3.5《图形的位似》 课件 第1课时 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦图形的位似概念，通过皮影戏、小孔成像等生活现象导入，引导学生观察影子与原物的形状大小关系，发现对应点连线共点及距离比固定的特征，建立与相似图形的联系，搭建学习支架。 其亮点是以非遗文化和生活实例培养数学眼光，如皮影戏中光传播与位似原理的关联。通过问题链引导观察、猜想、验证，发展推理意识，教师示范及橡皮筋放大图形活动强化应用意识。学生能感受数学实用价值，教师可借情境与实践提升教学效果。

第三章 图形的相似 第5课 图形的位似 新版北师大数学九年级上册 第1课时 位似的相关概念 学习目标 1.通过观察生活中的位似现象和动手操作,理解位似多边形的概念，能识别位似图形并确定位似中心. 2.通过对比相似与位似的关系,掌握位似图形的性质,明确位似是特殊的相似. 3.通过利用橡皮筋放大图形的实践活动,体会位似变换在生活中的应用,感受数学的实用价值,培养用数学眼光观察世界的意识. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 皮影戏是中国非物质文化遗产,距今已有2000 多年历史.早在战国时期,《墨经》中就记载了 “小孔成像” 现象,这是世界上最早关于光沿直线传播和位似变换原理的科学论述,比西方早了近 2000 年.古代工匠们将这一数学原理转化为艺术创造,成就了皮影戏这一独特的民间艺术. 为什么皮影戏、照相机、投影仪都能精准地将图形等比例放大或缩小？这种比普通相似更 “好用” 的变换，到底特殊在哪里？我们如何用数学语言准确描述它？ 问题构建 问题1:同学们,老师这里有一个小小的皮影，当我用手电筒照射它时,墙上会出现一个大影子.请大家仔细观察:皮影和影子的形状有什么关系？大小有什么关系？ 形状完全相同,大小不同 它们是相似图形 追问1:现在我移动皮影,影子的大小会发生变化.请大家猜想:皮影上的任意一点A,它的影子A´和光源点O这三个点之间,有什么不变的位置关系？ 无论皮影怎么移动,点A、A´和光源点O始终在同一条直线上. 问题构建 追问2:如果我用尺子量出OA和 OA´的长度,计算的比值,当皮影在同一个位置时,这个比值会变化吗？当皮影移动时,这个比值会怎么变？ 皮影在同一个位置时,比值是固定不变的；皮影离光源越近,比值越大,影子越大;皮影离光源越远,比值越小,影子越小. 这种神奇的变换不仅存在于皮影戏中,在我们的生活中随处可见.今天我们就一起走进课本,从数学的角度深入研究这种特殊的相似变换——图形的位似 问题构建 问题2:请大家打开课本,观察图3-26的宣传海报.这组图片形状相同,是相似图形.在图片①和②上任取一组对应点A、A’,画直线 AA‘，你发现了什么？多取几组对应点试试. 所有对应点的连线都经过同一个点O,这个点就是镜头的中心点. 问题3:请大家用尺子量出OA和OA‘的长度,计算的比值.再计算图片②和③的对应点连线的比值,你有什么发现？ 问题构建 比值是一个固定值,而且任意两张相邻图片的对应点连线的比值都相等 追问:如果我们把镜头中心点O看作光源,把图片①看作皮影，那么后面的图片②、③、④、⑤是什么？ 后面的图片就是图片①在不同位置形成的 “影子”,它们和图片①都是相似图形且位置上有一定的特殊性. 问题构建 问题4:再看课本图3-27,这是两个相似五边形.直线AA' 和 BB' 相交于点O,请大家猜想:直线CC'、DD'、EE' 是否也都经过点O？ 猜想它们都经过点O 追问:请大家动手画一画、量一量,验证你的猜想是否正确.再计算、 、 、 这些比值,它们之间有什么关系？ = = = = 问题构建 问题5:对比图3-26的海报图片和图3-27的五边形，它们有什么共同的特征？请用自己的话总结出来. ①都是相似图形；②任意一组对应顶点的连线都经过同一点；③对应顶点到这个公共点的距离之比都等于相似比 问题6:数学家把具有这些特征的相似多边形命名为 “位似多边形”.请你结合刚才的总结，尝试给位似多边形下一个定义. 问题构建 如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P‘ 所在的直线都经过同一点O,且有OP’=k・OP（k≠0）,那么这样的两个多边形叫作位似多边形,点O叫作位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比.下面的三组图均是位似多边形. 图形位于位 似中心异侧 位似中心位于图形内部 图形位于位 似中心同侧 协作破冰 问题7:请大家思考:为什么定义中要强调 “任意一组对应顶点”？如果只有部分对应顶点的连线经过点O,能叫位似多边形吗？ 不能.必须是所有对应顶点的连线都经过同一点,才能保证整个图形是位似的.如果只有部分对应顶点连线共点,其他的不共点,那么图形就不是位似的 追问:位似多边形必须同时满足哪几个条件？缺一不可吗？ 必须同时满足三个条件：①两个多边形相似；②所有对应顶点的连线都经过同一点（位似中心）；③对应顶点到位似中心的距离之比等于相似比,这三个条件缺一不可. 问题8:我们之前学习了相似图形,现在又学习了位似图形.请问：位似图形一定是相似图形吗？为什么？ 位似图形一定是相似图形.因为位似图形的定义中首先就要求两个多边形相似,而且对应顶点距离之比等于相似比,所以它满足相似图形的所有条件 教师示范 追问:反过来,相似图形一定是位似图形吗？请举一个例子说明 相似图形不一定是位似图形.比如,把一个三角形平移到另一个位置,得到的三角形和原三角形相似,但它们的对应顶点连线是平行的,不经过同一点，所以不是位似图形. 例1 如图,已知△ABC,以点O为位似中心画一个△DEF,使它与△ABC位似,且相似比为2 解:如图,画射线OA,OB,OC；在射线OA,OB,OC上分别取点 D,E,F,使OD=2OA,OE=2OB，OF=2OC;顺次连接D,E,F,则 △DEF与△ABC位似,相似比为2. 满足条件的△DEF 可以在点O的另一侧吗？动手画图试一试. 教师示范 解:如图,画射线AO,BO,CO；在射线AO,BO,CO上分别取点 D´,E´,F´,使OD´=2OA,OE´=2OB，OF´=2OC;顺次连接D´,E´,F´,则 △D´E´F´与△ABC位似,相似比为2. 变式训练:如果题目要求相似比为,应该怎么画？和相似比为2的画法有什么不同？ 画法类似,只是在射线上取点时,使 OD= OA,OE= OB，OF= OC 即可.不同之处在于,相似比小于1时,画出的图形比原图形小;相似比大于1时,画出的图形比原图形大. 巩固拓展 利用下面的方法可以近似地将一个图形放大：1.如图3-31,将两根长短相同的橡皮筋系在一起,连接处形成一个结点. 2.选取一个图形,在图形外适当位置取一个定点. 3.将系在一起的橡皮筋的一端固定在定点,把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端. 4.拉动铅笔,使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动,当结点在已知图形上运动一圈时,铅笔就画出了一个新的图形. 5.这个新图形与已知图形形状相同. 请你用这种方法把一个已知图形放大,并与同伴进行交流. 当堂检测 1.下列说法正确的是（ ） A.两个全等图形一定是位似图形 B.位似图形的对应角相等，对应边成比例 C.位似中心一定在两个图形的外部 D.位似图形的对应顶点连线互相平行 B 请你分析错误选项的错误原因,尝试举出反例 当堂检测 2.已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形. 以正方形ABCD对角线交点O为中心，将各顶点沿射线方向放大2倍，所得四边形A'B'C'D'即为所求——边长为2、与原正方形位似、位似中心为对角线交点的正方形 当堂检测 3. 当堂检测 反思总结 1.本节课我们学习了位似多边形的概念,你能用自己的话说说什么是位似图形吗？ 2.位似图形和相似图形有什么区别和联系？请用表格的形式整理出来. 3.通过本节课的学习，你对 "数学来源于生活，又服务于生活" 这句话有了哪些新的理解？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第90页 第1题 二、素养类作业 找一个生活中熟悉的图形，尝试画出它的位似图形. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $