3.1《相似多边形》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“图形的相似”，核心内容为等比性质及相似多边形周长比定理。课堂从“数学文化长廊”相似展板情境导入，通过测量不同相似图形（矩形、三角形、五边形）的边长与周长，引导学生从特殊到一般探究规律，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，融合数学眼光、思维与语言。通过动手测量、小组合作推导等比性质，结合矩形广场小路设计等实例，培养学生抽象能力与推理意识。教学流程完整，从情境到检测层层递进，助力学生理解知识本质，也为教师提供清晰教学路径。

第三章 图形的相似 第1课 相似多边形 新版北师大数学九年级上册数学 第2课时 比例的基本性质 学习目标 1.通过动手测量、计算不同相似图形的边长与周长,经历从特殊到一般的探究过程,自主发现并归纳等比性质,理解等比性质的本质内涵和成立条件. 2.通过小组合作推导相似多边形周长比定理,掌握等比性质在相似图形中的应用方法,能熟练解决相似多边形周长计算和实际设计问题. 3.通过比例变形的探究活动,体会转化、类比、从特殊到一般的数学思想,发展逻辑推理能力和数学建模能力,培养严谨的数学思维品质. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 学校正在打造“数学文化长廊”,需要制作一系列相似的多边形展板.美术老师已经设计好了大小两个相似矩形展板（展示课本图 3-4）,大矩形ABCD的每条边都是小矩形EFGH对应边的2倍.现在有三个问题需要大家帮忙解决： 1.如果小矩形的四条边长度之和是12米,大矩形的四条边长度之和一定是24米吗？ 2.这个规律对所有相似矩形都成立吗？ 3.这个规律对相似三角形、相似五边形也成立吗？ 问题构建 活动任务：每个小组拿出课前准备的三组相似图形： 第一组：相似比为2:1的两个矩形 第二组：相似比为3:2的两个三角形 第三组：相似比为4:3的两个正五边形 问题构建 问题1:请小组合作,测量每组图形各边的长度,计算它们的各边长度之和，并填写下表： 图形类型 相似比 较小图形各边和 较大图形各边和 各边和之比 矩形 2:1 三角形 3:2 正五边形 4:3 10.4cm 20.8cm 2:1 10.4cm 15.7cm 3:2 13.0cm 17.4cm 4:3 追问1:观察表格中的数据,你发现了什么共同的规律？请用自己的语言大胆猜想. 猜想：相似多边形的各边长度之和的比等于它们的相似比 问题构建 问题2:这个猜想是我们通过测量三个特殊图形得到的,它一定对所有相似多边形都成立吗？我们能不能用数学方法来证明这个猜想？ 暂时不能直接证明所有情况,需要先研究比例的基本性质 问题3:我们先从最简单的情况开始研究.如果两个相似矩形的相似比为k，即= = = =k.请你用含k和小矩形边长的式子表示大矩形的各边,再表示出两个矩形的各边长度之和,计算它们的比. 设EF=a,FG=b,则AB=ka,BC=kb,CD=ka,AD=kb.小矩形各边和=2(a+b) 大矩形各边和=2(ka+kb)=2k(a+b) 各边和之比=所以相似矩形的各边长度之和的比等于相似比k 问题构建 问题4:刚才我们研究了4个相等比的情况.如果是3个相等的比呢？比如两个相似三角形,=k.请你用同样的方法推导它们的各边长度之和的比 设DE=a,EF=b,FD=c,则AB=ka,BC=kb,CA=kc.小三角形各边和=a+b+c 大三角形各边和=ka+kb+kc=k(a+b+c) 各边和之比==k 所以相似三角形的各边长度之和的比也等于相似比k 通过上面两个推导,对于成比例线段之间关系的变形结论,你有怎样的思考？用文字记录你的猜想. 问题构建 追问1:我们发现:当几个比相等时,它们的分子之和与分母之和的比,等于原来每个比的值.你能把这个发现用符号表示吗？ 如果那么 追问2:这个命题是真命题吗？请你尝试用代数推理进行严格证明. 证明：∵=k,所以a=kb同理c=kd，e=kf ∴ k ∴这个命题是真命题. 问题构建 追问3:在上面的证明过程中,我们用到了哪一步关键的变形？这一步变形成立的前提条件是什么？ 关键变形是 k.成立的前提条件是 b+d+f≠0，因为分母不能为0. 追问4:请你把这个结论推广到任意n个相等比的情况,总结出完整的数学性质. 等比性质:如果那么 协作破冰 问题5:现在我们能用等比性质来证明一开始的猜想——相似多边形的各边长度之和的比等于相似比吗？请你写出完整的证明过程. 证明：设两个相似n边形的相似比为k. 对应边分别为a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ 则a₁/b₁=a₂/b₂=…=aₙ/bₙ=k 根据等比性质,(a₁+a₂+…+aₙ)/(b₁+b₂+…+bₙ)=a₁/b₁=k 所以相似多边形的各边长度之和的比等于相似比. 追问:刚才的探究过程中,应用了怎样的数学思想？各组线段之和还能让你联想到哪些知识？ 从特殊到一般，各边之和也就是多边形的周长 协作破冰 例1：判断下列说法是否正确，并说明理由： 如果，那么 如果，那么 (3)如果 ，那么 (4)如果 ，那么 (1)错误,缺少条件b+d+f≠0 (2)正确,分母和为12≠0,符合等比性质 (3)正确,分母和为-6≠0,符合等比性质 (4)错误,虽然结果相等，但中间过程-1-1+2=0,因为等比性质要求所有比都相等且分母和不为0 教师示范 问题6：如图3-3,一个矩形广场的长为60m,宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m,如果设两条横向小路的宽都为xm,那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 解:内边缘矩形的长=60-2×1.5=57m 内边缘矩形的宽=(40-2x)m 因为两个矩形相似,对应边成比例, 所以 交叉相乘得：60(40-2x)=57×40 2400-120x=2280 120x=120 x=1 所以当x为1m时,两个矩形相似. 教师示范 问题7:变式思考：如果我们把“两条纵向小路”改为“一条纵向小路”,宽为1.5m，“两条纵向小路”改为“一条纵向小路” ，宽为xm,其他条件不变,那么x的值还是1m吗？为什么？ 是. 此时内边缘矩形的长=60-1.5=58.5m,宽=(40-x)m 由相似得 60(40-x)=58.5×40 2400-60x=2340 60x=60 x=1 虽然结果相同,但意义不同,因为对应边的比例关系发生了变化 巩固拓展 拓展应用：学校要制作两个相似的六边形文化展板,较大展板的各边长度之和是36dm,相似比是3:2.求较小展板的各边长度之和. 解：根据等比性质 较大展板各边和/较小展板各边和= = 较小展板各边和=36×=24dm 当堂检测 1.若则下列各式中正确的是（ ） B. C. D. A 当堂检测 2.两个相似多边形的周长比为5:3,其中较大多边形的周长比小多边形多12cm,则较大多边形的周长为______cm 解：设较大多边形周长为5x，则较小多边形周长为3x 5x-3x=12 x=6 5x=5×6=30 30 当堂检测 3.已知且求x、y、z的值 解:设=k,则x=2k，y=3k，z=4k 代入得：4k+9k-4k=18 9k=18 k=2 所以x=4，y=6，z=8. 当堂检测 4.如果，那么k的值是多少？ 解：①若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b ==k=-1 若a+b+c≠0， k= 本题应用了哪种数学思想？ 分类讨论 反思总结 1.今天我们是通过哪些步骤一步步探究得出等比性质的？在这个过程中,你认为最关键的一步是什么？ 2.等比性质中分母之和不为0,这个条件为什么如此重要？如果忽略这个条件,可能会出现哪些错误？ 3.相似多边形的周长比等于相似比,这个结论是如何通过等比性质严格推导出来的？它可以推广到相似三角形、相似四边形等所有相似多边形吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第63页 第1题 二、素养类作业 课本第64页 第5、8题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $