专题03 一元二次方程的应用的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“通法+题型+挑战”构建一元二次方程应用体系，通过实际情境建模培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|三步骤：审题设元→列方程→验根取舍|从实际问题抽象等量关系，强调根的实际意义| |传播问题|1典例+3变式|指数增长模型：a(1+x)ⁿ=b|病毒传播与分支生长的共性建模| |握手/循环赛|1典例+3变式|组合公式：n(n-1)/2=总数|两两互动的无重复计数逻辑| |增长率/营销|1典例+3变式|连续变化模型：基础量(1±x)²=目标量|经济问题中变化率与利润的关系推导| |图形问题|1典例+3变式|几何公式转化：边长→面积方程|静态图形的边长与面积关系构建| |动态几何|1典例+3变式|运动变量建模：t表示边长→面积方程|动点运动中的变量关系与时间计算| |压轴挑战|16题|综合应用通法与题型技巧|多情境融合提升问题解决能力|

专题03 一元二次方程的应用的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数）并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x人，第n轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 变式1-1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 变式1-2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 变式1-3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 类型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 2.方法：设有n个对象，互动总数为，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 变式2-2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 变式2-3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x并取合理解。 变式3-1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 变式3-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意的根。 变式4-1．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 变式4-2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 变式4-3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t并检验范围。 变式5-1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 变式5-3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是 ． 7．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 8．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 10．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 12．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率． (2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 13．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 14．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值． 15．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．    (1)填空：__________，__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 16．综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋． 根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元． (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 题型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于实际情景（如面积、利润、增长率、传播问题），需将文字转化为等量关系。 - 解题方法：审题设未知数，找等量关系列方程，解方程后验证根的实际意义（如边长正数、人数整数）并取舍。 - 易错提醒：忽略单位统一；增长率问题搞错基期与现期；未检验根是否符合实际背景而直接作答。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程解决传播问题 典例1 ．（25-26九年级上·河南焦作·阶段检测）某学校机房有150台学生电脑和1台教师电脑，现在教师电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染． (1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？ 【答案】(1)每轮感染中平均1台电脑会感染4台电脑 (2)四轮感染后机房内所有电脑都被感染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有25台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染4台电脑． （2）解：经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 题型模版 1.特征：：总量呈“每轮每人都传播给若干人”的指数型增长，通常问经过几轮后的总人数。 2.方法：设每轮每人传播给x人，第n轮后总量为a(1+x)n，列方程求解，并检验根的合理性。 变式1-1．（24-25九年级上·山东临沂·期中）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ (2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 变式1-2．（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）某年，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致，非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快，某养猪场第一天发现1头生猪发病，两天后发现共有196头生猪发病． (1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ (2)若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过2500头吗？ 【答案】(1)每头发病生猪平均每天传染13头生猪 (2)若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头 【分析】本题考查了一元二次方程的应用， （1）设每头发病生猪平均每天传染头生猪，根据第一天及第三天生猪发病的头数，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据3天后生猪发病头数（每头发病生猪平均每天传染的头数），即可求出结论． 【详解】（1）解：设每头发病生猪平均每天传染头生猪， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染13头生猪． （2）解：3天后生猪发病头数为：（头）， ， 答：若疫情得不到有效控制，3天后生猪发病头数会超过2500头． 变式1-3．（24-25九年级上·天津河西·期中）某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 类型二、利用一元二次方程解决握手、循环赛问题 典例2 ．（25-26九年级上·广东东莞·期中）九年级某班在期中考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了张卡片，求班级学生人数． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设班级学生人数为人，则每人送出张卡片，共送出张卡片，根据“全班共送了张卡片”可列出方程，解方程即可求出答案，此时应注意考虑解的合理性．理解题意并正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设班级学生人数为人， 依题意，得：， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴班级学生人数为人． 题型模版 1.特征：涉及“两两之间只发生一次”的互动总数，如握手、单循环赛，不计重复。 2.方法：设有n个对象，互动总数为，列方程求解，取正整数根。 变式2-1．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 变式2-2．（25-26八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 变式2-3．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2)小江说的有道理，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 题型三、利用一元二次方程解决增长率与营销问题 典例3 ．（25-26八年级下·浙江金华·期末）依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 题型模版 1.特征：涉及连续两次变化（增长/降价），总量按比例变化，求变化率或次数。 2.方法：设平均变化率为x，根据“基础量 × (1 ± x)² = 目标量”列方程，解出x并取合理解。 变式3-1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）智能头盔是在传统防护头盔基础上，集成电子、传感、通讯模块的安全防护+智能穿戴设备，逐渐被电动车、摩托车等骑行爱好者喜欢．某品牌智能头盔专卖店统计了2026年第二季度（4月至6月）该品牌智能头盔的销量情况：4月份销售150个，6月份销售216个． (1)求该店该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； (2)该智能头盔的进价为300元/个，市场调研发现：当售价为400元/个时，月销售量为60个；若售价在此基础上每上涨2元/个，则月销售量将减少1个．为响应政府“安全骑行、惠民利民”的号召，该专卖店希望在月销售利润达到6032元的同时，尽可能让市民享受实惠．请问该品牌智能头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1) (2)404元 【分析】（1）设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，由题意得 解得： 即或 （不合题意，舍去） 答：该品牌智能头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率为． （2）解：设该品牌智能头盔的实际售价定为每个y元，由题意得： 解得，， 要尽可能让顾客得到实惠， 该品牌智能头盔的实际售价应定为每个404元． 变式3-2．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 【答案】(1)年平均增长率为 (2)内存条实际售价为元 【分析】（1）设至年平均增长率为，结合2025年全年营收达到608.4亿元，再建立方程求解即可； （2）设每条内存条降价元，可得单件利润：，月销量：，进一步列方程求解即可. 【详解】（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 变式3-3．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）综合与实践 背景 2026年，随着AI服务器、消费电子市场持续回暖，合肥长鑫存储的国产内存芯片订单爆发式增长，产能持续爬坡，相关出货数据不断刷新纪录，带动了本地模组厂商的销售热潮． 素材1 已知长鑫存储某款DDR5-16G内存芯片，周一的出货收入为500万元，随着下游客户备货需求激增，周三的出货收入达到720万元． 素材2 为承接国产芯片的消费热潮，合肥本地模组厂商推出“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组套装，已知该套装的物料及加工成本为200元/套；当定价为500元/套时，平均每天可售出40套．调研发现，售价每降低20元，平均每天就能多售出8套，现该厂商计划下调售价，使平均每天的销售利润达到12000元． 问题解决 (1)任务1，求从周一到周三，长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率； (2)任务2，根据素材2，为尽可能多的售空“国产芯·合肥造”DDR5-16G内存模组库存，求下调后每套模组的售价； (3)任务3，根据素材2，该厂商平均每天能否获利16000元？若能，请求出每套模组应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为 (2)为售空库存，下调后每套售价为元 (3)能获利元，每套应降价元 【分析】（1）设日平均增长率为，由平均增长率问题列一元二次方程求解即可； （2）设每套模组降价元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可； （3）不妨假设能获利元，由题中等量关系列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴长鑫存储该款DDR5-16G内存芯片出货收入的日平均增长率为； （2）解：设每套模组降价元， 则单套利润：（元）， 根据利润目标列方程：， 解得（舍去），（降价元，销量最大）， 下调后售价：（元）， 则为售空库存，下调后每套售价为元； （3）解：不妨假设能获利元， 则列方程：， 解得，即降价（元）， 答：能获利元，每套应降价元． 题型四、利用一元二次方程解决与图形有关的问题 典例4 ．（25-26九年级上·广东深圳·期末）中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 【答案】(1)，； (2)的长度为． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 题型模版 1.特征：图形面积、体积或边长关系含未知数，常涉及拼接、裁剪或路径宽度问题。 2.方法：用未知数表示相关边长或面积，根据几何公式（如面积和差）列一元二次方程，解后舍去不合题意的根。 变式4-1．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． (1)求通道的宽是多少米； (2)据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】(1)通道的宽是米 (2)当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； （2）设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 变式4-2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 变式4-3．（25-26九年级上·广东佛山·期中）项目化学习 项目主题 劳动基地换新计划 项目背景 学校计划对劳动基地进行整修，综合实践活动小组以设计“劳动基地换新计划”为主题开展一次项目学习． 信息获取与问题解决 信息1：如图①，原劳动基地形状为矩形，，， 问题1：活动小组提出修建两条等宽且互相垂直的小路，使得余下基地面积为，则小路宽度应为多少？ 信息2：学校准备扩建基地，如图②，在、上进行扩建，扩建后的新劳动基地仍为矩形若的最大长度为32m，的最大长度为． 问题2：当时，新劳动基地的面积可以为吗？若存在，请求出和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】问题1：小路宽度应为；问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 问题1：设小路宽度应为，依题意列出方程，解得（不符合题意，舍去），即可解答． 问题2：根据新劳动基地的面积为，列出关于y的一元二次方程，解之得出y的值，即可解决问题． 【详解】解：问题1：设小路宽度应为，依题意，得 ， 即， 解得（不符合题意，舍去）． 答：小路宽度应为． 问题2：当时，新劳动基地的面积不可以为，理由如下： 假设新劳动基地的面积可以为， 设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即当时，新劳动基地的面积不可以为． 题型五、利用一元二次方程解决动态几何问题 典例5 ．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 题型模版 1.特征：几何图形中的点、线按速度运动，导致面积或线段长度随时间变化，求特定时刻。 2.方法：设运动时间为t，用含t的式子表示变化后的边长或面积，根据等量关系列方程，解出t并检验范围。 变式5-1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）在中，，，，点P，Q都从点C出发，点P以的速度沿向A运动，点Q从点C出发，以的速度沿向B运动，两点同时出发，设运动时间为． (1)当时，求长． (2)当的面积为时，求t的值． (3)当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，，，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意，，由列方程求解即可； （3）根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ， ； （2）解：，，， ，， ， ； （3）解：由勾股定理，可得， 解得或， ， ． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 变式5-3．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动． (1)_______，_______（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为； (3)为多少时，点和点的距离为． 【答案】(1)； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 2．随着科技水平的提高，某种电子产品的价格呈下降趋势，今年的价格恰为两年前的一半．假设该电子产品每年降价的百分率均为，则以下所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续降价问题． 设两年前的价格为，每年降价率为，根据今年价格是两年前的一半，列出方程，即可解答． 【详解】解：设两年前的价格为()，每年降价的百分率为．依题意，得 即． 故选C． 3．期图1，有一张长、宽的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是，则纸盒的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 答：纸盒的底面积是时，纸盒的高为． 故选：B． 4．哪吒的乾坤圈工坊以每个30灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个50灵石售出，每日可售出80个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低2灵石，每日可多售出10个，若哪吒希望单日盈利达4000灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价灵石，则列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价灵石，则每个迷你风火轮的利润为元，销售量为个，再根据总利润为4000灵石列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 在中，，，，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， 故选：C． 6．某工厂生产的笔记本，每本成本10元，由于连续两次降低成本，现在的成本是8.1元，则平均每次降低成本的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 设平均每次降低成本的百分率为，则由题意得，，计算满足要求的的值即可． 【详解】解：设平均每次降低成本的百分率为， 则由题意得，， 解得，或（不合题意，舍去）， ∵， ∴平均每次降低成本的百分率为， 故答案为：． 7．一花店用500元购进了一批产品，按的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同、则每次打了 折 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键．设每次打了折，根据题意列出方程，解出的值即可解答． 【详解】解：设每次打了折， 由题意得，， 解得：，（舍去）， 每次打了9折． 故答案为：9． 8．如图，要利用一面墙（墙长为）建猪圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形猪圈，则猪圈的边长为 m． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设的长度为，则的长度为． 根据题意，得， 解得， 则或． ， 舍去， ． 所以，猪圈的边长为是． 故答案为：20． 9．化学课代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学．第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会 名同学． 【答案】6 【详解】解：设1人每次能手把手教会x名同学．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴1人每次能手把手教会6名同学． 故答案为：6． 10．如图，在平行四边形中，，分别从同时出发，向运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动，已知点的速度为，在运动的过程中，若存在使四边形是邻边之比为的平行四边形时刻，则点的速度为 ． 【答案】0.5或5 【分析】本题考查动点问题应用，注意分类思想应用，平行四边形的性质，掌握速度时间与路程的关系，以及分类思想应用是解题关键．平行四边形的长宽之比为，分两种情况，当时，，，，利用求出t，求出的长，利用求解即可． 【详解】解：平行四边形的长宽之比为， 当时，， ∴， ∵点的速度为， ∴秒， 设Q的速度为， ∴，解得， 当， ∴， ∴秒， ∴， ∴， ∴Q点运动的速度或5cm/秒． 11．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 12．有这么一种核桃，个头不大，外表不类，但平均售价达到22元一斤，这就是赫章核桃．某核桃种植基地到2020年年底已经种植核桃100亩，到2022年年底核桃的种植面积达到196亩． (1)求该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率． (2)经市场调查发现，当核桃的售价为22元/斤时，每天能售出200斤，销售单价每降低1元，每天可多售出50斤．为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地核桃的平均成本为14元/斤，若使销售核桃每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】(1)该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应降低3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底核桃的种植面积该基地2020年年底核桃的种植面积该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为元，每天能售出斤，利用总利润每斤的销售利润日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论． 【详解】（1）解：设该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该基地这两年核桃的种植面积的年平均增长率为； （2）销售单价应降低y元，则每斤的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，． 又∵要尽快减少库存， ∴． 答：销售单价应降低3元． 13．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)花圃的长与宽边分别为9米和5米 (3)建成花圃的面积不可能为60平方米 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用； （1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 14．一家工厂为了生产某种特殊材料，决定从供应商处购买甲、乙两种化工原料．已知每桶甲化工原料比每桶乙化工原料贵4元，工厂第一次花费800元采购甲化工原料和240元采购乙化工原料，发现甲化工原料的桶数是乙化工原料桶数的2倍． (1)求每桶甲化工原料与乙化工原料的售价分别为多少元． (2)已知供应商每桶甲化工原料的进价是元，每桶乙化工原料的进价是元，甲、乙售价不变．为了扩大生产，工厂决定再次购买这两种化工原料，且第二次购买甲化工原料的数量比第一次购买的数量少，购买的乙化工原料的数量是第一次的3倍．若供应商第二次共获利368元，求的值． 【答案】(1)每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元 (2)a的值为6 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，列出正确的分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元，根据花费800元采购甲化工原料的桶数是花费240元采购乙化工原料桶数的2倍．列出分式方程，求解并检验即可得到答案； （2）先求出第一次购买甲、乙化工原料的桶数，根据供应商第二次共获利368元，列出一元二次方程，解方程选取符合实际的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每桶甲化工原料的售价为x元，则每桶乙化工原料的售价为元， 根据题意： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则（元）， 答：每桶甲化工原料的售价为10元，每桶乙化工原料的售价为6元； （2）解：第一次购买甲化工原料（桶），第一次购买乙化工原料（桶）， 由题意得，， 整理得：， 解得：或（舍去，不符合题意）， 答：a的值为． 15．中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．    (1)填空：__________，__________（用含的代数式表示）； (2)是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求比此时的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或2 【分析】本题属于三角形综合题，考查了行程问题的运用，一元二次方程的解法，勾股定理的运用，三角形面积公式的运用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义． （1）根据路程速度时间就可以表示出，．再用就可以求出的值． （2）利用（1）的结论，根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． （3）在中由（1）结论根据勾股定理就可以求出其值． 【详解】（1）由题意，得 ，． 故答案为：，． （2）由题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． （3）在中，由勾股定理，得 ， 解得：，． 或2时，． 16．综合与实践：洗衣粉售价方案设计 某厂家生产的一种洗衣粉采用、两种包装，当前销售的相关信息如下表： 包装规格 含量（千克/袋） 2 1 成本（元/袋） 10 5 售价（元/袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋． 根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元． (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，A包装洗衣粉的售价为30或35元 (2)①；②见解析，达不到1450元 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用． （1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋， ∴， 解，得， ∴（元）或（元）， 包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴， 化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元）， ∴日总利润为 ， ∴， 此时， ∴达不到1450元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $