第13讲 指数与指数函数 讲义-2026年初升高数学衔接

第13讲指数与指数函数 基●础●知●识 一、次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 2、个数： （1）当是奇数时，的值仅有一个，记为； （2）当是偶数， ①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 2、性质：，且 三、分数指数冥的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数帛等于0，0的负分数指数冥没有意义 2、分数指数冥的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法. 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. （2）把根式化成分数指数冥的形式时，不要轻易对进行约分. （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义. 四、无理数指数蒙 一般地，无理数指数幂为无理数）是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果. （2）定义了无理数指数幂之后，冥的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 五、实数指数儒的运算性质 （1）. （2）. （3）. 六、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数且叫做指数函数， 其中指数是自变量，定义域是是指数函数的底数. 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在. （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况，所以规定且. 七、指数函数的圆象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 八、比较指数暴的大小方法 比较幕的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幕的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用幂函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较. 九、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为底数的指数冥的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数的图象求解. 题●型●破●译 题型01 分数指数幂与根式的互化 【典例01】(1)； (2) 【答案】(1)； (2)1. 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【分析】（1）（2）由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 【变式01】（1）； （2）． 【答案】（1）（2） 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. （2）将根式化成分数指数幂，再利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1） . （2）原式 . 【变式02】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3） 题型02 根式的化简求值 【典例01】(1)； (2)已知，，求：. 【答案】(1) (2) 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算，即可求得答案； （2）由题意可求出的值，结合指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】（1） （2）， 由和，可得， 则. 【变式01】(1)； (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】由根式与有理数指数幂的关系，及指数的运算性质化简求值即可. 【详解】（1）． （2）由题设，. 【变式02】（1）计算：； （2）已知，求的值； 【答案】（1）；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值； （2）将目标式化为，再代入求值. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则. 题型03 指数函数的判断 【典例01】（多选）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】指数函数的判定与求值 【详解】根据指数函数定义可知，是指数函数，B正确：AD均不是指数函数；是指数函数，C正确． 【变式01】下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】运用指数函数的概念判断即可. 【详解】根据指数函数的特征：系数为1，底数满足，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D. 答案：D. 【变式02】下列函数中，是指数函数的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】D 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数的定义进行一一分析，即可判断得出答案. 【详解】解：①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数； ③中底数，只有规定且时，才是指数函数； ④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数. 故选：D. 题型04 根据指数函数求参数 【典例01】函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【知识点】根据函数是指数函数求参数、指数函数的判定与求值 【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值. 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 【变式01】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 【变式02】若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 题型05 求指数函数解析式 【典例01】函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【知识点】求指数函数解析式、求函数值 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 【变式01】若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】设且，根据函数过点求出的值，即可求出函数解析式，再代入计算可得. 【详解】设且，则，解得或（舍去）， 所以，令，又，所以. 故选：B 【变式02】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 题型06 指数函数图像问题 【典例01】指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断指数函数的单调性、指数函数图像应用 【分析】此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性，再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 【变式01】若，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的图象分析与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据参数的大小，确定函数的单调性. 【详解】∵  ∴a-1<0 ∴函数过点(0,1)，且单调递减； ，开口向下. 故选：D. 【变式02】函数且的图象可能是（    ）             A．①③ B．②④ C．④ D．① 【答案】C 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】分，，根据指数函数和图象平移判断. 【详解】当时，，函数的图象为过点的上升的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故①②错误； 当时，，函数的图象为过点的下降的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故④ 正确③错误； 故选：C 题型07 指数型函数过定点问题 【典例01】函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点 【变式01】函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】令，结合求解即可. 【详解】令，即，再由，所以，所以图象恒过. 故选：B. 【变式02】函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 题型08 求指数函数值域 【典例01】已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 【变式01】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 【变式02】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减， 所以其最大值为. 故选：A 题型09 比较指数幂大小 【典例01】．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 【变式01】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 【变式02】若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】将4个指数式转换成同指数结构，再结合函数单调性即可判断. 【详解】由指数幂的运算可得： ， ， ， ， 对于幂函数，当时是增函数， 又 ， 即. 题型10 指数型函数单调性问题 【典例01】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 【变式01】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 【变式02】函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且在其定义域内单调递增， 的单调递减区间为. 故选：C 题型11 解指数不等式 【典例01】解不等式． 【答案】 【分析】根据题意，由换元法可得到一元二次不等式，然后求解，结合指数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】令，则原不等式可化为． 因式分解得，解得． ∵，∴， 由于指数函数是增函数， 即，解得． 所以不等式的解集为. 【变式01】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数的单调性，解不等式. 【解答过程】单调递减， 所以，解得：. 故选：A. 【变式02】已知函数（为常数，且），且. (1)求的値； (2)解不等式. 【解题思路】（1）把点代入函数解析式可得答案； （2）利用指数函数单调性可得答案. 【解答过程】（1）因为函数，又， 所以，即. （2）由（1）知，，不等式即， 所以，所以的解集为. 题型12 指数函数奇偶性 【典例01】若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 【变式01】已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义列式求解. 【详解】函数的定义域为，由为奇函数，得， 即，则. 故选：B 【变式02】已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用奇函数定义，可得，进而利用奇函数定义验证求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以， 即，即，又，故解得， 此时， 则， 所以函数是奇函数，满足题意， 所以. 故选：B. 题型13 指数函数应用 【典例01】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【解题思路】根据已知条件求得，进而求得正确答案. 【解答过程】依题意，两式相除得， 则， 所以当时，小时. 故选：B. 【变式01】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设该物质年衰减率为，原质量为1，分析易得，进而求解. 【解答过程】设该物质年衰减率为，原质量为1，则1年后剩余质量为； 2年后剩余质量为年后剩余质量为， 即， 则与的函数关系式是． 故选：B. 【变式02】已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解题思路】根据给定的函数关系式及已知可得，再由求参数. 【解答过程】由题设，可得， 由，则，可得. 故选：D. 题型14 指数函数含参问题 【典例01】已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得 【变式01】若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据指数函数的最值求参数 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 【变式02】函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题、含参指数函数的最值 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 题●型●巩●固 1. 下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 2. 给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】利用指数函数的定义进行判断即可得解. 【详解】因为指数函数的形式为且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 3. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 【答案】D 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】由指数函数的定义可得且，，解方程验证可得． 【详解】解：因为函数是指数函数， 且，， 由解得或， ， 故选：D. 4. 若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得. 故选：C. 5. 若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数函数解析式 【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【详解】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 6. 已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 7. 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数型函数的图象形状、指数型函数图象过定点问题 【分析】由单调性和所过定点作出判断. 【详解】因为，所以单调递增，且恒过点， 故A为正确答案. 故选：A 8. 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据函数的解析式可得函数是以为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】解：由，得函数是以为底数的指数函数， 且函数为减函数，故D选项符合题意. 故选：D. 9. 已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】利用指数函数的性质确定函数图象所过的定点. 【详解】令，得，即函数的图象恒过定点. 故选：D 10. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、指数型函数图象过定点问题 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 11. 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域. 【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为， 最小值为，所以函数的值域为. 故选：D 12. 函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】根据指数函数的单调性求值域即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：. 13. 已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性求解. 【详解】因为为上的减函数，故，故， 又为上的增函数，故，故. 故选：A. 14. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 15. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求函数的单调区间、具体函数的定义域 【分析】先求函数定义域，再利用复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 16. 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】令，则，在定义域内求出函数的单调增、减区间，判断函数的单调性，再根据复合函数单调区间的求法求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令，则. 因为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为函数在定义域内单调递减， 所以由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A 17. 已知函数，则不等式的解集为 A B C D 【答案】B 18. 若满足不等式，则函数的值域是（ ） A B C D 【答案】B 19. 若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可. 【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数， 所以， 故， 由，为奇函数，满足题设. 所以. 20. 种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可计算出的值，代入表达式即可计算结果. 【解答过程】由题意知，则， 故5年后该种群数量是起始数量的倍． 故选：A. 21. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 【答案】C 【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解． 【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a， 由题意可得，，即， 所以，即， 故． 22. 已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 【分析】根据指数函数单调性结合已知函数值域列式计算求解. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，的最大值为，又因为，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，当时，，，当时，的最大值为， 只需的最大值大于等于2， 所以，解得 23. 若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、根据指数函数的最值求参数 【分析】分别讨论，和三种情况，根据的单调性及条件，分析求解，即可得答案. 【详解】当时，函数在和上都递增， 且当时，， 则函数不存在最小值； 当时，，则在上递增， 又，且时，，而， 所以函数的最小值为； 当时，在上递减，要使函数存在最小值， 则需在上递增， 当时，， 所以，解得， 此时，， 综上所述，． 24. 函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题、含参指数函数的最值 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 25. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、含参指数函数的最值 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 26. 设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数、含参指数函数的最值 【分析】求出时的范围，根据不等式对恒成立得到a的一个范围；求出时的范围，再次求出a的范围，取交集即可求出a的值． 【详解】当，， 若不等式，恒成立，则①； 当，，对称轴为， 当时，单调递减，单调递增， ∴， 则，解得②； 综合①②得． 27. 计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)1 (2)0 (3) 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）（3）运用指数幂的性质公式求解计算即可． 【详解】（1）原式. （2）原式 （3）（3）原式 28. 将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）（b > 0） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根式与分指数幂的关系：，运用指数运算、将各根式化为指数幂形式 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了根式与分指数幂形式的关系；结合指数运算将根式转化为分指数幂形式 29. 设都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【详解】 令，则，，． 很显然有，∴． 30. （1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1） ；（2）① ；② ． 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】（1）先得到两根之和，两根之积，再求解的平方，进而求出的值；（2）利用平方法进行求解. 【详解】（1）因为是方程的两个根，所以， 所以． 因为，所以． 所以． （2）①将两边平方，得． 即． ②将两边平方，得， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲指数与指数函数 基●础●知●识 一、次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 2、个数： （1）当是奇数时，的值仅有一个，记为； （2）当是偶数， ①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 2、性质：，且 三、分数指数冥的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数帛等于0，0的负分数指数冥没有意义 2、分数指数冥的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法. 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. （2）把根式化成分数指数冥的形式时，不要轻易对进行约分. （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义. 四、无理数指数蒙 一般地，无理数指数幂为无理数）是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果. （2）定义了无理数指数幂之后，冥的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 五、实数指数儒的运算性质 （1）. （2）. （3）. 六、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数且叫做指数函数， 其中指数是自变量，定义域是是指数函数的底数. 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在. （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况，所以规定且. 七、指数函数的圆象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 八、比较指数暴的大小方法 比较幕的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幕的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用幂函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较. 九、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为底数的指数冥的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数的图象求解. 题●型●破●译 题型01 分数指数幂与根式的互化 【典例01】(1)； (2) 【变式01】（1）； （2）． 【变式02】（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 题型02 根式的化简求值 【典例01】(1)； (2)已知，，求：. 【变式01】(1)； (2)若，，求． 【变式02】（1）计算：； （2）已知，求的值； 题型03 指数函数的判断 【典例01】（多选）下列函数是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式01】下列是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式02】下列函数中，是指数函数的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．0 题型04 根据指数函数求参数 【典例01】函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【变式01】若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式02】若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 题型05 求指数函数解析式 【典例01】函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【变式01】若指数函数的图象经过点，则满足的的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式02】若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型06 指数函数图像问题 【典例01】指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【变式01】若，则函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式02】函数且的图象可能是（    ）             A．①③ B．②④ C．④ D．① 题型07 指数型函数过定点问题 【典例01】函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【变式01】函数的图象恒过点（      ） A． B． C． D． 【变式02】函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型08 求指数函数值域 【典例01】已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式01】函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式02】函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型09 比较指数幂大小 【典例01】．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【变式01】设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式02】若，，，，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型10 指数型函数单调性问题 【典例01】函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【变式01】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式02】函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 题型11 解指数不等式 【典例01】解不等式． 【变式01】若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数（为常数，且），且. (1)求的値； (2)解不等式. 题型12 指数函数奇偶性 【典例01】若是奇函数，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【变式01】已知是奇函数，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式02】已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D．4 题型13 指数函数应用 【典例01】已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（a，b为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为（   ）小时 A．12 B．24 C．36 D．48 【变式01】放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量、发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．已知某种放射性物质经过50年后剩余质量是原来的，设质量为1的该物质经过年后的剩余量为，则与的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数裺型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型14 指数函数含参问题 【典例01】已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式01】若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式02】函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 题●型●巩●固 1. 下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2. 给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3. 若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．1 C．1或 D． 4. 若函数是指数函数，则（　　） A．或 B． C． D．且 5. 若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 6. 已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 7. 函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8. 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9. 已知函数，不论取什么值，函数的图象恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 10. 已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 11. 的值域是（ ） A． B． C． D． 12. 函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 13. 已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 15. 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 16. 函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 17. 已知函数，则不等式的解集为 A B C D 18. 若满足不等式，则函数的值域是（ ） A B C D 19. 若为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D． 20. 种群数量“J”型增长是指在食物充足、空间无限且无天敌的理想条件下生物呈指数增长模型，其数学模型公式为．其中是该种群的起始数量，为时间（单位：年），是该种群数量是前一年种群数量的倍数，表示年后该种群数量．若某种群满足“J”型增长模型，为定值，1年后该种群数量是起始数量的倍，则5年后该种群数量是起始数量的多少倍（    ） A． B． C． D． 21. 核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（    ）．（参考数据：，） A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 22. 已知且，若函数的值域为，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23. 若函数，存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24. 函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 25. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26. 设函数，若不等式对恒成立，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．2 27. 计算： (1)； (2)； (3). 28. 将下列根式化成分数指数幂的形式： （1）； （2）； （3）（b > 0） 29. 设都是正数，且，求证：． 30. （1）已知是方程的两个根，且，求的值． （2）已知，求下列各式的值： ①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $