精品解析：陕西省汉中中学2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

2024—2025学年（下）高一年级期末质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由可得， 因为，所以， 故选：D. 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简复数，再求其模. 【详解】因为， 所以． 故选：A． 3. 某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（ ） A. 175辆 B. 200辆 C. 225辆 D. 250辆 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得燃油车有45辆，结合分层抽样的计算方法，列出算式，即可求解. 【详解】由题意知，样本容量为120，其中电动车有75辆，则燃油车有45辆， 所以燃油车的日产量为（辆）. 故选：C. 4. 已知向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意依次求出、和，进而由向量夹角余弦公式求出，再根据三角函数诱导公式即可求解. 【详解】由题， ， ， 所以． 故选：C． 5. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性，建立关于的不等式，可得答案. 【详解】解：令，则 因为函数在区间上单调递增， 所以在上为增函数且函数值恒大于0， 则，故，则的取值范围是． 故选：C． 6. 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：不妨设棱台为三棱台，上底面的面积为，下底面的面积为， 设棱台的高为，上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得： ，解得. 故选：A． 考点：棱台的结构特征． 7. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；四棱柱底面边长为和，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出液体的体积，然后计算出计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积，在利用高度比的立方等于体积比即可得出结果. 【详解】由已知可得：液体的体积为， 如图，易知， 两个相似的直角三角形， 因为圆锥的底面半径是，高是， 所以圆锥体积为， 计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为， 设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为， 则， ，解得， 所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为. 故选：D. 8. 在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合数量积的运算性质即可求解. 【详解】由题意，， ， 所以 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错 故选：ABC 10. 设，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 的最大值为2 C. 把的图象向左平移个单位长度后图象关于y轴对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AB 【解析】 【详解】，A正确；由于，故的最大值为2，B正确；把的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，不关于y轴对称，C错误；由于，故的图象关于点对称，D错误． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为60° B. 直线与平面所成的角为45° C. 二面角的正切值为2 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】把异面直线与所成的角转化为直线与所成的角，在等边中，可判定A正确；证得平面，得到为直线与平面所成的角，再直角中，求得，可得判定B不正确；证得和，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，可判定C不正确；根据四面体的外接球与正方体的外接球为同一个球，结合正方体的性质和球的体积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，连接，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角，即为直线与所成的角， 在等边中，可得， 所以异面直线与所成的角为，所以A正确； 对于B中，连接与交于点，连接， 在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 在正方形中，可得， 又因为，且平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在直角中，，所以， 此时，所以B不正确； 对于C中，由B项知：平面，因为平面，所以， 又因为，所以为二面角的平面角， 在直角中，，可得，所以C不正确； 对于D中，四面体的外接球与正方体的外接球为同一个球， 设正方体的外接球的半径为， 因为正方体的棱长为，可得，所以， 所以四面体的外接球的体积为，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且事件与相互独立，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式可得，即可利用并事件的概率性质求解. 【详解】由于事件与相互独立，故， , 故答案为：0.72 13. 在中，平分，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】记，利用余弦定理得、，再由平分，得到或，分时，求出；当时结合基本不等式求得结果可得答案． 【详解】如图，记，    在中，，则， 在中，，则， ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴或， 当时，为等腰三角形，∴，， ∴； 当时，，即， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立. ∵，∴最小值为． 故答案为：． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别取，的中点，将刍甍被分为四棱锥和三棱柱，进而可求解. 【详解】在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为， 则，取的中点，则， ，所以． 分别取，的中点， 则刍甍被分为四棱锥和三棱柱． 又因为， ， 又因为 所以， 所以该刍甍的体积为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖,且、、两两互斥,利用互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”对立事件为“1张奖券中特等奖或中一等奖”,则利用互斥事件的概率公式求解即可 【详解】（1）1张奖券中奖包括中特等奖、一等奖、二等奖, 设“1张奖券中奖”为事件,则, 因为、、两两互斥,所以 故1张奖券中奖的概率为 （2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件,则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以, 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查古典概型,考查利用对立事件求概率 16. 如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. （1）用表示； （2）已知，求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立平面直角坐标系，由向量的夹角公式和坐标运算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示直角坐标系， 由，可得， 是边上的中线，则， 则，， 所以. 17. 如图，在矩形中，，.为边上一点且，为线段上的动点（不含端点）.过作的平行线交于，现将四边形沿翻折成如图的直二面角. （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求直线与直线所成角的正切值； （3）当直线与直线所成角最大时，求的长. 【答案】（1）证明见解析; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）根据相似可得，又直二面角，得平面，则，所以平面，从而可得证； （2）先证为直线与直线所成角，再由求解； （3）设，，利用基本不等式求最值，并求出等号成立的条件即可. 【小问1详解】 连接交于点， 在中，，所以， 又，则，即，则， 则，即， 所以，则，即， 又直二面角，平面平面， 平面，所以平面， 平面，所以，又平面， 所以平面，又平面，则； 【小问2详解】 翻折过程中，由于，则四边形为平行四边形， 所以，则为直线与直线所成角， ， 所以； 【小问3详解】 设， ， 所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 此时取得最大值，即最大， 即当时，直线与直线所成角最大. 18. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段、、的长分别为、、的倍，我们将称为的“变换三角形”. （1）当时，若，，，求的长； （2）若是边长为的等边三角形，点为其“变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知，可求出的值，结合题意得出、的长，然后利用余弦定理可求出的长； （2）设，则，利用平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求出的最大值； （3）记的重心为点，可得出，利用平面向量的线性运算得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，，，所以，则，则， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 设，则， 由题意得，，， ， ， ， 所以 ， 故当，即点为线段的中点时，取最大值. 【小问3详解】 由题意得，，，， 记的重心为点，则， ， 所以点为的重心. 19. 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. （1）判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； （2）设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； （3）判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）证明见解析 （3）是，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的和角公式及绝对值性质，结合三角不等式及次可加函数定义即可判断； （2）根据函数在上单调递减及不等式性质可推得，即可证明； （3）先根据题给条件及次可加函数定义得到是次可加函数，利用对数的换底公式化简所求不等式，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，并求其最小值，则，即可得证. 【小问1详解】 当时，，满足条件①； 对，满足条件②. 所以是上的次可加函数. 由题意，得. 由上面的论证过程，可得. 【小问2详解】 证明：对， （i）若中至少有一个为0，不妨设，则. 由，知，所以； （ii）若均不为0，则. . 又在上单调递减，所以， 由不等式的性质，得. 综上，是次可加函数. 【小问3详解】 当时，因为，所以是增函数，.满足条件①； ，所以满足条件②. 综上，是次可加函数. 当时， . 令，则， 显然在上单调递增，所以当时，， 因为在上是增函数，所以，所以， 所以当时，. 所以在上单调递增. 所以当时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）高一年级期末质量检测 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知三点共线，则（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 6 2. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 某汽车制造厂生产电动车和燃油车，两类车总的日产量为600辆，质检人员按照两类车的产量比例采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知样本中电动车有75辆，则该厂燃油车的日产量为（ ） A 175辆 B. 200辆 C. 225辆 D. 250辆 4. 已知向量与夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 棱台的两底面面积为、，中截面（过各棱中点的面积）面积为，那么 A. B. C. D. 7. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是，高是；四棱柱底面边长为和，液体高是.计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形中，，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. D. 13 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 对边都不平行的四边形 10. 设，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 最大值为2 C. 把的图象向左平移个单位长度后图象关于y轴对称 D. 的图象关于点对称 11. 如图，在棱长为1正方体中，下列结论中正确的有（ ） A. 异面直线与所成的角为60° B. 直线与平面所成的角为45° C. 二面角的正切值为2 D. 四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且事件与相互独立，则________. 13. 在中，平分，则的最小值为______． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，100张奖券为一个开奖单位，每个开奖单位设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，设一张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，可知其概率平分别为． （1）求1张奖券中奖的概率； （2）求1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 16. 如图，在中，是边上的中线，点满足，连接交于点. （1）用表示； （2）已知，求的余弦值. 17. 如图，在矩形中，，.为边上一点且，为线段上的动点（不含端点）.过作的平行线交于，现将四边形沿翻折成如图的直二面角. （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，求直线与直线所成角的正切值； （3）当直线与直线所成角最大时，求长. 18. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段、、的长分别为、、的倍，我们将称为的“变换三角形”. （1）当时，若，，，求的长； （2）若是边长为的等边三角形，点为其“变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点. 19. 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. （1）判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； （2）设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； （3）判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$