精品解析：陕西省汉中市龙岗学校2025-2026学年高一下学期期末数学知识回顾试卷

汉中市龙岗中学2028届高一下学期期末数学知识回顾 （满分：150分　　时间：120分钟） 命题：高一数学组 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简求得，再根据虚部的定义即可求解. 【详解】，则的虚部为. 故选：B. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的坐标，再依据两向量垂直时数量积为0的性质列方程求解参数. 【详解】因为，，所以，由向量坐标加法法则可得： ， 因为，所以，即， 展开化简得，解得. 4. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 5. 如图，在中，是的中点，，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算法则，将  表示为  与  的线性组合，进而解出 . 【详解】由题意可知， 是  的中点，所以 . 因为 ，根据向量减法的三角形法则， 可得： . 又因为 ，且 ， 所以 . 整理可得 ， 解得 . 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 7. 在平行四边形中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将平行四边形两条对角线用邻边向量表示，通过模长平方的乘积结合已知条件求解余弦平方，进而得到正弦值. 【详解】设，，记，，则，, 由平行四边形向量关系得 ，， 因此， , 由，得，两边平方得，所以 ，即，解得， 因，故. 8. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定外接圆圆心的位置和外接圆半径，再确定点在平面上的射影，进而初步确定三棱锥外接球球心的位置，再求三棱锥的高，利用外接球球心到各顶点的距离相等列式求外接球半径. 【详解】如图， 在中，，， 所以，所以. 所以外接圆半径为，则. 取中点，连接，因为，所以外接圆圆心在上， 又，所以点在平面上的射影即为的外心，即点. 所以平面. 且. 设三棱锥外接球球心为，则点在直线上. 设三棱锥外接球半径为， 则，解得. 即三棱锥外接球半径为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，C错误； D选项，， 为纯虚数，D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的定义域为 B. 若，则的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 平面与平面所成的锐二面角为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的定义判断即可；对于B，根据等体积法判断即可；对于C，根据线面角的几何求法求解即可；对于D，根据二面角的定义判断即可. 【详解】对于A，正方体中，. 又是线段上的动点，当为与的交点时，，此时不是异面直线，A错误. 对于B，正方体中，平面平面， 又平面，所以平面， 因为是线段上的动点，所以到平面的距离为定值（等于正方体棱长2）， 又为定值，所以为定值，B正确. 对于C，正方体中，平面， 连接，则即为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 在中，，所以当最小时，最大. 又，即取最小值. 正方形中，，所以当为与的交点时，最小，此时. 所以，C错误. 对于D，正方体中，是线段上的动点，则平面与平面为同一平面. 则平面与平面所成的锐二面角即为平面与平面所成的锐二面角， 易知平面与平面所成的锐二面角为， 所以平面与平面所成的锐二面角为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据12，5，8，15，10，7的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据数据为偶数个的特征计算中间两个数的平均值即可得到中位数. 【详解】将题给数据按从小到大的顺序排列为：， 该组数据共个，为偶数个， 根据中位数的定义，取排序后第位和第位数据的算术平均值为中位数， 因此中位数为. 13. 已知，且，则________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式展开，换元后求解关于的分式方程，结合的取值范围舍去不符合的解得到结果. 【详解】 因为， 设，由，得， 将其代入原方程得 ， 移项整理得 ， 因为，所以， 两边同除以得 ， 解得，即， 经检验，是原方程的解，故. 14. 假设时钟上的时针、分针、秒针都是匀速旋转的，与时针、分针、秒针的指向同方向的单位向量分别为，，，则从到这1小时内（不含初始与结束时刻），满足的情况出现了________次． 【答案】118 【解析】 【分析】分与方向相反和在与的角平分线上两种情况讨论，还要探究两种情况是否有重合. 【详解】设时间为（单位：小时），，则时针转动的角度为，分针转动的角度为，秒针转动的角度为. 可能出现两种情况： （1）若，则存在使得成立. 此时，，， 所以，. 所以可以取共60种情况. （2）当时，表示分针在时针和秒针的平分线或平分线的反向延长线上. 此时，. 因为，所以， 又，所以可以取共58种情况. 若两种情况有重合，即时针和秒针方向相反，且分针与时针垂直， 由时针与分针垂直，可得或 ，解得或. 当时，时针转动的角度为，秒针转动的角度为，与时针的方向不相反； 当时，时针转动的角度为，秒针转动的角度为，与时针的方向不相反. 即两种情况没有重合. 综上可得，满足的情况出现了次. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式求解，即可得到的解析式； （2）按照图象平移规则得到的解析式，结合自变量范围和正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由题知，解得， 因此； 【小问2详解】 将图象向右平移个单位长度， 可得， 当时，， ，可得. 所以的值域为. 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求平行六面体的体积． 【答案】（1）证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为底面是正方形，为的中点，所以. 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据全等三角形的判定及性质，线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据平行六面体的体积公式，结合面面垂直的判定定理、面面垂直的性质及勾股定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，，，，所以为等边三角形， 所以，同理可得. 在等腰中，， 所以. 在中，，，则，所以. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面平面，所以平面，则即为平行六面体的高. 又，所以. 故平行六面体的体积为. 17. 某科技公司为评估其最新研发的一款智能新能源汽车的电池性能，在标准工况下随机测试了200辆该型号汽车的连续续航里程（单位：km），所得数据都在内．将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及测试的续航里程在内的汽车数量； （2）估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和两组中用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测，求抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率． 【答案】（1）；续航里程在内的汽车数量为辆 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，即可求出； （2）用每组区间的中点值乘以该组频率，再相加可得平均续航里程； （3）求出和两组中抽取的汽车辆数，再利用古典概型概率公式计算可得答案． 【小问1详解】 由得； 续航里程在内的频率为， 对应汽车数量为辆； 【小问2详解】 ， 所以估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程为km； 【小问3详解】 续航里程在和两组中的车辆数 分别为， 用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车， 可得在中抽取辆，不妨设为； 在中抽取辆，不妨设为， 再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测， 则有共10种方法， 抽到这2辆汽车恰有1辆续航里程在内 有共6种， 则抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率为． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）点在边上，记． （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值． 【答案】（1）. （2）（ⅰ）如图所示，由， 在中，根据正弦定理得：， 在中，根据正弦定理得：， 所以， 在中，根据正弦定理得：， 所以 ， 即. （ⅱ）面积的最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，两角和的正弦公式以及诱导公式分析求解即可； （2）（ⅰ）利用正弦定理分析证明即可；（ⅱ）利用三角函数的定义，两角差的正弦公式，三角形的面积公式以及基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由，根据正弦定理得：， 即，在中，由， 所以，即， 在中，因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）过点作分别交于点，如图所示： 则点到的距离为，点到的距离为，且， 由，所以在直角与直角中有：， 所以， 由（1）知，所以， 所以， 即， 又，所以，所以， 由以及得：，即， 由， 当且仅当即时等号成立， 所以，即当时，面积的最小值为. 19. 设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，平面，，…，和为多面体的所有以为公共点的面． （1）求正三棱柱在各个顶点处的离散曲率之和． （2）如图，在四棱锥中，底面，，该四棱锥在点处的离散曲率为． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：因为底面，底面，所以， 所以， 根据离散曲率的定义，由四棱锥在点处的离散曲率为， 即，解得：， 因为，所以， 在中有：，即， 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据正三棱柱的结构特征以及离散曲率的定义求解即可； （2）（ⅰ）根据离散曲率的定义先求出，结合已知条件得出，然后利用线面垂直的判定定理与性质定理以及面面垂直的判定定理证明即可；（ⅱ）利用线面角的定义，体积法，以及二面角的定义结合已知条件分析求解即可. 【小问1详解】 如图所示： 在正三棱柱中，可知6个顶点处的离散曲率相等， 由， 根据离散曲率的定义，正三棱柱在点处的离散曲率为：， 所以正三棱柱在各个顶点处的离散曲率之和为：. 【小问2详解】 （ⅰ）略. （ⅱ）设，所以， 在直角中有：， 又， 所以， 在直角中有：， 由底面，底面，所以， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以， 设点到平面的距离为，且， 由等体积法得：，即， 也即，化简得：， 设直线与平面所成角为，根据线面角的定义可知：， 即，解得：， 由平面，平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 在直角中，， 所以， 由图可知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 所以二面角的平面角为，且为钝角， 所以二面角的余弦值为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市龙岗中学2028届高一下学期期末数学知识回顾 （满分：150分　　时间：120分钟） 命题：高一数学组 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 5. 如图，在中，是的中点，，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则的定义域为 B. 若，则的值域为 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则的单调递减区间是 11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则（ ） A. 直线与是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D. 平面与平面所成的锐二面角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一组数据12，5，8，15，10，7的中位数是________． 13. 已知，且，则________． 14. 假设时钟上的时针、分针、秒针都是匀速旋转的，与时针、分针、秒针的指向同方向的单位向量分别为，，，则从到这1小时内（不含初始与结束时刻），满足的情况出现了________次． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在上的值域． 16. 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求平行六面体的体积． 17. 某科技公司为评估其最新研发的一款智能新能源汽车的电池性能，在标准工况下随机测试了200辆该型号汽车的连续续航里程（单位：km），所得数据都在内．将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值以及测试的续航里程在内的汽车数量； （2）估计该型号新能源汽车在标准工况下的平均续航里程（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）从和两组中用分层随机抽样的方法抽取5辆汽车，再从这5辆汽车中随机抽取2辆进行深度电池拆解检测，求抽到的这2辆汽车恰有1辆续航里程在内的概率． 18. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求． （2）点在边上，记． （ⅰ）证明：； （ⅱ）若，且点到的距离等于点到的距离的2倍，求面积的最小值． 19. 设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，平面，，…，和为多面体的所有以为公共点的面． （1）求正三棱柱在各个顶点处的离散曲率之和． （2）如图，在四棱锥中，底面，，该四棱锥在点处的离散曲率为． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $