3.2 第3课时 利用三边判定三角形相似（讲解课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“利用三边判定三角形相似”，通过回顾已学的定义法、两角分别相等及两边成比例且夹角相等的判定方法，提出“三边成比例是否相似”的问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于设计“操作·交流”活动让学生动手画图测量，培养几何直观与空间观念，通过例1判断相似、例2求角度等多样例题及“当堂反馈”，发展推理意识与应用意识。学生能深化对定理的理解，教师可借助完整结构提升教学效率。

3.2 探索三角形相似的条件 第3课时 利用三边判定三角形相似 第三章 图形的相似 北师版 九年级（上） 1. 理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法，（重点） 2. 会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题.（难点） 素养目标 问题1：在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 1.定义法 2.两角分别相等的两个三角形相似 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题2： 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 新知探究 【操作·交流】 B A C B' A' C' (1) 任意画 △ABC . (2) 再画△A′B′C′，使 ， ， 都等于给定的值 k. (3) 量出∠A 和 ∠A' (∠B 与∠B' 或 ∠C 与∠C′ ) 的大小. ∠A＝∠A' 吗？△ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ABC∽△A′B′C′. B A C B' A' C' 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 【知识要点】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 例1 (1)判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA， 在 △DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ (2) 解： 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【归纳总结】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE， 找出图中相等的角 ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′ 2 = (2B′C′)2. ∴ BC = 2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？ △ABC∽△A′B′C′ 【尝试·交流】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 1. 如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD，下列结论正确的是 ( ) A. △PAB∽△PCA B. △PAB∽△PDA C. △ABC∽△DBA D. △ABC∽△DCA A C B P D C ∵ AB : BC = BD : AB = AD : AC，∴△ABC∽△DBA，故选 C. 解析：设 AP = PB = BC = CD = 1，∵∠APD=90°，∴AB = ，AC = ，AD = . 【练一练】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 2. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，求证：△ABC∽△EFD． ∴ △ABC∽△EFD. 证明：∵△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点， ∴ ∴ 探究点：三边成比例的两个三角形相似 新知探究 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 课堂小结 1. 如图，当x为何值时，△ABC∽△A1B1C1(　C　) A. 20 B. 27 C. 36 D. 45 C 当堂反馈 2. 已知△ABC 的三边长分别为 4cm、5cm、6cm， △A'B'C'的一边长为 8 cm. 若△ABC∽△A'B'C'，则 △A'B'C'的另外两边长分别可以是(　C　) A. 4cm，6cm B. 8cm，10cm C. 10cm，12cm D. 12cm，14cm C 当堂反馈 3. 已知△ABC的三边长分别为1， ， ， △DEF的三边长分别为 ， ，2，则△ABC与 △DEF (填“相似”或“不相似”). 相似　 当堂反馈 4. 如图甲，小正方形的边长均为1，则图乙中的三 角形(阴影部分)与△ABC相似的是图 (填序 号). ②　 当堂反馈 5. 如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC， AC的中点，则图中与△ABC相似的三角形共 有 个，它们是 ⁠ ⁠. 4　 △ADF，△BDE，△CEF， △DEF　 当堂反馈 6. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公 路，已知AB＝14km，AD＝28km，BD＝21km， BC＝42km，DC＝31.5km，公路AB与CD平行 吗？说出你的理由. 当堂反馈 解：公路AB与CD平行.理由如下： ∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . ∴△ABD∽△BDC. ∴∠ABD＝∠BDC. ∴AB∥DC. 解：公路AB与CD平行.理由如下： ∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . ∴△ABD∽△BDC. ∴∠ABD＝∠BDC. ∴AB∥DC. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $