组，求解即可； (2)直线1：y=-1与椭圆C的方程联立整理得（2k2+1)x2-4k-16=0,设A(x,y),B(2,y2),由向量的数量 积运算求得MAMB=0,可得结论： (3)运用等面积法求得|MA·MB 169k+4,设t=22+1,由二次函数的性质可求得其最大值. 2k2+1 9 61 【详解】(1)由已知得 a2-b1’解得 a=3√2 =3 a 2 因此椭圆C的方程为； x2,y2 +=1； 189 2)由)，整理得2+x:收-160 y=-1 9 M B 4k -16 设A(,B6,则+F2产+？=2k十1 因为MAMB=xx2+(y-3)(y2-3)=xx2+(x1-4)(2-4), =(k2+1)x2-4k(x+x2)+16= 16+04k4北+16=0： 2k2+1 2k2+1 所以ALMB; (3)设d为点M到直线l的距离，故|MAB曰AB|d, 4 又因为d= Vk2+1 h---广-4]-+2#-4元 4V1+k2)(9k2+4 2k2+1 所以|MA·MB= 169k2+4 2k2+1 设t=2k2+1,则MA:MB=16 g-,由于(o 82t2 所以8≤32，当}，即-0时，等号成立 因此，|MA·B的最大值为32. 10■■ 2025年秋季高三开学摸底考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3。 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][CD1 5[A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 叔 4[A][B][CD] 8[A][B][C][D] 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分， 共18分) 9[A][B][C[D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][CD] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12 日 13 14 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E D C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (近9并)近S患泰嫌 i※￥著易佣年☒兴的到项形身凿吊爵‘易年习瑶易佣目暗号尹巢 (LI)8I i壬業易州海☒惑的到环狂，毋遄吊爵·易年习暗易明目酷号剿 ◆ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）