第11讲 指数运算与指数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数运算与指数函数核心知识，系统梳理实数指数幂的运算（含根式与分数指数幂互化、运算法则、根式性质），指数函数定义（三要素）、图像性质（定点、单调性、取值规律）及复合函数问题，构建从代数运算到函数性质再到综合应用的学习支架。 该资料亮点在于易错辨析精准（如指数幂符号、函数定义误判等5大误区，培养数学思维严谨性），典例覆盖9大题型（从基础化简到参数求解，用数学语言表达解题过程），题型设计层层递进。课中辅助教师系统授课，课后通过作业和变式练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第11讲 指数运算与指数函数 （核心知识+5易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】根式的化简求值 【题型六】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【题型二】指数幂的化简、求值 【题型七】比较指数幂的大小 【题型三】指数函数的判定与求值 【题型八】求已知指数型函数的最值 【题型四】指数型函数图象过定点问题 【题型九】由指数(型)的单调性求参数 【题型五】求指数型复合函数的定义域与值域 【知识点01】实数指数幂的运算 （1）根式与分数指数幂互化（核心公式） 正分数指数幂： 负分数指数幂： 零指数幂：；负整数指数幂： （2）实数指数幂四则运算法则（必考） 设，，则： ① ② ③ ④ ⑤ （3）根式化简核心性质 【知识点02】指数函数的定义 （1）标准定义 形如的函数叫做指数函数，其中底数为常数，定义域为。 定义核心特征：底数为大于0且不等于1的常数，指数为自变量，系数为1，无常数项。 （2）定义域与值域 定义域：；值域：。 【知识点03】指数函数图像与核心性质 （1）定点性质（秒杀考点） 指数函数图像恒过定点，即时，。 （2）单调性分类（高考核心） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，在上单调递减。 （3）函数取值规律 若：，； 若：，。 （4）图像对称性质 函数与的图像关于轴对称。 【知识点04】指数函数常考应用模型 指数增长模型：；指数衰减模型：，常用于增长率、衰减率、复利计算等实际问题。 易错点1：指数幂运算符号误区 误区：偶数次根式化简直接等于被开方数，忽略绝对值。 正解：（为偶数），必须保证结果非负。 易错点2：指数函数定义误判 误区：为指数函数。 正解：仅为标准指数函数，系数不为1、含常数项、指数非自变量均不是指数函数。 易错点3：单调性混淆误区 误区：默认所有指数函数单调递增，忽略底数范围。 正解：底数递增，递减，解题优先判断底数范围。 易错点4：值域取值误区 误区：认为指数函数值域包含0或负数。 正解：恒成立，值域为，永远不为0和负数。 易错点5：复合指数函数单调性误区 误区：直接判断外层函数单调性，忽略内层函数定义域与单调性。 正解：复合函数遵循“同增异减”，先看内层定义域，再结合内外层单调性判断。 【题型一】根式的化简求值 【典例1-1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . 【变式1-2】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）设，若，则的值是___________． 【答案】4 【分析】根据完全平方公式结合根式的性质求解即可. 【详解】由，则，即， 所以， 又，则. 故答案为：4. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用根式的运算化简即可； （2）利用根式的运算化简即可. 【详解】（1） ． （2） ． 【题型二】指数幂的化简、求值 【典例2-1】（25-26高一上·广西钦州·期中）求值： 【答案】38 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式       . 【变式2-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）求值： (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值. 【详解】（1）； （2）. 【变式2-2】（25-26高一上·广东佛山·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值. 【详解】（1）原式 ； （2）由，， 则. 【变式2-3】（25-26高一上·四川泸州·期中）（1）求值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）329. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用指数运算法则化简求值. 【详解】（1）. （2）由，得， 所以. 【题型三】指数函数的判定与求值 【典例3-1】（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）若函数，则__________. 【答案】1 【分析】根据函数解析式，直接求出函数值即可. 【详解】当时，解得，则. 故答案为：1. 【变式3-2】判断下列函数是否为指数函数 （1） （2） （3） （4）（，且） 【答案】（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数. 【解析】由指数函数的定义可得解. 【详解】指数函数的定义知，形如且 叫指数函数.所以（1） ，（2），（3） 不满足指数函数的定义，故不是指数函数； （4）（＞1，且）满足指数函数的定义，故是指数函数 【点睛】本题考查考查指数函数的定义，属于基础题. 【变式3-3】已知指数函数（，且），且，求的值. 【答案】 【解析】由求出，可确定的解析式，从而计算函数值． 【详解】因为，且，则，解得，于是. 所以，. 【点睛】本题考查指数函数的解析式．属于基础题． 【题型四】指数型函数图象过定点问题 【典例4-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 【变式4-1】（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据指数型函数的性质求解即可. 【详解】由函数可知，当时，， 即函数的图象恒过点. 故答案为：. 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 【变式4-3】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（）. (1)证明：的图象过定点. (2)若，函数，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值，无最小值 【分析】（1）令，代入计算即可得； （2）利用复合函数单调性可得在上单调递增，再求出值域后即可得解. 【详解】（1）当时，有， 故的图象过定点； （2）若，则， 因为在上单调递增，在上单调递增 所以在上单调递增， 又， 则， 故有最大值，无最小值. 【题型五】求指数型复合函数的定义域与值域 【典例5-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质确定函数的值域. 【详解】由指数函数的值域为，则的值域为. 故选：C 【变式5-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【答案】 【分析】要使函数有意义，须使，解不等式可得函数 的定义域. 【详解】要使函数有意义，须使. 所以. 因为函数是减函数，所以，所以. 所以函数 的定义域是. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ，．的值域为． （2）函数的定义域为． ．故的值域为． 【变式5-3】求下列函数的定义域、值域： (1) (2) 【答案】(1)定义域为，值域为； (2)定义域为R，值域为（0，16]. 【分析】（1）根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）由函数解析式可知：，所以函数的定义域为：； 因为，所以，因此函数的值域为：； （2）由函数的解析式可知：函数的定义域为R， ，因为， 所以，因此函数的值域为：（0，16]. 【题型六】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【典例6-1】（24-25高一上·北京·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则， 因在上单调递增，则， 即的值域为，故正确，错误； 在上单调递增，在上单调递减， 则的增区间为，减区间为，故CD正确. 故选：BCD 【变式6-2】（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【答案】(1) 由题意，得，即函数的定义域关于原点对称， ， ∴函数为奇函数. (2) 设是内任意两实数，且， 则， ∵，∴，∴， ∴函数在内是增函数. 【分析】（1）根据奇函数定义化简的表达式可得结论； （2）利用函数单调性定义直接按照步骤即可判断得出证明. 【变式6-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用，可求得的值，代回解析式验证可知满足题意； （2）任取，由可得单调性. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：， 又，； 当，时，，， 满足为定义在上的奇函数； 综上所述：，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，则， ，，，， 在上单调递增. 【题型七】比较指数幂的大小 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 【变式7-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）在中，最大的数是__________. 【答案】 【分析】根据指数幂运算公式，指数函数的单调性计算判断即可. 【详解】，， 因为， 所以最大的数为， 故答案为： 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据指数函数图象分析判断. 【详解】设，分别作出的函数图象，如图所示： 当，则，A成立； 当，则，B成立，C不成立； 当时，则，D成立. 故选：ABD.    【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）运用指数函数单调性解题即可. 【详解】（1）函数在R上是增函数，，∴. （2）函数在R上是减函数，，∴． （3）由指数函数的性质，，又，∴． 【题型八】求已知指数型函数的最值 【典例8-1】（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设，将此函数转化为一元二次函数的最值分析求解即可. 【详解】．设， 则．因为，所以， 当时，；当时，． 故选：A． 【变式8-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，， 且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的最大值为_______． 【答案】10 【分析】应用换元法结合指数函数的性质计算求解. 【详解】令， ， 即当时，的最大值. 故答案为：10. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 【题型九】由指数(型)的单调性求参数 【典例9-1】（25-26高一上·河北沧州·期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像和性质求解. 【详解】由于指数函数是上的减函数， 故有，求得， 则实数的取值范围为. 故选：C． 【变式9-1】设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 【变式9-2】（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】从定义域与复合函数单调性两个方面分析可得答案. 【详解】函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，需满足以下条件： （1）对于任意 ，需有 ， 由于 ，函数 在上单调递减， 因此，即 ； （2）令 ，则 ，由于 且 ，分两种情况： 若 ，则外层函数 递增，而内层函数 递减， 故复合函数 递减，不符合题意， 若 ，则外层函数 递减，内层函数 递减， 故复合函数 递增，符合题意， 故； 综上， 的取值范围是 . 故答案为： 【变式9-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 1. 核心知识体系 本节课分为两大核心板块：一是指数幂与根式的代数运算，是本章计算基础；二是指数函数的定义、图像与性质，是高考核心考点，重点考查单调性、定点、比较大小、复合函数性质。 2. 核心解题思路 （1）指数运算统一化为分数指数幂计算，巧用运算公式简化步骤； （2）指数函数判定严格紧扣三要素，杜绝形式混淆； （3）单调性、大小比较优先判断底数范围，分类讨论不遗漏； （4）复合指数函数严格遵循“先定定义域、再判内外单调性、同增异减”的解题流程。 3. 提分关键 规避根式绝对值、指数函数定义、单调性乱判等高频易错点，熟练掌握指数运算公式与指数函数核心性质，是解决本章基础题、中档题的核心保障。 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数 的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，结合求解即可. 【详解】令，即，再由，所以，所以图象恒过. 故选：B. 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】令，，根据奇偶性得到关于、的方程组，求出的解析式，再代入计算可得. 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对任意实数，都有，得到，从而得到在上是单调递减函数，利用单调性得到的取值范围. 【详解】因为对任意实数，都有， 所以， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以实数的取值范围为，故选项A正确. 二、多选题 4．（24-25高一下·青海海东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：因为，由的单调性可得，故A正确． 对于B：因为，所以，所以，故B不正确． 对于C：因为，所以，，所以，故C正确． 对于D：因为，所以，所以，D不正确． 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 【答案】ABD 【分析】A.由求解；B. 根据函数为奇函数，由求解；C.利用指数函数的单调性求解；D.由时，，得到，再由是奇函数求解. 【详解】A.由，得，所以的定义域为，故正确； B. 因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得，经检验，符合题意，正确； C. 当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 所以的单调递减区间为和，错误； D.由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，正确. 三、填空题 6．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 【答案】或 【分析】讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最大值列方程，解方程可得的值. 【详解】， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时，，解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 故答案为：或 四、解答题 8．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）全部根式转化为分数指数，把根式运算转化为有理数指数的代数运算. （2）求代数式整体的值，用整体的值代入分式求值即可. 【详解】（1） （2）由， 等式两边同时平方可得：， 即， 等式两边同时平方可得：， 即， 所以. 9．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式可得，进而求解即可； （2）令，，可得，进而结合二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由题意得，，即，则， 所以． （2）令，因为，则， 则，所以在上单调递减， 因为，，所以，即的值域为． 10．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用得出，再利用奇函数的定义检验即可求解； （2）参变分离得在上有解，令，，则有解，利用二次函数性质求解值域即可得解； （3）首先化简，然后令，，则，进而讨论一元二次函数的单调性，求解最小值. 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题，， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 指数运算与指数函数 （核心知识+5易错辨析+9典例精讲+课后作业） 【题型一】根式的化简求值 【题型六】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【题型二】指数幂的化简、求值 【题型七】比较指数幂的大小 【题型三】指数函数的判定与求值 【题型八】求已知指数型函数的最值 【题型四】指数型函数图象过定点问题 【题型九】由指数(型)的单调性求参数 【题型五】求指数型复合函数的定义域与值域 【知识点01】实数指数幂的运算 （1）根式与分数指数幂互化（核心公式） 正分数指数幂： 负分数指数幂： 零指数幂：；负整数指数幂： （2）实数指数幂四则运算法则（必考） 设，，则： ① ② ③ ④ ⑤ （3）根式化简核心性质 【知识点02】指数函数的定义 （1）标准定义 形如的函数叫做指数函数，其中底数为常数，定义域为。 定义核心特征：底数为大于0且不等于1的常数，指数为自变量，系数为1，无常数项。 （2）定义域与值域 定义域：；值域：。 【知识点03】指数函数图像与核心性质 （1）定点性质（秒杀考点） 指数函数图像恒过定点，即时，。 （2）单调性分类（高考核心） ① 当时，在上单调递增； ② 当时，在上单调递减。 （3）函数取值规律 若：，； 若：，。 （4）图像对称性质 函数与的图像关于轴对称。 【知识点04】指数函数常考应用模型 指数增长模型：；指数衰减模型：，常用于增长率、衰减率、复利计算等实际问题。 易错点1：指数幂运算符号误区 误区：偶数次根式化简直接等于被开方数，忽略绝对值。 正解：（为偶数），必须保证结果非负。 易错点2：指数函数定义误判 误区：为指数函数。 正解：仅为标准指数函数，系数不为1、含常数项、指数非自变量均不是指数函数。 易错点3：单调性混淆误区 误区：默认所有指数函数单调递增，忽略底数范围。 正解：底数递增，递减，解题优先判断底数范围。 易错点4：值域取值误区 误区：认为指数函数值域包含0或负数。 正解：恒成立，值域为，永远不为0和负数。 易错点5：复合指数函数单调性误区 误区：直接判断外层函数单调性，忽略内层函数定义域与单调性。 正解：复合函数遵循“同增异减”，先看内层定义域，再结合内外层单调性判断。 【题型一】根式的化简求值 【典例1-1】（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）设，若，则的值是___________． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课前预习）计算下列各题： (1)； (2)． 【题型二】指数幂的化简、求值 【典例2-1】（25-26高一上·广西钦州·期中）求值： 【变式2-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）求值： (1)； (2). 【变式2-2】（25-26高一上·广东佛山·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； 【变式2-3】（25-26高一上·四川泸州·期中）（1）求值； （2）已知，求的值． 【题型三】指数函数的判定与求值 【典例3-1】（24-25高一上·广东广州·期中）下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）若函数，则__________. 【变式3-2】判断下列函数是否为指数函数 （1） （2） （3） （4）（，且） 【变式3-3】已知指数函数（，且），且，求的值. 【题型四】指数型函数图象过定点问题 【典例4-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式4-1】（25-26高一上·福建福州·期末）函数的图象恒过定点，则的坐标为___________． 【变式4-2】（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知函数（）. (1)证明：的图象过定点. (2)若，函数，求的最值. 【题型五】求指数型复合函数的定义域与值域 【典例5-1】（25-26高一上·全国·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数 的定义域是___________ . 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【变式5-3】求下列函数的定义域、值域： (1) (2) 【题型六】判断指数函数、指数型复合函数的单调性 【典例6-1】（24-25高一上·北京·期中）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【变式6-1】（多选）（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【变式6-2】（24-25高一上·云南曲靖·阶段检测）设函数. (1)证明函数是奇函数； (2)证明函数在内是增函数. 【变式6-3】（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断的单调性并证明. 【题型七】比较指数幂的大小 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）在中，最大的数是__________. 【变式7-2】（多选）（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和． 【题型八】求已知指数型函数的最值 【典例8-1】（24-25高一上·安徽·期中）设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式8-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·湖南·阶段检测）函数的最大值为_______． 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【题型九】由指数(型)的单调性求参数 【典例9-1】（25-26高一上·河北沧州·期末）指数函数是上的减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是______． 【变式9-2】（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是______． 【变式9-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 1. 核心知识体系 本节课分为两大核心板块：一是指数幂与根式的代数运算，是本章计算基础；二是指数函数的定义、图像与性质，是高考核心考点，重点考查单调性、定点、比较大小、复合函数性质。 2. 核心解题思路 （1）指数运算统一化为分数指数幂计算，巧用运算公式简化步骤； （2）指数函数判定严格紧扣三要素，杜绝形式混淆； （3）单调性、大小比较优先判断底数范围，分类讨论不遗漏； （4）复合指数函数严格遵循“先定定义域、再判内外单调性、同增异减”的解题流程。 3. 提分关键 规避根式绝对值、指数函数定义、单调性乱判等高频易错点，熟练掌握指数运算公式与指数函数核心性质，是解决本章基础题、中档题的核心保障。 一、单选题 1．（25-26高一上·新疆喀什·期末）函数 的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 3．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高一下·青海海东·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域 三、填空题 6．（25-26高一上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 7．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数（且）在上的最大值为，则__________. 四、解答题 8．（2026高一·全国·专题练习）计算下列各式的值： (1)化简：； (2)已知，求的值. 9．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知函数的图象过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求的值域． 10．（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $