第4章 图形的轴对称 单元测试 2026-2027学年青岛版八年级上册数学

**基本信息** 青岛版八年级上图形的轴对称单元卷，通过AI图标、电线杆安装、木雕蝴蝶等真实情境，考查轴对称性质、等腰三角形、折叠变换等核心知识，融合几何直观与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、折叠角度计算、三线合一应用|第1题以AI工具图标考轴对称判断，体现科技情境；第4题结合电线杆安装考等腰三角形性质，联系生活| |填空题|5/15|直角三角形性质、对称性质、规律探究|第14题以木雕蝴蝶考对称对应角，渗透文化传承；第15题通过等边三角形序列考规律探究，培养空间观念| |解答题|8/75|尺规作图、全等证明、动态问题|第22题结合等边三角形与对称补全图形并证明，综合几何直观与推理；第23题类比探究含特殊角的动态问题，体现创新应用梯度|

2026-2027学年八年级上学期数学青岛版第4章图形的轴对称单 元测试 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1.人工智能已经成为生活、学习中不可或缺的工具，下列AI工具图标是轴对称图形的是 秘塔 Deepseek ima 2.将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，BC为折痕，若 ∠1=40°，则∠DCB的度数为(). D'E A.40° B.50° C.60° D.70° 3.景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC (如图2)，若AB=AC=26,AD⊥BC于点D,∠ABC=30°，则AD的长为() 图1 图2 A.12 B.13 C.14 D.15 4.为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A 往地面拉两条长度相等的固定绳AB，,AC,当固定点B,C到电线杆底端E的距离相等且 试卷第1页，共3页 点B,E,C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC了，工程人员这种操作方法的依据 是() B A.等腰三角形“三线合一”的性质 B.垂线段最短 C.等角对等边 D.垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=12,BC=5,E,F为△ABC边 AC,AB上两个动点，连接BE,EF,则BE+EF的最小值是() B 120 125 A.13 B.13 C.12 D.17 6.如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得 △FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠D的度数为() C 70° D 1009 -'B A.90° B.105 C.92 D.95° 7,将一条两边互相平行的纸带AD川BC 按如图方式折叠，折痕分别为B,CD,且满足 CD∥BE.若∠1为40°，则∠2为() 试卷第2页，共3页 A.100° B.110 C.120° D.140 8.下列四个命题中，是真命题的是() A.等腰三角形两底角的平分线互相垂直 B.两点之间，直线最短 C.相等的角是对顶角 D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 9.如图，∠A0B=120°，OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上， 且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个 10.如图，在△1BC中，AB=3,AC=2.Sc=10 .①以点A为圆心，以适当长为半 径画弧，交AB于点G,交4C于点H:再分别以点G,H为圆心，以大于2GH的长为半 径画弧，两弧交于点E;作射线AE交BC边于点D;②分别以点A,D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M,N:作直线MN交D于点F·则名 积为() A M F E B D A.2.5 B.3 c.5 D.6 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是斜边AB上的高，若AD=2, 试卷第3页，共3页 则BD的长度是 12.如图，把一条长方形纸带进行两次折叠并压平，折痕分别为AB和CD.若AB∥CE, ∠CAB=34°，则∠CDB的度数是 13.一副三角尺如图放置，∠BAC=∠EDF=90°，其中△EDF的顶点D与BC的中点重合， DE,DF分别与AB,AC交于点G,H.若△ABC的面积为18，则阴影部分的面积为 i G D 14.木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代.如图，这是工匠 雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点A和点D为对称点，点B和点C为 对称点，若∠A=70°，则∠D的度数为度. 15.如图， ∠M0N=0,点、4、4在射我ON上，点.县、在线OM上 试卷第4页，共3页 △ABA2△A,B24△AB3A4 “均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为”， 第2个等边三角形的边长记为”，以此类推，若041，则 B2 B A A2 A3 A 三、解答题（共8小题，共75分.解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分)尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 在四边形ABCD中找到一点M,使M到AB、BC的距离相等，并且MC的距离最短. ⊙ 17.(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,过线段CD上一点E作EG∥AD,交 AC于点F,交BA的延长线于点G.请判断△AFG的形状，并加以证明. 试卷第5页，共3页 B D 18.(8分)如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为 线段CE的中点，BE=AC, ED C (I)求证：AD⊥BC: (2)若∠B=35°，求∠C的度数. 试卷第6页，共3页 19.(9分)如图，BD是△ABC的高，点D是AC的中点，过点D作AB的垂线交AB于点 E,交BC的延长线于点F,∠F=30°. (I)求证：△ABC是等边三角形； (2)若AE=1,求AB的长， 20.(I0分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB交ED的延长线于点F. E (I)求证：BE=CF: (2)当AD⊥BC,AE=2,CF=3时，求AC的长 试卷第7页，共3页 21.(10分)已知：如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是BC,AC上的点，且 AE=CD AD BEP BO⊥AD,Q 交于点， 于点 F (I)求证：∠ABE=∠CAD； (2)若PQ=5,PE=2,求BE的长. 22.(10分)如图，在等边三角形ABC中，∠BAC=60°，点D在BC边上，连接AD,以 AD为边作等边△ADE,连接CE, D D 备用图 (I)求证：∠B=∠ACE: (2)点A关于直线CE的对称点为M,连接CM,EM.补全图形并证明∠CME=∠BAD, 试卷第8页，共3页 23.(I2分)己知在△ABC中，AB=AC,过点B引一条射线BM,D是BM上一点. 【问题解决】 M 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°， 小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD.通过已知的条件，证明 ∠AEB=∠ADC,从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明将下面的证明过程补充完整： 证明：如图1，在BM上取一点E使得AE=AD, ,AB=AC,∠ABC=60 .:.∠ACB=∠ABC=60° .∠BAC=60°， 同理∠EAD=60° .∠BAC=∠EAD」 .∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD, … 【类比探究】 (2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30° ①当射线BM在∠ABC内时，求∠BDC的度数： ②如图3，当射线BM在BC下方时，请问∠BDC的度数与①中相同吗？若相同，请说明理 由，若不相同，请求出∠BDC的度数， 试卷第9页，共3页 试卷第10页，共3页 《2026-2027学年八年级上学期数学青岛版第4章图形的轴对称单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 10 答案 D D B A A D A D D B 1.D 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就 叫做轴对称图形，据此逐一判断即可. 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形， 符合题意. 2.D 【分析】长方形对边平行，利用平行线性质结合折叠前后角相等，先求出∠ABA'的补角， 再由折叠得∠ABC=∠ABC,最后根据两直线平行同旁内角互补求出∠DCB. 【详解】解：由长方形纸片可知AE∥DF,平角为180°，已知∠1=40°， ∴.∠ABA'=180°-∠1=180°-40°=140° :BC是折叠折痕，折叠前后对应角相等， ∠A5c=∠ABc=60-∠AB4)=x(360-140)-10， 又：AE∥DF, .∠DCB=180°-∠ABC=70° 3.B 【详解】解：：AB=26,AD⊥BC,∠ABC=30°， 在ABD中，AD-B=B, 4.A 【分析】根据题意，得到AB=AC,BE=CE,三线合一得到DE⊥BC, 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 5.A 【分析】作点B关于AC的对称点B',连接AB,B'E,根据轴对称的性质可得BE=BE, 从而将BE+EF转化为B'E+EF,根据垂线段最短可知，当B'、E、F三点共线且 B'F⊥AB时，BE+EF取得最小值，最小值即为点B到AB的距离，利用三角形面积公式 即可求解。 答案第1页，共2页 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B',连接AB',B'E, B' B :∠C=90°，B、B关于AC对称， ,B在BC的延长线上，且CB=CB=5,BE=BE, ∴.BB'=BC+CB=10 ∴.BE+EF=B'E+EF,要使BE+EF最小，即求BE+EF的最小值， ,F在AB上， ,当B、E、F三点共线，且B'F⊥AB时，BE+EF最小，最小值为B到AB的垂线段 长，如图， B' E 248.h 1、S。ABB=2BB4 .10×12=13×h. :h=120 13, 120 ∴BE+EF的最小值为13· 6.D 【分析】根据翻折变换的性质、平行线的性质以及多边形的内角和进行计算即可· 【详解】解：观察图形可知∠A=100°，∠C=70°， 由翻折变换可知∠BMN=∠FMN,∠BNM=∠FNM 答案第2页，共2页 :MF II AD,FNI‖DC .∠BMF=∠A=100°，∠FNB=∠C=70° ∠BMN=BMr-50,∠BNM=)∠PNB=3S°， ∴.∠B=180°-∠BMN-∠BNM=180°-50°-35°=95°， 在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， .∠D=360°-∠A-∠B-∠C=360°-100°-95°-70°=95° 7.A 【分析】先利用平行线性质推出∠ADC=∠3=∠1=∠5=40°，结合折叠性质得到 ∠4=∠5=40°，最后依据平角定义用180°减去∠4与∠5的度数，算出∠2 【详解】解：如图： 由题意知：AF∥BE,∠1=40°， .∠1=∠3=40° .AD I BC. .∠ADC=∠5， :CD∥BE, .∠ADC=∠3 ∠ADC=∠1=40°， 根据折叠的性质得 ∠4=∠5=40°」 .∠2=180°-∠4-∠5=100° 8.D 【分析】根据等腰三角形的性质，线段的基本性质，对顶角的定义，平行公理，逐一判断 各命题的真假即可 【详解】解：A选项：，只有项角为直角的等腰三角形，两底角平分线才互相垂直，普通 答案第3页，共2页 等腰三角形不满足该结论， ∴A是假命题，不符合题意； B选项：，两点之间，线段最短，直线没有长度， ∴B是假命题，不符合题意： C选项：，相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角， ∴.C是假命题，不符合题意： D选项：，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，命题成立， D是真命题，符合题意 9.D 【分析】如图，过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N.根据角平分线的性质，由OP平 分∠AOB,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,得PM=PN,∠PMO=90,∠PNO=90°，那 么∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60°.此时，△PMN是等边三角形.然后再进 行分类讨论 【详解】解：如图，过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N M 平分 OP ∠AOB .PM=PN,∠PMO=90°，∠PWO=90° :.∠MPN=360°-∠AOB-∠PMO-∠PNO=60° 此时，aPMN是等边三角形. 当M向M0方向移动，N向NB方向移动，且 MPM1=∠NPN, ∠M,PN,=∠M,PN+∠NPN,=∠M,PN+∠MPM,=∠MPN=6O° MPM知aNPN中， 交 ∠PMM,=∠PNN PM=PN ∠MPM,=∠NPY' :aMPM1≌△PN(ASA) 答案第4页，共2页 PM=PN .△PMN 是等边三角形 :当M向M0方向移动，N向NB ∠MPM1=∠NPN ”方向移动时，且 △PMN 是等边三角形， NO 同理：当M向M4方向移动，N向O方向移动时，且 MPM.=∠NPNn △PMN 是等边三角形. 综上：满足条件的△PMN有无数个. 10.B BD AB 3 【分析】如图，过点D作DK⊥AC于点K,DJ1AB于点J:首先证明CDAC2 求出△ABD的面积，可得结论. 【详解】解：如图，过点D作DK⊥AC于点K,DJ⊥AB于点J,设BC边上的高为h. M G八4 由作图可知DA平分∠BAC, :.DK=DJ, 1 ·AB.DJ SABD= 1.BDh 2 S。ACD 1 AC.DK 2 1.DCh' BD AB 3 .CDAC2’ 3 3 :m写8c=x10=6, 由作图可知MN垂直平分线段AD, 答案第5页，共2页 :AF =DF, 1 525.m=3 11.6 【分析】先根据直角三角形的两个锐角互余求得∠ACD=30°，再利用含30度角的直角三 角形的性质求得AC=2AD=4,AB=2AC=8,进而可求解. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， .∠A=90°-∠B=60°，AB=2AC, :CD是斜边AB上的高， ∠ADC=90°，则∠ACD=90°-∠A=30°， .AC=2AD=4, .AB=2AC=8,BD=AB-AD=6. 12.17° 【分析】由平行线的性质和折叠的性质求出∠DCH的度数，再由平行线的性质即可得到答 案。 【详解】解：如图所示，延长AC到点H, ------- AB∥CE. .∠ECH=∠CAB, .∠CAB=34° ∴.∠ECH=34° 由折叠的性质可得∠DCH=∠DCE A.∠DCH=∠DCE=)∠ECH=1 2 ACll BE .∠CDB=∠DCH=17° 13.9 答案第6页，共2页 【分析】连接AD,利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而 通过面积转化求出阴影部分面积. 【详解】解：连接AD, E G B D :D为BC中点，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC, ÷AD:BD=CD:ZB:∠C=45,∠BAD=∠CD-B1C=45,AD1BC, ∴.∠BAD=∠C,∠ADH+∠CDH=90°， ∠EDF=90°， .∠ADG+∠ADH=90°， ∴.∠ADG=∠CDH, :∠BAD=∠C,AD=CD, ,△ADG≌aCDH(ASA) .S.4DG=S.CDH c18,D为BC中点， 1 SAWD=SAMCD=SG=9 S阴影=SADG+SADH=S.cDH+SADH=SACD=9 14.70 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D 为对称点可知∠A与∠D是对应角，从而得出∠D=∠A,代入数值即可， 【详解】解：，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点A和点D为对称点， ∠A与∠D是对应角， .∠D=∠A=70° 答案第7页，共2页 15.22025 AB‖AB2IIAB3 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的判定定理得出 以及 a2=2a1 得出4=4a=4,&=84=8.6=160.进而得出答案。 【详解】解：如图， 8 23013入11 是等边三角形， 14λ A: A △ABA2 .AB,=A,B∠3=∠4=∠12=60° .∠2=120° ∠MON=30 ∴.∠1=180°-120°-30°=30°. 又：∠3=60°， ∴.∠15=180°-60°-30°=90°， :∠MON=∠1=30°， 0A=AB=1, 4B=1 △A,B2A3△4BA 是等边三角形， ∴.∠11=∠10=60°，∠13=60°， :∠4=∠12=60°， AB∥A,B2∥A,BBA∥B2A ∴.∠1=∠6=∠7=30°，∠15=∠8=90°， ∴a2=2a=2=243=4a=4=22 答案第8页，共2页 a4=8a,=8=23a,=16a=16=24 以此类推： 02026=22025 16.解：如图，点M即为所求. 【分析】结合角平分线的性质以及垂线段最短，作∠ABC的平分线，再过点C作角平分线 的垂线，垂足为点M,则点M即为所求 【详解】略 17.解：△AFG是等腰三角形， 证明：AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD :EG∥AD」 ∠G=∠BAD,∠AFG=∠CAD. ∴.∠G=∠AFG ..AG=AF ∴△AFG是等腰三角形. 【分析】由AD平分∠BAC,得∠BAD=∠CAD;由EG∥AD,根据平行线的同位角、内 错角相等，得∠G=∠BAD,∠AFG=∠CAD.等量代换得∠G=∠AFG,由等角对等边得 AG=AF,故△AFG是等腰三角形. 【详解】略 18.(1)证明：连接AE, A E 答案第9页，共2页 :AB的垂直平分线EF交BC于点E, .BE=AE, AC=BE, .AC=AE, :D为线段CE的中点， AD⊥BC: (2)70° 【分析】(1)连接AE,利用线段垂直平分线的性质证得BE=AE,再根据等腰三角形的 三线合一性质即可求证结论： (2)由三角形的内角和可得∠AEC=2B,进而得到∠C. 【详解】(1)略 (2)解：.BE=AE, .∠B=∠BAE=35°. .∠AEC=180°-∠AEB=∠B+∠BAE=2∠B=70°、 ,AE=AC」 .∠C=∠AEC=2∠B=70° 19.(1)证明：：BD⊥AC,点D是AC的中点， .AB=BC, EF⊥AB, .∠ABC+∠F=90°」 ∠F=30°， ∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形： (2)AB=4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性 质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. (1)由题意可得BD垂直平分AC,得出AB=BC,再求出∠ABC=60°，即可得证： (2)由等边三角形的性质可得∠A=60°，再由直角三角形的性质得出AD=2AE=2,再 由点D是AC的中点得到AB的长. 【详解】(1)略 答案第10页，共2页 (2)解：由(1)得△ABC是等边三角形， ∴.∠A=60°，AB=AC, EF⊥AB, .∠ADE=90°-∠A=30°， AE=1, .AD=2AE=2, :点D是AC的中点， .AB=AC=2AD=4 20.(1).AD是BC边上的中线， .BD=CD, CF∥AB, .∠B=∠FCD,∠F=∠BED △BED≌△CFD(AAS) .BE=CF: (2)5 【分析】(I)利用AAS证明△BED≌△CFD,即可得证； (2)易得AD垂直平分BC,得到AB=AC,根据全等三角形的对应边相等，结合线段的 和差关系进行求解即可 【详解】(1)证明：略 (2)解：：AD是BC边上的中线，AD⊥BC, .AD垂直平分BC, .AB=AC, 由(1)知：BE=CF, .AC=AB=AE+BE=AE+CF=2+3=5 21.(1)证明： :△ABC是等边三角形 .AB=AC,∠BAC=∠C=60° 在△ABE和△CAD中： AB=CA 答案第11页，共2页 ∠BAE=∠C AE=CD ∴.△ABE≌△CAD(SAS) .∠ABE=∠CAD (2)12 【分析】(1)根据等边三角形的性质，结合三角形全等的判定证明即可； (2)根据等边三角形的性质，三角形全等的性质，含30°角直角三角形的性质，求解即可； 【详解】(1)略 (2)解：由(1)得∠ABE=∠CAD, ∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60° BQ⊥AD ∴.∠BQP=90° 在RtABPO中：∠PBQ=30 ∴BP=2PQ=10 ∴BE=BP+PE=10+2=12 22.(1)证明：·等边△ABC和等边△ADE, .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, .∠BAD=∠CAE :△MBD≌aACE(6MS) ∠B=∠ACE: (2)补全图形如下： D 答案第12页，共2页 证明：，点A和点M关于CE对称， ∴.CE垂直平分AM, ∴AE=ME,AC=MC, ∴.∠MAE=∠AME,∠MAC=∠AMC, ∴.∠MAC-∠MAE=∠AMC-∠AME,即∠CAE=∠CME, (1)4BD≌△ACE得∠BMD=∠CME 由 .∠CME=∠BAD 【分折10证 △ABD2△ACE(SAS)即可求证： (2) 由轴对称可得CE垂直平分AM,得到AE=ME,AC=MC,进而由等腰三角形的性质 得∠MAE=∠AME,∠MAC=∠AMC,即得到∠CAE=∠CME,又由全等三角形的性质得 ∠BAD=∠CAE,即可求证. 【详解】(1)略 (2)略 23.(1)补充证明如下： 在△BAE和△CAD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD :.△BAE≌△CAD(SAS) .∠ADC=∠AEB=120°， .∠BDC=120°-60°=60°： (2)①LBDC的度数为120°：②∠BDC的度数与①中不相同，LBDC的度数为60° 【分析】(1)根据己证条件并结合SAS证明△BAE△CAD,根据全等三角形的性质得到 ∠ADC=∠AEB=120°，据此可得到答案； (2)①在BD上取一点E,AE=AD,证明△BAE△CAD,得到∠ADC=150°，可求出答案： ②在DB延长线上取一点E,使得AE=AD,同理证明△BAE≌△CAD,求出 ∠ADC=∠E=30°，进而求出∠BDC. 答案第13页，共2页 【详解】(1)略 (2)证明：①在BD上取一点E,使AE=AD,如图所示： A M :∠ABC=∠ADB=30°AB=AC ∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°， ∠BAC=∠EAD=120°， ∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠E.AC, .∠BAE=∠CAD 在△BAE和△CAD中， AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD .△BAE≌△CAD(SAS) ∴.∠ADC=∠AEB=180°-30°=150° ∠BDC=150°-30°=120°； ②∠BDC的度数会变化，理由如下： 在DB延长线上取一点E,使得AE=AD,如图所示： DM:∠ABC=∠ADB=30°AB=AC ∴.∠ABC=∠ACB=30°，∠AED=∠ADE=30°， .∠BAC=∠EAD=120°， :∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD. .∠BAE=∠CAD 在△BAE和△CAD中， 答案第14页，共2页 AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD ∴.△BAE≌△CAD(SAS) .∠ADC=∠E=30° ∴.∠BDC=∠ADE+∠ADC=30°+30°=60° 答案第15页，共2页