第3章圆单元检测卷-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的核心概念与性质，通过基础巩固、综合应用到探究拓展的三阶分层设计，强化几何直观与推理能力，适配单元复习的知识整合需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的定义、垂径定理、圆心角与圆周角关系|选择/填空题聚焦单一知识点，如圆心到弦的距离计算，夯实概念理解| |发展层|圆与菱形、矩形的综合，切线性质、弧长计算|中档题结合图形变换，如菱形中圆的切线证明，培养知识迁移能力| |提升层|动态问题、折叠与外心、探究性证明|解答题设置动点轨迹、阴影面积探究，如扇形折叠阴影面积计算，发展逻辑推理与创新意识|

第3章圆单元检测卷 一、选择题（共20分） 1.如图，已知线段AP,以点P为圆心，PA长为半径作⊙P,交线段AP的延长 线于点B,分别以点A、B为圆心，大于AP长为半径作圆弧，两弧相交于点Q ,作直线PO,交OP于点C、D,连结AD、DB、BC、CA,、若AP=2,则四 边形ADBC的面积为( A.16 B.8 C.4 D.2 2.如图，△ABC是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点 D,交BC于点E,再分别以D,E为圆心，大于2DE长为半径画弧，两弧交于 点F,射线BF交AC于点O,以点O为圆心，AO长为半径画弧，交BO于点P, 连接AP并延长交BC于点，若A0=V6,则BO的长度是( ) A,5 B.V5-1 C.3-1 D.V3+1 3.如图，以点O为圆心，4为半径作扇形AOB,已知A01B0,点E在OA上， 且OE=25,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动（不与点D重合），设 △ODP 的外心为I. 结论I:四边形EODC为矩形； 结论Ⅱ：EI的最小值为2. 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是( B A.I和Ⅱ都对B.I和Ⅱ都不对C.I不对Ⅱ对 D.I对Ⅱ不对 4.在⊙0中，r=13,弦AB=24,则圆心O到AB的距离为( ) A.5 B.10 C.12 D.13 5.如图，BC是⊙O的直径，A,D是⊙O上的两点，连接AB,AD,BD,若 ∠ADB=70° 则<ABC 的度数是( ) 0 A.20° B.30° C.40° D.50° 6.如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，以DE为直径的O0与AB相切于点 E,若DE=5,BE=2,则AB等于( ) D C O 9 9 A.4 B.2 C.7 D.√29 7.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,以A、D为圆心，半径分别为2和1 画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的 最小值是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 8.如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，OA=1,若∠ACB=15°，则 这个正多边形的面积为( B A.1 B.3 C.π D.3π 9.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直 线折叠，点O恰好落在弧AB上的点D处，折痕交OA于点C,则阴影部分的面 积为( D π A.2 B.9π-V2) C. 9元9 D.9N2 10.如图，点A,B,C,D都在⊙0上，0C1AB,∠ADC=22.5°，且半径为3， 则弧AB的长度为( 3 B.2 C. D.4 二、填空题（共16分） 11.如图，两矩形ABCD和BFEG彼此相邻内接于半圆O,其中点C、D、E在 AB 圆上，点A、B、G在直径MN上，已知AB=2BC,BG=2BF,则BG= F BG 12.定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦 相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角 形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 13.如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠0CB=35°，则∠A的度数等于 14.如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD ,则：①AB=CD;②弧AB等于弧CD;③PO=PE;④弧BG等于弧DG;⑤ PB=PD ；其中结论正确的是一（填序号） B G 15.如图，⊙O的两条直径ABCD互相垂直，点E在半径OD上，连接BE并延 长交OO于点F,若FD=FE,则∠CBF=」 0 16.如图，△ABC的周长为17，点O为△ABC的内心，连接OB、OC,OD⊥BC 于点D.若OD=2,则△ABC的面积是 A B D 17.如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着它的 中心0旋转n0<n<360)后，能够与原来的图形完全重合，则n的值可以是 (写出2个符合题意的数值即可)· ●O 18.如图，在平行四边形ABCD中，AD=3,AB=6,∠A=30°，以点A为圆 心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 A30° B 三、解答题（共64分） 19.如下图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘.己知大、小圆 盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为7πcm,求大、小圆盘的半径， 20.如图，反比例函数=x>0)的图象经过点A2.m,以点O为圆心，O4长 为半径画弧，交x轴正半轴于点B,以O、A、B为顶点作菱形OACB,且 ∠AOB=60° (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积. 21.如图，AB是O0的直径. A 0 B (I)用尺规作图的方法作出垂直平分半径OA的弦CD; (2)连接BC,BD,试判断△BCD的形状，并证明你的结论. 22.在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成 东方特有的美学符号.下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C 为AB的中点，且CD⊥弦AB,连接AC. A D B 图1 图2 (I)请用无刻度的直尺和圆规作AC的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作 法)： (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O,若AD=OD=√2，求阴影部分的面积. 23.在菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE,⊙O是△ABE的外接 圆. D C(E 图1 图2 (I)如图1，若点E与点C重合，求证：点B,O,D三点共线： (2)如图2，若AE=BE,求证：AD是⊙O的切线； e)在（②）的条件下，若B=1B,m∠4C-3,求CE的长. 24.如图1，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,点E是AB的中点，连接DE并 延长，交CB的延长线于点F.点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重 合). B 图1 图2 图3 (I)求证：△ADE≌△BFE; (2)如图2，连接CP交DF于点G,连接AG,过点C作CH‖AG,交DF于点H. AG 求cH的值； (3)如图3，点在边FC上，且满足CO=2AP,连接P№.过点C作CK1№，交 直线PO于点K,连接DK,当点P在边AD上运动时，求线段DK的取值范围. 25.如图1，⊙0为△ABC的外接圆，OB为⊙0的半径. ●O B B 图1 图2 (1)当OB所在的直线垂直于AC时，写出图中一对相等的量： (2)若∠A=55°，OB=2,求BC的长： (3)随着点A在BC上方的圆弧上移动，∠A与∠OBC的和是否发生变化？请说明 理由： (4)在图1中添加条件：CD⊥AB,交O0于点E,OH⊥BC于点H,得到图2.若 OH=1,直接写出ME的长.， 参考答案 1.B 【分析】根据尺规作图痕迹可知PQ垂直平分AB,结合圆的性质可知AB、CD 为互相垂直的直径，利用对角线互相垂直的四边形面积公式求解. 【解答】解：由作图痕迹可知直线PQ是线段AB的垂直平分线. “点为P的圆心，点4、8在P上 极为P的直径，P为B中点 “直线过点P,且 CD⊥AB “点C、D在OP 在 上 CD为P的直径 .AP=2 AB=CD=2AP=4 六c-4B.CD= 1 ×4×4=8 2 2.C 【分析】由题意易得AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=60°，则有 B01AC,40=C0=34C,∠CB0=∠ABc=30,过点0作0H⊥0B,设40=OP= 2 ,则有AP=V2r,OB=A0tan∠BAC=V3r,进而根据三角函数进行求解即可. 【解答】解：，△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=60° 由作图可知BO平分∠ABC, :B01AC,40=C0=)AC,∠CB0=)∠ABC=30°， 2 2 ..OA=OP, ∴.△AOP是等腰直角三角形， ∠APO=45=∠BP9, 过点O作H1OB,如图所示： B 设A0=OP=r,则有AP=V2r,OB=A0tan∠BAC=V3r, .PQ=A0-AP=6-2r,BP=OB-OP=3r-r, 六PH=Qh=PQ-sn∠BPg=5-r,BM=O an ZCBO=3-3r .BP=PH+BH=V3-r+3-3r. .3r-r=5-r+3-V3r, r=31 解得：2， :h=5-54l5-1 22, .BQ=2QH=3-1 3.A 【分析】I:连接OC,CE,证明∠CD0=90°，求出CD=OE=2V5,证明 CD∥AO 则四边形 ODC EODC 是平行四边形，即可证明四边形为矩形；Ⅱ： 先判断EI最短时，I的位置，过I作H⊥OA于H,过I作G⊥OB于G,利用三 角形的中位线的性质与勾股定理求解即可. 【解答】解：连接OC,CE,则OC=OB=4, D ,CD垂直平分OB, OD-DB=180=2 ∠CD0=90°， :.CD=0C-0D=V4P-2=2W5 .CD=0E=23, ,CD垂直平分OB,AO⊥BO, ∴.CD∥AO, ∴.四边形EODC是平行四边形， .∠CD0=90° ∴.四边形EODC为矩形： 故结论I正确： 如图，△OCD为直角三角形， ∴.aOCD的外心是OP的中点， 当P,C重合时， EI O1=CI=2, 最短， 过I作H⊥OA于H,过I作IG⊥OB于G, 垂直平分 B·CD OB, .OD=BD=2,IG∥CD, ..OG=DG=1, 1G=5, ∠AOB=90°，IG⊥OB,IH⊥OA, ·四边形 GIH 为矩形， .OH=1G=V3,HⅢ=OG=1, 0E=25 :.HE=, E1=VW3y+12=2 即E1的最小值为2. 故Ⅱ正确. 4.A 【分析】根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D,再根据勾股定理即可 得出结论 【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D, 弦 D ·AB=24,r=13 ∴.BD=。AB=12,OB=r=13 2 :.OD=VOB2-BD2=V132-122=5 即圆心O到AB的距离为5. 5.A 【分析】连接AC,利用圆周角定理得出∠ACB=∠ADB,根据直径所对圆周角为 直角得出∠BAC=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求解. 【解答】解：如图，连接AC, B ,∠ADB与∠ACB都是AB所对的圆周角， ∴.∠ACB=∠ADB=70°， .BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， ∴.∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20°. 6.A 【分析】根据菱形的性质将AB设出来，并将AE表示出来，根据圆的切点性 质，得出∠AED=90°，利用勾股定理求解. 【解答】解：设AB=x,则AE=x-2, ,四边形ABCD是菱形， .'AD=AB=x, .以DE为直径的⊙O与AB相切于点E, .DE⊥AB, 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD, (K-2+5=,解得*=29 4 7.B 【分析】以BC为轴作矩形ABCD的对称图形BCD以及对称OD',连接AD交 BC于P,则F就是PE+F最小值，根据勾股定理求得D的长，即可求得 PE+PF 最小值. 【解答】解：如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形ABCD以及对称OD', 连接AD'交BC于P,则EF'就是PE+PF最小值； D B 矩形 中， 的半径为2， A ABCD AB=4BC=6⊙A ⊙D 的半径为1， ..A'D'=BC=6 AA'=2AB=8 AE=2 D'F"=DF=1 .AD=V6+82=10 .EF'=10-2-1=7 .(PE+PF)in PE+PF'=EF'=7 8.B 【分析】过点A作AD⊥OB于D,根据正多边形的性质得出OA=OB=1,根据圆周 角定理得出∠4OB=30,根据含30角的直角三角形的性质得出4D-,根据正 多边形所有中心角和为360°，得出该正多边形为正十二边形，根据正十二边形 的面积为12S△4os即可得出答案. 【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥OB于D, ,O是正多边形的中心， ..OA OB 都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外 接圆上， ..OA=OB=1 :∠ACB=15°∠AOB∠ACB 和 是外接圆的圆心角和圆周角， .∠AOB=2∠ACB=30° .AD=04= 1 2 21 ”正多边形所有中心角和为 60° 360° :正多边形的边数为309=12，即该正多边形为正十二边形， 8m-o840=， 1 :正十二边形的面积为12S=12×=3 4 9.C 【分析】连接OD,交BC于E,先确定∠BE0=90,aDOB是等边三角形，进而求 出CE=OE=3,然后根据阴影部分的面积=S形on-Sco得出答案. 【解答】解：连接OD,交BC于E, A D E O B ,沿BC对折O和D重合，OD=6, .BC⊥OD,DE=OE-3,∠DBE=∠OBE,OB=BD=6 .∠BE0=90°，AD0B是等边三角形， ∴.∠DOB=∠DBO=60° .∠AOB=105°， ∴.∠COD=∠A0B-∠D0B=45°. .∠0EC=90°， ∴.CE=OE=3, .阴影部分的面积 =S形4OD-S.cop 45元×6_1×6x3 3602 29 9 10.C 【分析】连接OA,根据圆周角定理可得∠AOC=2∠ADC=45°，再根据垂径定理 可得∠A0B=90°，然后根据弧长公式计算即可. 【解答】解：如图，连接OA, ∠ADC=22.5° ∴.∠AOC=2∠ADC=45° 又：OC⊥AB, .AC=BC, .∴.∠AOB=2∠AOC=90° 90×π×33 :弧B的长度为： 18027. 11.5 【分析】连接OD,OC,OE,根据矩形的性质得BF=EG,AD=BC, ∠DAB=∠CBA=90 RIADAO≌RIACBO ,证明 ，然后利用全等三角形的性质可得 OM=0B24B,从而可得OA=OB=BC,设0M=0B=BC=a?BF=EG=,则 6G=20.在a06C中，利用股定理可得OC=5a 从而可得 OC=OE=2a ,再在Rt△OEG中，利用勾股定理进行计算可得a=5b,从而进行计算即可解 答 【解答】解：如图，连接OD,OC,OE, D E M A BG .四边形ABCD和四边形BFEG都是矩形， ∴.BF=EG,AD=BC,∠DAB=∠CBA=90°， OD=OC, 、Rt△DAO≌RIACBO(HL) 0A=08-号4， ..AB=2BC, ..OA=OB=BC, OA=OB=BC=a,BF=EG=b, ·BG=2BF, ∴.BG=2b, 在RiOBC中，0C=VOB+BC=-2a .0C=0E=2a, 在R1aOEG中，OE2=OG+EG2, :(2aj°=(a+2bj}+B 整理得：a2-4ab-5b2=0, (a-5b)(a+b)=0 .a=5b或a=-b(舍去)， ,4B_20-9_5b=5 BG26 bb 12.10-5√2 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系 以及三角形的面积公式进行计算即可. 【解答】解：如图所示： 如图，⊙0与等腰直角△ABC的三条边都有两个交点，截得的三条弦CG,DE,CF 相等， ,同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴.等弦圆⊙O的圆心到等腰直角△ABC三条边的距离相等，故圆心O就是等腰直 角△ABC的内心， .当⊙O过C时，且在等腰直角三角形ABC的三边上截得的弦相等，即 CG=CF=DE .⊙0 ,此时©最大， 过点O分别作弦CG,CF,DE的垂线，垂足分别为P,N,M,连接OC,OA,OB, .CG=CF=DE ∴.OP=OM=ON ∠ACB=90°，AB=10,AC=BC 4C=C-5x10=5N2 2 S.40C+S.B0c+S408=S4MC 4c-0r+acoN+4BoM=Samc4c-Bc. 2 2 设OM=x,则OP=ON=x, :.5V2x+5vV2x+10x=5V2×5√2 解得：x=52-5, 即OP=ON=5V2-5, 在RCON中，∠0CN=)∠4CB=45 ∴.0C=V20W=10-52, 13.55°/55度 【分析】利用⊙O是△ABC的外接圆，可得BO=CO,再根据等腰三角形底角相 等和三角形的内角和为180°，可求得∠BOC的大小，最后再利用同弧所对的圆周 角等于圆心角的一半，即可解答. 【解答】解：如图：连接BO, 是 的外接圆， C⊙0 △ABC ..BO=CO ∴.∠OCB=∠OBC=35° .∠B0C=180°-∠OBC-∠OCB=180°-35°-35°=110° 根据圆周角定理可知，∠A=3∠B0C=)x10°=50， 2 2 14.①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确：证明 RtAPEO≌RtAPFO(HL) 得到PB=D,可得④、⑤正确，即可找到全部正确答 案 【解答】解：PO平分∠BPD,OE垂直AB,OF垂直CD,则OE=OF, 即弦AB,CD的弦心距相等，因而AB=CD,弧AB等于弧CD,故①、②正确： 在直角三角形中，PO>PE,故③错误； 如图，连接OB,OD G D ·.OE=OF,PO=PO ∴.RtAPEOS≌RtaPFO(HL) ..PE=PF AB=CD OE 垂直ABO 垂直CD BE=4B-CD=D ∴.PB=PD 故⑤正确： .PO=PO,BO=DO ∴.APOB≌APOD(SSS) ∴.∠POB=∠POD ∴.∠BOG=∠DOG BG DG “弧等于弧，故④正确： 其中结论正确的是①②④⑤. 15.67.5 【分析】根据题意可得∠OBC=∠OCB=45°，再证∠CBF=∠CEB即可求解. 【解答】解：连接CF, 的两条直径 互相垂直， B .…⊙O AB,CD .OB=OC∠BOC=90° ∴.∠OBC=∠OCB=45° .FD=FE .∠FED=∠FDE 又CF=CF, .∴.∠CBF=∠FDC 又∠FED=LCEB, ∠CBF=∠CEB=180,45°-67.5° 2 16.17 【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,由内心的定义和 角平分线的性质可得OD=OE=OF=2,根据SaMc=SAom+SAoc+SaoC,即可解 决问题. 【解答】解：如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, E F 点为 内心， △ABC ∴.OA OB OC 分别平分∠BMC,∠ABC∠ACB .OD⊥BCOE⊥ABOF⊥AC ∴.OD=OE=OF=2 .S.ABC=S.408+S0C+SBOC =1AB-OE+TAC.OF+BC.OD -OP(B+AC+BC) =17 17.72°或144°（答案不唯一） 【分析】结合正五边形的性质，得出中心角∠1=∠2=360°÷5=72°，再根据旋转 的性质，即可作答. 【解答】解：如图所示： ,这是正五边形卡通贴纸 .∠1=∠2=360°÷5=72°， ∴.∠1+∠2=144° 则将正五边形绕着它的中心O旋转72°后，能够与原来的图形完全重合， 或将正五边形绕着它的中心O旋转144°后，能够与原来的图形完全重合. 27-3m 18. 4 【分析】过C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,先利用平行四边形的性质得到 AD=BC=3∠CBF=∠A=30° ，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得 CF=1BC-3 2，由阴影部分的面积为S平衔两边形ACD一S形DMB-S,求解即可. 【解答】解：过C作CF⊥AB交AB的延长线于点F,如图所示， 430 ,四边形ABCD是平行四边形，AD=3,∠A=30°， .DA∥CBAD=BC=3 .∴.∠CBF=∠A=30° .CF-C 3 .AE=AD=3 AB=6 .BE=AB-AE=3 ∴.阴影部分的面积为S平行四边形ABCD一S扇形DM一S,BCE =6x31 330元×32 ×3× 22⊙2360 =27-3m 4· 19.4cm和1.5cm. 【分析】利用大圆的面积减去4个小圆的面积等于7π，所以可先设大、小圆的 直径分别为④d;进而得到关于④d的方程，再利用平方差公式进行分解得 到4+24，)d-24,)=28 ;至此根据大小圆的直径均为整数，即可求解. 【解答】解：设大圆盘的直径为4cm,小圆盘的直径为d,cm,根据题意，得 即d-4d=28, 分解因式，得4+24)4-24)=28 :d,d山均为整数， :d+2d,4-24均为整数. 又d+2d和4-2d的奇偶性相同， d+2d2=14, d=8, d-2d,=2,解得4=3， 4=4,=15 2 2 六大、小圆盘的半径分别为4cm和1.5cm. 【点睛】本题考查了列方程解应用题的综合题，掌握因式分解的应用、方程的 整数解是解题的关键. 4V3 20.(1①少 x (aw=85-8r 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、菱形的性质、扇形面积计算，掌握 扇形面积公式、菱形的面积公式是解题的关键. (I)过点A作AE⊥OB于点E,根据正切的定义求出AE,得到点A的坐标，利 用待定系数法求出反比例函数表达式： (2)根据扇形面积公式、菱形的面积公式计算，得到答案. 【解答】(1)过A作AD⊥OB于点D, B 在Rt△AOD中，∠AOD=60°，OD=2, ∴.AD=OD.tan∠AOB=23,OA=4 ∴.A2,23) k 反比例函数y=>0)的图象经过点42,2， :25= 2， 即k=43, 反比例函数的表达式为：上4 x (2)在菱形AOBC中， ∴.OB=OA=4 =S爱640c-S0540e=4×23-60x元4 8V5-8元 360° 3 21.(1)解：如图，线段CD就是所求作的弦： C B (2)△BCD是等边三角形，证明如下： 连接AC,OC, C 4 O 2 D CD⊥AB,AB是⊙O的直径， ∴.BC=BD, ∴.BC=BD ,CD垂直平分半径OA, ∴.AC=OC, ..OA=OC, ∴.AC=OA=OC, .∠A=60°， 又，∠A和∠CDB同对BC, ∴.∠CDB=∠A=60°， ∴.△BCD是等边三角形. 【分析】(1)利用线段垂直平分线的作法作图即可； (2)连接AC,OC,根据垂径定理得出BC=BD,根据线段垂直平分线的性质 得出AC=OA=OC,得出∠A=60°，然后利用圆周角定理得出∠CDB=∠A=60°， 即可得出结论. 【解答】(1)略： (2)略. 22.(1) D B 【分析】(1)利用垂直平分线的作图步骤作图即可： (2)连接OA,由CD1AB、AD=OD=V2,可知△AOD为等腰直角三角形，得 40D=45°，半径01=2.则圆心角 ∠A0C=180°-45°=135° 分别计算：扇形 OAC 面积、 AAOC 面积，进而即可计算阴影的面积. 【解答】(1)解：略 (2)解：由题意得，(1)中所作垂直平分线与CD的交点为圆心O, 连接OA,如图， D B :CD⊥AB,AD=OD ∴.△AOD为等腰直角三角形， ∴.∠A0D=45° .∠AOC=180°-∠AOD=135° ∴.OA=VOD2+AD2=2 0CDx 2 ∴.S扇形O4C 135π×02_135π×223元 3603602’ ·S影=S所形OMC-SMAOC 3-2 2 23.(1)证明：如图，连接BD交AC于点F, C(E) ,四边形ABCD是菱形， ∴.BD⊥AC,AF=CF, ∴.直线BD是AC的垂直平分线， ,⊙O是△ABE的外接圆， 又，点E与点C重合， ∴.点O在AC的垂直平分线上， 点B,O,D三点共线 (2)证明：如图，连接OA、OE,设∠BAC=u, D .AE=BE, ∴.∠ABE=∠BAC=a, ∴.∠AOE=2∠ABE=2a, ..OA=OE, .∠0AE-∠0BM=180°-∠A0E 2 =90°-a, ,四边形ABCD是菱形， ∴.∠DAC=∠BAC=a, ∴.∠OAD=∠OAE+∠DAC=90°，即OA⊥AD, ∴.AD是⊙0的切线. 313 (3)4 【分析】(I)连接BD交AC于点F,由菱形的性质可知，直线BD是AC的垂直 平分线，结合外接圆圆心的性质即可证明点B,O,D三点共线： (2)连接OA、OE,设∠BAC=a,由圆周角定理可得，∠ABE=∠BAC=a, ∠AOE=2∠ABE=2C 由等腰三角形的性质可得<01E=90°-a ,由菱形的性质可 得∠DAC=∠BAC=a,从而得到∠OAD=∠OAE+∠DAC=90°，因此AD是⊙O的 切线： (3)连接BD交AC于点F,设AF=2x,EF=y,由菱形的性质可得BD⊥AC, A=C-2x,由三角函数可得心=多4.3x,利用勾股定理可以计算出 2 X=5,则T==2,BF=35.在BF中，利用勾股定理构造方 5v13 程，解得 4,因此=r-=313 4· 【解答】(1)略 (2)略 (3)解：如图，连接BD交AC于点F,设AF=2x,EF=y, ,四边形ABCD是菱形， ∴.BD⊥AC,AF=CF=2x, ∴.∠BFA=∠BFC=90°， 在R5ABF中，tan∠MC=R-3 &侧=20=3x, 由勾股定理可得，AF2+BF2=AB, .(2xy+3x2=132 解得x=V3(负值已舍去)， .'CF=AF 2x =2v13,BF 3x =3v13, .AE=BE, .'BE AE EF AF y+2v13, 在RIABEF中，EF2+BF2=BE2, ·y+313=+23, .5v13 解得=4， :E=-m=3 4. 24.(I)证明：四边形ABCD是菱形， ∴.ADI FC ∴.∠DAE=∠FBE∠ADE=∠BFE :E为AB中点， .AE=BE .aADE≌△BFE(AAS) 1 (2)2: 45<DK52+27 (3) 3. 【分析】O由四边形4BCD是菱形，则AD∥FC,所以∠DE=∠FBE, 4DE=∠BFE,又E为4B中点，所以ME=BE,然后通过：AAS,即可证明 △ADE≌△BFE (2)连接4C交BD于点O,由0知△ADE≌△BFE,所以4D=BF,然后证明 AO AD 1 AOADPAOCF,所以OC=FC2,再证明AOAG∽aOCH,通过相似三角形的性 质即可求解： AM AP 1 (3)连接AC交PQ于点M'证明△APM∽aCQM,所以CMcQ2,证明AABC 为等边三加花，所以AC-相-2，则有Cw-号4C-子，又CKMw,可得点K 在以Cw为直径的o1上运动，其中I=M=-CM-号，肉为点p是边AD上 任意一点（点P不与点A,D重合)，所以当点P位于点A处时，点K于点C重 合，当点P位于点D处时，点K满足CK⊥DF,即位于图中的K'处，则有点K 的运动轨迹为图中的CK"K',根据DK≤DI+KI,则当D,K,I三点共线时， DK取得最大值DK,连接D交1C于点N,则BD LAC,所以 4w=Ow=4c=1, 求行N-,-片，则-D4- 3,所以 DK”=DI+K"=2+27 3,又当CK⊥DF时，DK取得最小值，作DL⊥FC交于点L m∠DFL=ZCK'_22 ，求得 14, 7,所以 DK'=VCD2-CKP-4V7 7,从而可得 45<DK≤2+27 7 3. 【解答】(1)略： (2)解：如图，连接AC交BD于点O, F B I)△ADE≌△BFE, 由 .AD=BF “在菱形 ABCD 中， AD=BC ..CF=2AD .AD∥FC .AOAD∽AOCF 10AD1 OC FC 2, AG‖HC .△OAG∽△OCH 4G=A0=1 CH CO 2 (3)解：如图，连接AC交P9于点M, A D E F B O :AP‖QC ∴.AAPM∽aCQM AM AP 1 CMCO 2 ·在菱形 BCD AB=BC=2∠ABC=60° 中， △ABC 为等边三角形， .AC=AB=2 :cw-4c-5 4 .CK⊥P2 .∠CKM=90° 如图，点K在以CM为直径的⊙I上运动， A D E 其中=w-cw子， 3 “点是边D上任意一点（点？不与点，D重合）， 当点位于点4处时，点K于点C重合： 当点P位于点D处时，点K满足CK⊥DF,即位于图中的K'处， 点K的运动轨迹为图中的KR, B O DK≤DI+KI 当D,K,I三点共线时，D 取得最大值DK” 如图，连接BD交AC于点N,则BD⊥AC, A 六AW=CwW= AC=1 2 DN=ADP-AN -NI=CN-CI=1 3, ÷DI=VD2+m=2 3, ÷DK"=DI+K=2+27 3, “当CK LDF时，DK取得最小值， 如图，作 L⊥FC 交于点， P K 1 --L B O :DC∥AB ∴.∠DCL=∠ABC=60° .CD=2 ∴.CL=1DL=5 ∴.FL=FC+CL=5 1 ∴.DF=√FE+DL=2√7 CK'DL21 ∴.sin∠DFL= FC DF 14, .CF=4 CK'=221 7 DK'-JCD-cK_ 7, “点P是边4D上任意一点（点P不与点，D重合）， DK'<DK≤DK" :45<DK<2+27 7 3, <DK≤2+2V7 4v万 .线段DK的取值范围7 3 25.(1)∠AB0=∠CB0(答案不唯一) 11 (2)gπ (3)解：当点A在BC上方的圆弧上移动时，总有∠A与∠OBC的和不变，为定 值， 证明如下： 连接OC,如图所示： 由圆周角定理知∠BOC=2∠A, .OB=OC .∠OBC=∠OCB 在△OBC中，由三角形内角和定理可得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， 则2∠A+2∠0BC=180°， .∠A+∠OBC=90 ,即当点在BC上方的园饭上移动时，总有A与O6C 的和 为定值： (4)AE=2 【分析】(1)根据题意，作出图形，结合垂径定理、中垂线的判定与性质及等 腰三角形性质即可得到答案： (2)连接OC,如图所示，根据题意，由圆周角定理求出∠BOC=2∠A=110°， 再由弧长公式代值求解即可得到答案： (3)连接OC,如图所示，由圆周角定理、等腰三角形性质及三角形内角和定 理即可得证； ED BD (4)由两个三角形相似的判定定理得到EBD6OBH,得到相似比OHBH; ED EA 再由EDAPABDC得到BD=BC,联立代值求解即可得到答案. 【解答】(I)解：延长BO,交AC于点D,如图所示： 当 所在的直线垂直于时，即 B OB AC BD⊥AC AD=CD ”由垂径定理可知 BD是线段AC的垂直平分线，则BM=BC,则B=BC 小由等腰三角形三线合一性质可知， BD 平分 ∠ABC ∴.∠ABO=∠CBO: (2)解：连接OC,如图所示： B :BC=BC∠A=55° ∠BOC=2∠A=110° 由圆周角定理可得 .OB=2 110 :BC的长为180 π·OB=110 180 元x2= 9元； (3)解：略； (4)解：连接OC、BE,如图所示： 由圆周角定理可得 B ∠BOC=2∠BEC :OB=OCOH⊥BC “由等腰三角形三线合一性质可得 H 平分 C,即<BOH=<COH ∠BOC .∠BED=∠BOH .·CD⊥AB ∴.∠BHO=90°=∠BDE ED OH △EBDAOBH, 即BDBH' ED 1 ·BD-BH, .4C=AC ∴.∠AED=∠ABC ∠ADE=∠BDC ED AE &EDAPABDC,即BD-BC, :OB=OCOH⊥BC .B-CH-BC. ED 1 AE BD BH2BH, 解得AE=2.