第12讲 对数运算与对数函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数运算与对数函数核心知识，系统梳理对数概念与性质、四则运算及换底公式，深入讲解对数函数定义（三大判定条件）、图像性质（定点、单调性）、反函数关系（对称、定义域值域互换）及函数增长差异（指数、线性、对数对比），构建从基础到综合应用的学习支架。 资料特色在于8大易错辨析精准规避真数范围、运算法则滥用等认知误区，13类典例覆盖指数对数互化、复合函数单调性等题型，结合反函数性质与增长差异培养数学思维。课中助力教师系统授课，课后通过分层作业与变式训练帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

第12讲 对数运算与对数函数 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【题型一】指数式与对数式的互化 【题型八】对数型复合函数的单调性 【题型二】对数的运算 【题型九】反函数 【题型三】运用换底公式化简计算 【题型十】比较对数式的大小 【题型四】对数函数的概念判断与求值 【题型十一】由对数(型)的单调性求参数 【题型五】求对数型复合函数的定义域、值域 【题型十二】由对数函数的单调性解不等式 【题型六】根据对数函数的值域求参数值或范围 【题型十三】不同函数增长的差异 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【知识点01】对数的概念与基本性质 （1）对数定义（指数式与对数式互化） 若，则数叫做以为底的对数，记作： 其中：为底数（），为真数（）。 核心前提：真数恒大于0，负数和0没有对数。 （2）两类特殊对数 常用对数：以10为底，； 自然对数：以为底（），。 （3）对数恒等式与基础性质 ① 对数恒等式： ② 零对数： ③ 底数对数： 【知识点02】对数四则运算法则 设，，则： ① 积对数： ② 商对数： ③ 幂对数： 换底公式（解题万能公式） 换底推论 ① ；② 【知识点03】对数函数的定义 标准定义：形如的函数叫做对数函数。 三大判定条件（缺一不可） ① 底数：常数，满足； ② 真数：仅含自变量； ③ 系数：解析式前置系数为1，无常数项、无多余结构。 定义域：；值域：。 【知识点04】对数函数图像与核心性质 （1）定点性质（秒杀考点） 对数函数恒过定点，即时，。 （2）单调性分类 ① 当时，在上单调递增； ② 当时，在上单调递减。 （3）函数取值规律 ：，； ：，。 （4）对称与反函数性质 ① 与图像关于轴对称； ② 对数函数与指数函数互为反函数，图像关于直线对称。 【知识点05】指数函数与对数函数的反函数关系 反函数定义 指数函数与对数函数互为反函数。 反函数核心性质 1. 图像对称：二者图像关于直线对称； 2. 定义域值域互换： ：定义域，值域 ：定义域，值域 3. 单调性一致：底数相同的指数、对数函数单调性完全相同； 4. 点对称：若在上，则在上。 反函数求解步骤 ① 互换；② 利用指数对数互化整理解析式；③ 标注定义域。 【知识点06】三类核心函数的增长差异 高中阶段重点对比对数函数、一次函数、指数函数的增长速度，是图像压轴、大小比较、最值问题核心考点。 三类标准函数 1. 对数增长： 2. 线性增长： 3. 指数增长： 增长速度核心规律（终极结论） 当足够大时，增长速度严格满足：指数增长 ＞ 线性增长 ＞ 对数增长 数学表达： 详细特征解析 1. 对数增长：增长速度越来越慢，图像逐渐平缓，虽持续递增，但增速无限趋近于0，增长最慢； 2. 线性增长：增长速度恒定，匀速递增； 3. 指数增长：增长速度越来越快，爆炸式增长，后期增速远超另外两类函数。 特殊说明 若底数，指数、对数函数均为递减函数，无增长对比意义，考试增长差异题型默认。 易错点1：真数范围认知误区 误区：忽略对数真数，随意代入负数、0计算。 正解：所有对数运算、对数函数问题，优先保证真数大于0，这是解题首要前提。 易错点2：运算法则滥用 误区：、。 正解：对数仅能拆解积、商、幂，和、差形式无法拆分，无对应运算法则。 易错点3：对数函数定义误判 误区：将判定为对数函数。 正解：仅为标准对数函数，系数不为1、真数非单变量、含常数项均不满足定义。 易错点4：单调性与取值符号混淆 误区：不分底数范围，默认时对数值恒正。 正解：与时，相同自变量对应的函数值符号完全相反，必须分类判断。 易错点5：换底公式乱用、推论记混 误区：，颠倒分子分母。 正解：外幂为分子，底幂为分母，固定公式。 易错点6：复合对数函数忽略定义域 误区：直接判断复合函数单调性，忽略内层函数大于0的限制条件。 正解：复合对数函数解题第一步：求解真数大于0的定义域，再用“同增异减”判断单调性。 易错点7：反函数核心性质记忆混乱 误区：认为指数、对数反函数关于轴、轴对称，定义域值域不互换。 正解：互为反函数必关于对称，定义域、值域严格互换。 易错点8：混淆增长速度与函数值大小 误区：将函数增长快慢等同于函数值大小。 正解：增长速度是变化快慢，函数值是具体数值大小，二者无必然联系。 【题型一】指数式与对数式的互化 【典例1-1】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【题型二】对数的运算 【典例2-1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式2-1】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【变式2-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）计算： 【变式2-3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）化简或计算： (1) (2) 【题型三】运用换底公式化简计算 【典例3-1】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______． 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【题型四】对数函数的概念判断与求值 【典例4-1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式4-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数，则________. 【变式4-3】指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【题型五】求对数型复合函数的定义域、值域 【典例5-1】（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若为偶数，则与的值域相同 B．若为奇数，则与的值域相同 C．若为偶数，则与的定义域相同 D．若为奇数，则与的定义域相同 【变式5-2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为______． 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 【题型六】根据对数函数的值域求参数值或范围 【典例6-1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【变式6-3】已知函数的定义域和值域都是，则________. 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【典例7-1】（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【变式7-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【变式7-3】已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点．求此点的坐标． 【题型八】对数型复合函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________. 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【变式8-3】（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断的单调性，并用定义证明． 【题型九】反函数 【典例9-1】（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称. （1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________. （2）若函数与函数互为反函数，则_______________. 【变式9-3】已知函数，存在反函数，.函数与是否一定互为反函数？说明理由. 【题型十】比较对数式的大小 【典例10-1】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）下列不等式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 【变式10-3】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 【题型十一】由对数(型)的单调性求参数 【典例11-1】（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【变式11-3】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）已知函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【题型十二】由对数函数的单调性解不等式 【典例12-1】（2025高一上·吉林长春·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【变式12-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【变式12-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【题型十三】不同函数增长的差异 【典例13-1】有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】三个变量随变量变化的数据如下表： 其中关于呈指数增长的变量是_________. 【变式13-3】试比较函数，，的增长情况． 1. 核心知识体系 本讲包含三大核心板块：一是对数定义、互化、四则运算与换底公式，是对数计算的基础；二是对数函数的定义域、定点、单调性、函数值符号规律，是函数题型核心考点；三是指数与对数反函数关系，掌握对称特征、定义域值域互换、点坐标互换三大核心性质。 2. 通用解题思路 对数运算：优先用公式化简，复杂式子统一底数； 对数函数：先定定义域，再判单调性，最后比大小、求区间； 反函数问题：求解严格执行互换、互化、定定义域三步，性质题直接利用对称、坐标互换秒杀； 增长差异问题：牢记时，指数爆炸、线性匀速、对数缓增的层级规律。 3. 提分关键 规避公式滥用、忽略定义域、单调性混淆等易错点，重点掌握反函数与原函数的对应关系，突破本章难点，适配选择、填空、解答各类题型。 一、单选题 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 6．（24-25高一上·天津河西·阶段检测）函数，且的图象恒过定点，若 ，则的最小值为__________________. 四、解答题 7．（25-26高一上·云南德宏·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 8．已知函数. (1)若，求x的取值范围； (2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数. 9．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）已知函数． (1)若函数的图象过点，求的值； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数. (1)已知. ①求在时的最值； ②求不等式的解集. (2)若的值域为，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 对数运算与对数函数 （核心知识+8易错辨析+13典例精讲+课后作业） 【题型一】指数式与对数式的互化 【题型八】对数型复合函数的单调性 【题型二】对数的运算 【题型九】反函数 【题型三】运用换底公式化简计算 【题型十】比较对数式的大小 【题型四】对数函数的概念判断与求值 【题型十一】由对数(型)的单调性求参数 【题型五】求对数型复合函数的定义域、值域 【题型十二】由对数函数的单调性解不等式 【题型六】根据对数函数的值域求参数值或范围 【题型十三】不同函数增长的差异 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【知识点01】对数的概念与基本性质 （1）对数定义（指数式与对数式互化） 若，则数叫做以为底的对数，记作： 其中：为底数（），为真数（）。 核心前提：真数恒大于0，负数和0没有对数。 （2）两类特殊对数 常用对数：以10为底，； 自然对数：以为底（），。 （3）对数恒等式与基础性质 ① 对数恒等式： ② 零对数： ③ 底数对数： 【知识点02】对数四则运算法则 设，，则： ① 积对数： ② 商对数： ③ 幂对数： 换底公式（解题万能公式） 换底推论 ① ；② 【知识点03】对数函数的定义 标准定义：形如的函数叫做对数函数。 三大判定条件（缺一不可） ① 底数：常数，满足； ② 真数：仅含自变量； ③ 系数：解析式前置系数为1，无常数项、无多余结构。 定义域：；值域：。 【知识点04】对数函数图像与核心性质 （1）定点性质（秒杀考点） 对数函数恒过定点，即时，。 （2）单调性分类 ① 当时，在上单调递增； ② 当时，在上单调递减。 （3）函数取值规律 ：，； ：，。 （4）对称与反函数性质 ① 与图像关于轴对称； ② 对数函数与指数函数互为反函数，图像关于直线对称。 【知识点05】指数函数与对数函数的反函数关系 反函数定义 指数函数与对数函数互为反函数。 反函数核心性质 1. 图像对称：二者图像关于直线对称； 2. 定义域值域互换： ：定义域，值域 ：定义域，值域 3. 单调性一致：底数相同的指数、对数函数单调性完全相同； 4. 点对称：若在上，则在上。 反函数求解步骤 ① 互换；② 利用指数对数互化整理解析式；③ 标注定义域。 【知识点06】三类核心函数的增长差异 高中阶段重点对比对数函数、一次函数、指数函数的增长速度，是图像压轴、大小比较、最值问题核心考点。 三类标准函数 1. 对数增长： 2. 线性增长： 3. 指数增长： 增长速度核心规律（终极结论） 当足够大时，增长速度严格满足：指数增长 ＞ 线性增长 ＞ 对数增长 数学表达： 详细特征解析 1. 对数增长：增长速度越来越慢，图像逐渐平缓，虽持续递增，但增速无限趋近于0，增长最慢； 2. 线性增长：增长速度恒定，匀速递增； 3. 指数增长：增长速度越来越快，爆炸式增长，后期增速远超另外两类函数。 特殊说明 若底数，指数、对数函数均为递减函数，无增长对比意义，考试增长差异题型默认。 易错点1：真数范围认知误区 误区：忽略对数真数，随意代入负数、0计算。 正解：所有对数运算、对数函数问题，优先保证真数大于0，这是解题首要前提。 易错点2：运算法则滥用 误区：、。 正解：对数仅能拆解积、商、幂，和、差形式无法拆分，无对应运算法则。 易错点3：对数函数定义误判 误区：将判定为对数函数。 正解：仅为标准对数函数，系数不为1、真数非单变量、含常数项均不满足定义。 易错点4：单调性与取值符号混淆 误区：不分底数范围，默认时对数值恒正。 正解：与时，相同自变量对应的函数值符号完全相反，必须分类判断。 易错点5：换底公式乱用、推论记混 误区：，颠倒分子分母。 正解：外幂为分子，底幂为分母，固定公式。 易错点6：复合对数函数忽略定义域 误区：直接判断复合函数单调性，忽略内层函数大于0的限制条件。 正解：复合对数函数解题第一步：求解真数大于0的定义域，再用“同增异减”判断单调性。 易错点7：反函数核心性质记忆混乱 误区：认为指数、对数反函数关于轴、轴对称，定义域值域不互换。 正解：互为反函数必关于对称，定义域、值域严格互换。 易错点8：混淆增长速度与函数值大小 误区：将函数增长快慢等同于函数值大小。 正解：增长速度是变化快慢，函数值是具体数值大小，二者无必然联系。 【题型一】指数式与对数式的互化 【典例1-1】（25-26高一上·江西九江·阶段检测）若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·全国·课前预习）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 【变式1-2】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式1-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 【题型二】对数的运算 【典例2-1】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）若，则（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】对数的真数大于0求出定义域，利用对数的运算法则将对数符号去掉，解二次方程求出方程的解﹒ 【详解】由题得，解得， ， 解得或（舍），故. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）______． 【答案】 【详解】原式化为 . 【变式2-2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）计算： 【答案】1 【分析】根据对数运算法则来计算 【详解】 . 【变式2-3】（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）化简或计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用指数幂的运算性质进行求解即可； （2）运用对数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1） ； （2） . 【题型三】运用换底公式化简计算 【典例3-1】（25-26高一上·贵州黔东南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·山东青岛·期末）已知，，，则______． 【答案】8 【分析】根据结合换底公式可得或，由两边取对数，再结合换底公式可得，进而得到或，进而求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 又，，则，即， 所以， 则或，即或， 解得或，则. 故答案为：8. 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）若，且，求． 【答案】 【分析】利用指数与对数的互化及运算法则并结合换底公式计算即可. 【详解】由题意得，即，，即， 代入得 ． 由换底公式得，即， 所以，则． 【变式3-3】（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)2；(2)；(3) 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）分子 ； 分母 ，故原式. 【题型四】对数函数的概念判断与求值 【典例4-1】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知函数，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 【变式4-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数，则________. 【答案】 【分析】由对数的运算求解函数值即可. 【详解】由函数， 所以，所以， 故答案为： 【变式4-3】指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】④ 【分析】由对数函数定义可得. 【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数. ①是指数函数，不是对数函数； ②的系数为，所以不是对数函数； ③真数为，所以不是对数函数； ④满足定义，是对数函数； ⑤真数是，所以不是对数函数. 故④是对数函数. 【题型五】求对数型复合函数的定义域、值域 【典例5-1】（25-26高一下·河南信阳·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 【变式5-1】（24-25高一上·河南焦作·期末）已知函数，其中，则下列说法中错误的是（   ） A．若为偶数，则与的值域相同 B．若为奇数，则与的值域相同 C．若为偶数，则与的定义域相同 D．若为奇数，则与的定义域相同 【答案】C 【分析】分为偶数和为奇数结合对数函数的性质分析判断即可. 【详解】（1）当为偶数时， 的定义域为，的定义域为， 所以与的定义域不相同， 为偶函数，当时，，所以与的值域相同． （2）当为奇数时，与的定义域均为，且， 所以与的定义域与值域均相同． 所以选项C错误. 故选：C． 【变式5-2】（24-25高一上·湖南岳阳·期末）已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 【变式5-3】（多选）（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的定义域为，则（    ） A． B． C．函数的定义域为 D．函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】利用函数的定义域可求出的值和的取值范围，即可判断A，B选项；由可得的定义域，判断C选项；由可得的定义域，判断D选项. 【详解】要使有意义，则有，因为的定义域为， 可得，，故A正确，B错误； 由，得，所以的定义域为，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确. 故选：ACD. 【题型六】根据对数函数的值域求参数值或范围 【典例6-1】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由题意可知，函数的值域包含，分、两种情况讨论，当时，直接验证即可；当时，根据二次函数的基本性质可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】令，由题意可知，函数的值域包含， 当时，函数的值域为，符合题意， 当时，要使得函数的值域包含，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，若的值域为，则实数的范围是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】对的取值进行分类讨论，即可得到答案. 【详解】若，则对有，对有. 所以，其值域不可能是，不满足条件； 若，则对，由可知； 且对，由可知. 所以对任意实数，方程总有解，所以的值域是，满足条件. 若，则对有，对有. 所以，其值域不可能是，不满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】令，设的值域为集合，利用对数函数的图象与性质，得到，从而有，即可求解. 【详解】令，设的值域为集合， 因为函数的值域为，所以， 则，解得或， 故答案为：. 【变式6-3】已知函数的定义域和值域都是，则________. 【答案】或 【分析】分类讨论的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 【详解】当时，易知函数单调递减，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 当时，易知函数单调递增，由定义域和值域都是， 所以解得所以. 故答案为：或. 【题型七】对数型函数图象过定点问题 【典例7-1】（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 【变式7-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数（，且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象经过定点求解. 【详解】因为对数函数（，且）的图象经过定点， 所以函数（，且）的图象经过定点. 故选：A 【变式7-2】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得真数时有定点，求出定点的坐标后代入到即可求. 【详解】若过定点，则有，即， 又，故，点在函数的图象上， 则有，解得. 故选：C. 【变式7-3】已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点．求此点的坐标． 【答案】 【分析】根据对数函数的图象过定点求解. 【详解】因为（且），所以当时，恒成立， 所以函数图象恒过定点： 【题型八】对数型复合函数的单调性 【典例8-1】（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 【变式8-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后根据二次函数的单调性及复合函数单调性判断原则进行判断即可． 【详解】解：令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为． 【变式8-2】（多选）（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性判断A、B，求出，即可判断C、D. 【详解】对于A、B：因为函数，则，解得， 所以的定义域为， 又， 令，，则， ∵在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， ∴在上单调递增，在上单调递减，故A、B正确； 对于C：因为， 故不恒成立， 所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D：∵函数, ∴，即， 即的图像关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 【变式8-3】（25-26高一上·福建福州·期末）已知函数． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)判断的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2) 函数为奇函数，理由如下： 由（1）知，的定义域为， 因为，都有， 且， 所以为奇函数. (3) 解法一：在上单调递增． 证明如下：因为，由（1）得，定义域为． 、，且， 所以． 因为， 又，所以， 即， 因为、，所以，， 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增． 解法二：在上单调递增． 证明如下：因为，由（1）得，定义域为． 、，且， 所以 ． 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以， 即， 所以， 所以，即，所以在上单调递增. 【分析】（1）根据对数的真数大于零，可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域； （2）判断出函数为奇函数，再利用函数奇偶性的定义可证得结论成立； （3）解法一：判断出函数为增函数，然后利用对数函数单调性以及函数单调性的定义证明即可；解法二：判断出函数为增函数，然后利用对数函数单调性、不等式的性质以及函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）要使有意义， 只需，解得， 所以的定义域为． （2）略 （3）略 【题型九】反函数 【典例9-1】（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据对数的反函数为指数函数可求，然后代入求值即可. 【详解】是的反函数，，． 故选：D 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期末）互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称. （1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________. （2）若函数与函数互为反函数，则_______________. 【答案】 2 6 【分析】根据互为反函数的性质，定义域和值域互换，逐个分析计算即可 【详解】（1）函数和函数互为反函数， 在的图象上，根据反函数性质，知道在图象上，代入计算. （2）与互为反函数，知道定义域和值域互换. 的定义域为，值域为， 的定义域为，值域为， 则，代入解析式得到， 求出反函数得到，化简得到， 即的反函数为.对照，得到. 故答案为：2；6. 【变式9-3】已知函数，存在反函数，.函数与是否一定互为反函数？说明理由. 【答案】函数与不一定互为反函数. 【分析】根据反函数的定义举反例即可. 【详解】函数与不一定互为反函数，反例如下： 设，则， 令，， 则，所以与不互为反函数， 即函数与不互为反函数， 综上：函数与不一定互为反函数. 【题型十】比较对数式的大小 【典例10-1】（25-26高一下·江苏镇江·期末）已知，，，则下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 比较与： 因为，故，由对数函数单调递增，得，即，又，故，由对数函数单调递增，得，即，因此. 综上，. 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）下列不等式中，正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的单调性，可判定A错误；根据指数函数的单调性，可判定B正确，根据对数函数的单调性，可判定C正确，根据指数幂与对数的运算性质，可判定D正确. 【详解】对于A，由幂函数的性质，可得在上为单调递减函数， 因为，所以，所以A错误； 对于B，由指数在上为单调递减函数， 因为，所以，所以B正确； 对于C，由对数函数在上为单调递减函数， 因为，所以，所以C正确； 对于D，因为，可得，即， 又因为，可得，即，所以，即，所以D正确； 故答案为：BCD. 【变式10-2】（24-25高一上·全国·课前预习）比较下列各组值的大小． (1)，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数函数的性质分别与0比较大小即可得解； （2）根据指数函数、对数函数的性质分别通过“1”、“0”为桥梁比较大小； （3）相比较倒数的大小，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）因为，，， 所以． （3）因为， 所以． 【变式10-3】比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时， ；当时，. 【分析】根据对数函数的额单调性，比较每组中的函数值，即可求解. 【详解】（1）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （2）解：由对数函数在定义域上为单调递减函数，所以. （3）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （4）解：当时，函数是增函数，且，可得； 当时，函数是减函数，且，可得. 【题型十一】由对数(型)的单调性求参数 【典例11-1】（25-26高一下·广西崇左·期末）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及对数函数单调性条件可转化为函数在区间上有意义，且在上单调递减，讨论结合二次函数性质可得结论. 【详解】因为函数在区间上单调递减，为增函数， 所以函数在区间上有意义，且在上单调递减， 当时，或，解得， 当时，，此时函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，满足条件， 所以的取值范围为. 【变式11-1】（25-26高一上·浙江杭州·期末）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 【变式11-2】（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】令，分析可知在内单调递增，且在内恒成立，结合二次函数性质运算求解. 【详解】令，原题意等价于函数在单调递增， 可知在内单调递增，且在内恒成立， 则，解得， 所以的取值范围为. 【变式11-3】（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）已知函数在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】分，，结合对数函数单调性以及复合函数单调性计算求解参数. 【详解】若，则在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递增，即使在上有定义， 由复合函数单调性可知此时在上单调递增， 从而在上不单调递减，故不符合题意； 若，则在上单调递减， 若在上有定义，由复合函数单调性可知此时在上单调递减， 从而在上单调递减， 所以若要满足题意，当且仅当且在上有定义， 若，恒成立，即，恒成立， 当时，的取值范围是， 所以当且仅当且时，满足题意. 所以. 【题型十二】由对数函数的单调性解不等式 【典例12-1】（2025高一上·吉林长春·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数单调性和定义域得到不等式，求出答案. 【详解】，故，解得， 故不等式解集为. 故选：B 【变式12-1】（25-26高一下·河南·阶段检测）已知函数，则的解集为______． 【答案】 【分析】求出的定义域，利用对数不等式可得：即可求解。 【详解】由函数，可得， 解得：，所以函数的定义域为， 而， 则，，得，故解集为． 【变式12-2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点的坐标代入，利用指对互化求解； （2）利用对数函数的单调性解不等式. 【详解】（1）由题意可得，，即，得，故； （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，得，故不等式的解集为. 【变式12-3】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义令，解出即可求解； （2）由（1）得，利用对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得：令，即，解得或（舍去）， 所以； （2）由（1）有：， 又因为在单调递增， 所以，解得， 所以原不等式的解集为：. 【题型十三】不同函数增长的差异 【典例13-1】有一组实验数据如下表所示： t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D最能反映之间的函数关系. 故选：D. 【变式13-1】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）四个函数在第一象限中的图象如图所示，则a，b，c，d所表示的函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，可知a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数，b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1的指数函数． 【变式13-2】三个变量随变量变化的数据如下表： 其中关于呈指数增长的变量是_________. 【答案】 【解析】呈指数增长的变化快． 【详解】指数增长为快速增长，因此，中呈指数增长的变量是. 故答案为：． 【点睛】本题考查指数函数的性质，一般增长问题如果是呈指数增长，那么变化速度会很快． 【变式13-3】试比较函数，，的增长情况． 【答案】答案见解析. 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征，确定三个函数的增长快慢得解. 【详解】由指对数函数图象知，函数相对于函数的增长是先快后慢； 根据幂函数、对数函数的图象特征知，函数与在上都单调递增，但它们的增长速度不同， 函数相对于函数的增长是先快后慢，随x越大增长越慢， 当时，函数与函数都递增，它们有一个交点， 因此函数相对于函数的增长是先慢后快，随x越大增长越快， 于是函数相对于函数的增长是先慢后快； 根据幂函数、指数函数的图象特征知，函数，在上都单调递增，但它们的增长速度不同， 令，取对数得，即， 而函数对于函数的增长是先快后慢，即函数是先递增后递减， 又当时，，当时，，且，当趋近于正无穷大时，趋近于0， 因此有两个不等的正实根，即函数，的图象在上有两个交点， 于是函数相对于函数的增长是先快后慢. 1. 核心知识体系 本讲包含三大核心板块：一是对数定义、互化、四则运算与换底公式，是对数计算的基础；二是对数函数的定义域、定点、单调性、函数值符号规律，是函数题型核心考点；三是指数与对数反函数关系，掌握对称特征、定义域值域互换、点坐标互换三大核心性质。 2. 通用解题思路 对数运算：优先用公式化简，复杂式子统一底数； 对数函数：先定定义域，再判单调性，最后比大小、求区间； 反函数问题：求解严格执行互换、互化、定定义域三步，性质题直接利用对称、坐标互换秒杀； 增长差异问题：牢记时，指数爆炸、线性匀速、对数缓增的层级规律。 3. 提分关键 规避公式滥用、忽略定义域、单调性混淆等易错点，重点掌握反函数与原函数的对应关系，突破本章难点，适配选择、填空、解答各类题型。 一、单选题 1．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 2．（2026高一·全国·专题练习）若与互为相反数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质即可求得结果. 【详解】与互为相反数， ，则. 3．（25-26高一下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再结合基本不等式与作商法得到，进而结合对数的运算性质得到，最后证明目标结论即可. 【详解】因为，， 所以，由基本不等式得， 当且仅当时取等，但本题无法取等，则， 结合对数的运算性质得， 结合对数的性质得， 即，得到，而， 又，综上所述，. 二、多选题 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用给定函数的单调性，结合一次函数、对数函数单调性列出不等式求解. 【详解】函数在上单调递增， 由，得函数在上单调递减， 则函数为减函数，且，恒成立， 因此，解得，则AB不可能，CD可能. 故选：CD 三、填空题 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据函数的平移及对数函数的单调性及函数值列式得到答案. 【详解】函数（且）的图象不经过第三象限， 当，由对数函数图象性质知不合题意； 当时，， 所以，所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·天津河西·阶段检测）函数，且的图象恒过定点，若 ，则的最小值为__________________. 【答案】 【分析】结合对数函数性质求出定点的坐标，由点的坐标与集合的关系可得，结合关系利用基本不等式求结论. 【详解】因为时，， 所以函数的图象过定点， 故点的坐标为， 因为， 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 7．（25-26高一上·云南德宏·期末）（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算性质及指数、对数恒等式计算可得； （2）依题意结合换底公式可得，再由指数、对数恒等式计算可得； 【详解】（1） ； （2）因为，所以， 所以. 8．已知函数. (1)若，求x的取值范围； (2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）由对数的运算以及单调性解不等式； （2）由周期性以及偶函数的性质得出当时，，再由对数和指数函数的关系得出反函数. 【详解】（1），由得， 由， 得，因为，所以，解得， 由，得， 的取值范围为； （2）当时，， 因此， ，， 则的反函数为，. 9．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）已知函数． (1)若函数的图象过点，求的值； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 函数在上有意义，则，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或4，由②得，又，故无解，舍去； 由④得或，由③得，又，故无解，舍去； 综上可知，不存在使结论成立． 【分析】（1）将点代入解析式，结合对数函数性质解方程即可得的值； （2）令，条件可转化为即在上有解，进一步转化为，根据基本不等式求的最小值可得结论； （3）结合对数函数性质可得，结合条件列不等式，解不等式确定满足条件的即可得结论． 【详解】（1）若函数的图象过点， 则，解得； （2）令，，所以， 不等式在上有解， 即在上有解， 则在上有解， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）略 10．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数. (1)已知. ①求在时的最值； ②求不等式的解集. (2)若的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)①最小值为，最大值为；②. (2) 【分析】（1）①当时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，即可得出函数在区间上的最小值和最大值； ②利用对数函数的单调性结合可得出关于的不等式组，解之即可； （2）分析可知函数的值域包含，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在时，结合二次函数的基本性质可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， ①当时，内层函数在上单调递增， 外层函数为增函数，由复合函数法可知，函数在上为增函数， 当时，，； ②由可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）因为函数的值域为，则函数的值域包含， 当时，函数的值域为，符合题意； 当时，要使得函数的值域包含， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $