2.2.1有理数乘法课件2025-2026学年人教版数学七年级上学期

该初中数学课件聚焦有理数乘法法则，通过“智学星球”积分情境导入，从已学的正数×正数、正数×0运算过渡到有理数乘法的新情况，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活实例引导学生用数学眼光观察现实，通过算式规律推导和数轴辅助培养数学思维，总结“先定符号再算绝对值”口诀强化数学语言表达。融入中考真题，助力学生理解抽象法则，为教师提供系统教学流程。

人教版 七年级上册 第2章 有理数的运算 2.2.1有理数的乘法 第1课时 有理数的乘法法则 1.7.2013 同学们好！今天我们将一起探索有理数运算中的一个重要成员——乘法。在第二章“有理数的运算”中，我们已经掌握了加减法，现在我们将进入一个新的领域：2.2.1节，有理数的乘法。本节课是第一课时，我们的核心任务是理解并掌握有理数的乘法法则。让我们一起开启今天的数学之旅吧！ ‹#› 学习目标 1.理解有理数乘法法则的推导过程，体会法则的合理性。 2.掌握有理数乘法法则，并能熟练运用法则进行两个数的乘法运算。 1.7.2013 这节课我们有两个主要目标。首先，我们不仅要记住法则，更要理解它是怎么来的，为什么这样规定是合理的。其次，也是最重要的，我们要熟练掌握这个法则，能够准确、快速地计算任意两个有理数的乘积。希望通过这节课的学习，大家都能成为有理数乘法的小能手！ ‹#› 目录 导入新课 新知探究 总结归纳 法则挖掘 典例分析 新知探究 针对训练 能力提升 布置作业 感受中考 课堂小结 当堂巩固 1.7.2013 这是我们今天的学习路径。我们将从一个生活中的问题出发，通过一步步的探究，总结出规律，形成法则。然后通过例题和练习来巩固和提升，最后感受一下中考的考法。希望大家能跟上这个节奏，积极思考，踊跃发言。 ‹#› 导入新课 在有理数的世界里，我们已经熟练掌握了正数 × 正数与正数 × 0的运算规则。 当数的范围扩充到有理数后，乘法运算会出现更多全新的组合形式。这些未曾探索的运算情况，正是我们今天要揭开的奥秘，让我们一起走进有理数乘法的新领域！ ❖ 有理数乘法的新情况探索： 1. 正数 × 负数 （如：4 × (-3)） 2. 负数 × 正数 （如：(-3) × 4） 3. 负数 × 负数 （如：(-3) × (-4)）　4. 负数 × 0 （如：(-3) × 0） 1.7.2013 大家说得很好，刚才的例子 4 × (-3) 就是一种新情况：正数乘以负数。除此之外，还有负数乘正数、负数乘负数等等。这些都是我们以前没遇到过的。别担心，今天这节课，我们就将把这些新情况一一攻破，让大家彻底掌握有理数的乘法。 ‹#› 导入新课 01 我们已经熟悉了正数和0的乘法运算，当数的范围扩充到有理数后，乘法运算该如何定义和计算呢？今天我们就通过生活中的实例来探索有理数的乘法。 ▍情境引入：智学星球的积分规则 小明在学习APP“智学星球”上闯关答题，平台有这样的积分规则：每日签到可获得+5积分；若答错一道题，则会扣除3积分（数学上记为-3）。 ▍思考探究：积分的变化计算 如果小明在一次闯关里连续答错了 4 道题，那么他的积分一共发生了怎样的变化？ 用加法表示积分变化：(-3) + (-3) + (-3) + (-3) 这样的连加算式写起来比较繁琐，能不能用更简便的乘法算式来表示这个过程呢？这就是我们今天要解决的核心问题！ 1.7.2013 同学们，我们都用过手机APP吧？很多APP都有积分系统。今天我们就来看一个和APP积分有关的问题。假设小明在一个学习APP上，答对题加分，答错题扣分。如果他连续答错了4道题，每道题扣3分，那么他的积分变化可以用加法表示为四个-3相加。但这样写是不是有点麻烦？我们能不能用乘法来简化这个过程呢？这就是我们今天要研究的问题。 ‹#› 新知探究 1 正数 × 负数 分析推理：每答错1题积分变化为-3，答错4题即4个-3相加。用乘法表示为4 × (-3)，结果为积分减少12分，即4 × (-3) = -12。 3 × 4 = 3 × 3 = 3 × 2 = 3 × 1 = 3 × (-1) = 3 × (-2) = 3 × (-3) = 3 × (-4) = 问题1： 小明在“智学星球”APP答题时，连续答错了4道题目，规则是每答错一题扣3分。请问：小明的积分一共发生了怎样的变化？如何用乘法算式表示这个过程？ 12 9 6 3 -3 -6 -9 -12 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 1.7.2013 我们来看第一种情况：正数乘以负数。回到刚才小明的例子，4 × (-3) 到底等于多少呢？我们可以这样理解：4 是一个正数，表示重复的次数；-3 是一个负数，表示积分的变化量，也就是减少。所以 4 × (-3) 的意思就是“4次重复的、每次减少3分的操作”。那么结果是多少呢？很明显，小明的积分减少了12分。所以，4 × (-3) = -12。 ‹#› 2 观察下面的算式，你能发现什么规律？ 3 × 3 = 9 3 × 2 = 6 3 × 1 = 3 3 × 0 = 0 规律：首数不变，第二个乘数逐次减1，积逐次减3。 探究：按此规律向负数延伸，结果应是： 3×(-1)=-3， 3×(-2)=-6， 3×(-3)=-9 结论：正数×负数=负数，积的绝对值是两数绝对值的积。 新知探究 1.7.2013 我们再来看一组算式，大家观察一下，有什么规律？从 3×3 到 3×0，第一个乘数3不变，第二个乘数每次减1，积就每次减3。这个规律很清晰。那么，如果我们继续这个规律，当第二个乘数变成-1时，积应该是多少呢？对，0再减3，就是-3。同理，3 × (-2) = -6，3 × (-3) = -9。这再次验证了我们刚才的结论：正数乘以负数，结果是负数，并且积的绝对值就是两个数绝对值的乘积。 ‹#› 问题3： 分析：将“3天前”记为时间反向量 -3，“+5分”为积分增量，即求 (-3) × 5 的实际意义与结果。 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 小明查看积分记录，发现系统提示：“3天前，你的一笔 +5 的签到积分未到账，现已补加”。 思考：相对于现在的记录，小明3天前的积分比实际应得的积分多了还是少了？两者相差多少分？ 逻辑推理： 少加了积分 ➔ 记录值偏低 3天前少加5分/天 总计少加：3 × 5 = 15分 (-3) × 5 = ? = -15 结论：积分少了15分 负数 × 正数 结果为 负数 新知探究 1.7.2013 接下来看第二种情况：负数乘以正数。这个稍微有点抽象，我们来看一个时间相关的例子。小明发现3天前有一笔5分的签到积分没加上，现在补上了。那么，相对于现在的记录，3天前的积分是多了还是少了呢？我们可以把“3天前”看作一个反向的时间量，记为-3。(-3) × 5 就表示“3天前的一笔+5分操作”。因为这笔分当时没加上，所以当时的积分记录比实际应得的少了15分。所以，(-3) × 5 = -15。 ‹#› 规律发现 01 观察算式，寻找规律 3 × 3 = 9 2 × 3 = 6 1 × 3 = 3 0 × 3 = 0 02 规律总结 当第二个乘数保持不变，第一个乘数逐次递减 1 时，所得的积会逐次递减 3。 03 延伸探究：引入负数后的运算 (-1) × 3 = -3 (-2) × 3 = -6 (-3) × 3 = -9 04 最终结论 负数 × 正数 = 负数，且积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积。 新知探究 4 1.7.2013 我们用同样的方法来找规律。这次看第二个乘数不变，第一个乘数每次减1，积也每次减3。按照这个规律，当第一个乘数变成-1时，积就是-3。所以，(-1) × 3 = -3，(-2) × 3 = -6。这说明，负数乘以正数，结果也是负数，积的绝对值同样是两个数绝对值的乘积。 ‹#› ✦ 01 符号判定法则 • 正数 × 正数 → 积为正数；正数 × 负数 → 积为负数 • 负数 × 正数 → 积为负数；简言之：同号得正，异号得负 02 绝对值运算规则 • 积的绝对值 = 各乘数绝对值的乘积，与符号无关 ★ 口诀速记：两数相乘，符号先判，同正异负，绝对值算。 发现： 探究思考：观察以下算式，尝试从“符号”和“绝对值”两个维度，归纳出两数相乘的一般规律？ 新知探究 5 1.7.2013 好了，现在我们来总结一下前两种情况的规律。从符号上看，正数乘正数得正数，正数乘负数和负数乘正数都得负数。我们可以把它简化为：异号两数相乘，结果为负。从绝对值上看，不管符号如何，积的绝对值都是两个数绝对值的乘积。大家记住这个结论：异号得负，绝对值相乘。 ‹#› 探究6： 小明对一道题的判罚有异议，申诉后系统同意“撤销之前因答错该题而扣掉的3分”。这次撤销操作发生在2分钟前。这次操作让小明的积分最终变化了多少？如何用数学式子来描述这一过程？ 分析：“扣3分”记为 -3，“撤销”是反向操作即抵消扣分；“2分钟前”记为 -2，因此整个事件可表示为：(-2) × (-3)。 -6 -4 -2 0 +2 +4 +6 +8 +10 +12 推理逻辑： 1. 撤销1次扣3分 → 积分 +3 2. 撤销2次扣3分 → 3 × 2 = 6 结论：积分最终增加了6分 (-2) × (-3) = ? = +6 (正6) 规律：负负得正 核心法则 负负得正 两个负数相乘得正数 新知探究 1.7.2013 现在到了最关键的部分：负数乘以负数，结果是什么？这也是我们常说的“负负得正”。我们来看一个例子：小明成功申诉，系统撤销了两次扣3分的操作。“撤销”一个“扣分”操作，是不是相当于加分？所以，撤销两次扣3分，最终结果是积分增加了6分。因此，(-2) × (-3) = +6。 ‹#› 规律发现 01 观察算式，寻找规律 (-3) × 3 = -9； (-3) × 2 = -6； (-3) × 1 = -3； (-3) × 0 = 0 02 规律总结 当第一个乘数(-3)保持不变，第二个乘数逐次递减1时，所得的积逐次增加3。 03 延伸探究：规律的延续 若要使上述规律在负数范围内依然成立，请你尝试写出结果： (-3) × (-1) =3 (-3) × (-2) =6 (-3) × (-3) =9 💡 核心结论： 负数 × 负数 = 正数，且积的绝对值等于两个乘数绝对值的乘积。 新知探究 7 1.7.2013 我们再用规律来验证一下。看这组算式，第一个乘数-3不变，第二个乘数每次减1，积反而每次加3。从0开始，再加3就是3，所以 (-3) × (-1) = 3。再加3就是6，所以 (-3) × (-2) = 6。这完美地证明了：负数乘以负数，结果是正数，积的绝对值同样是两个数绝对值的乘积。 ‹#› 总结归纳 核心口诀 先定符号 再算绝对值 有理数乘法法则： 01 符号与数值的双重判定： ① 符号法则：两数相乘，同号得正，异号得负；任何数与 0 相乘，结果都为 0。 ② 绝对值法则：积的绝对值等于各个乘数绝对值的乘积，与符号无关。 02 数学表达式（设 a、b 为正有理数，c 为任意有理数）： ① 同号得正：(+a) × (+b) = +(a×b)， (-a) × (-b) = +(a×b) ② 异号得负：(+a) × (-b) = -(a×b)， (-a) × (+b) = -(a×b) ③ 零乘法则：c × 0 = 0， 0 × c = 0 ★ 运算步骤：第一步判断结果符号，第二步计算绝对值的积，最后结合两者写出答案。 1.7.2013 现在，我们可以把所有情况总结成一个完整的有理数乘法法则。大家记住这个核心口诀：“先定符号，再算绝对值”。符号的判断很简单：同号得正，异号得负。然后，不管符号如何，我们都把两个数的绝对值相乘。最后，把符号和绝对值合起来，就是最终的结果。特别注意，任何数和0相乘都得0。 ‹#› 法则挖掘 阅读，填空： (-5) × (-3)—— 同号两数相乘 = + (5 × 3)—— 得正 —— 把绝对值相乘 = 15 所以 (2) 7 × (-4)—— 异号两数相乘 = - (7 × 4)—— 得负 —— 把绝对值相乘 (1) = -28 所以 1.7.2013 我们来练习一下如何运用法则。看第一个例子，(-5) × (-3)，两个负数相乘，同号得正，所以结果是正数。然后把绝对值5和3相乘，得到15。所以结果是+15。第二个例子，7 × (-4)，一正一负，异号得负，结果是负数。绝对值7乘4等于28，所以结果是-28。大家看，是不是很简单？ ‹#› 法则挖掘 思考：通过刚才的练习，你认为非零两数相乘，主要步骤是什么？ 有理数乘法核心两步走： 01. 定符号 依据“同号得正，异号得负”的法则，先判断积的正负性。 02. 算绝对值 暂时忽略符号，将两个数的绝对值进行相乘，得到积的绝对值。 ★ 口诀速记：先定符号，再算绝对值，符号法则要牢记！ 1.7.2013 通过刚才的练习，我们可以总结出有理数乘法的两个关键步骤。第一步，先看两个数的符号，确定积的符号。第二步，把两个数的绝对值相乘。只要记住这两步，所有有理数乘法问题都能迎刃而解。 ‹#› 例2：某共享单车的计费规则是：每骑行15分钟收费1.5元。如果骑行时间不足15分钟，按15分钟计算。小明一次骑行用了40分钟，他需要支付多少费用？ 答：小明此次骑行需要支付的总费用为4.5元。 解：先算计费单位：40÷15=2（个）……10（分钟），不足15分钟按1个算，共3个单位。总费用=3×1.5=4.5（元）。 典例分析 1.7.2013 我们来看一个生活中的应用题。现在很多同学都骑过共享单车吧？它的计费方式就用到了我们今天学的乘法。小明骑了40分钟，我们需要先算出他有几个计费单位。40分钟里有2个完整的15分钟，还剩10分钟，这10分钟也要按一个计费单位算，所以总共是3个计费单位。每个单位1.5元，那么总费用就是3乘以1.5，等于4.5元。 ‹#› 当堂巩固 (1) 7× (-12)； (2) (-2)× (-8)； (3) (-3)× (-52)； (4) (-36)× 5； 1.确定下列两数积的符号 负 正 正 负 1.7.2013 现在我们来快速练习一下，只判断积的符号。大家看这四个小题，快速说出结果是正数还是负数。记住口诀：同号得正，异号得负。开始！ ‹#› 2.填写下表 被乘数 乘数 积的符号 绝对值 结果 ﹣6 8 2 ﹣7 ﹣12 ﹣6 ﹣3 ﹣15 ﹣ ﹣ ﹢ ﹢ 48 14 72 45 ﹣48 ﹣14 72 45 当堂巩固 1.7.2013 接下来，我们进行一个完整的计算练习。请大家根据被乘数和乘数，一步步填写积的符号、绝对值和最终结果。这能帮助大家巩固“先定符号，再算绝对值”的步骤。 ‹#› 能力提升 1.若m＜ 0，n＞ 0，则mn____ 0. 2.若m＜ 0，n＜ 0，则mn____ 0. 3.若mn＞ 0，则m、n应满足什么条件？ 4.若mn＜ 0，则m、n应满足什么条件？ ＜ ＞ m、n同号 m、n异号 5.已知 -5y 是一个负数，则 ( ). A. y ＞ 0 B. y ＜ 0 C. y ≥ 0 D. y ≤ 0 B 1.7.2013 现在我们来挑战一些更有难度的题目。这些题目不仅考察计算，更考察大家对符号法则的理解和运用。比如第5题，已知-5y是负数，我们要判断y的符号。因为-5是负数，根据“异号得负”，所以y必须是正数。你做对了吗？ ‹#› 感受中考 1．（2025·广东模拟）计算：(-4) × (-2.5) 的结果是（ ） A. -10 B. 10 C. -6.5 D. 6.5 【解答】解：根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 本题中两个因数均为负数，同号得正；再计算绝对值的乘积：4 × 2.5 = 10 因此 (-4) × (-2.5) 的结果为正数10。 故选：B。 1.7.2013 我们来看看中考题是怎么考的。这是一道2025年的模拟题，计算 (-4) × (-2.5)。首先判断符号，两个负数相乘，结果为正。然后计算绝对值，4乘以2.5等于10。所以答案是B。这道题很基础，但提醒我们要细心。 ‹#› 2．（2024•山东济南期末）若a × (-5) = 15，则a的值是（ ） A. 3 B. -3 C. 75 D. -75 【解答】解：根据有理数乘法法则，积为正数时，两个乘数同号。 已知其中一个乘数 -5 是负数，因此 a 必为负数； 由 15 ÷ 5 = 3，可得 a = -3。 故选：B。 感受中考 1.7.2013 这道题稍微有点变化，它告诉我们积和其中一个乘数，让我们求另一个乘数。a × (-5) = 15。首先看符号，积15是正数，其中一个乘数-5是负数，根据“同号得正”，另一个乘数a也必须是负数。然后用15除以5得到3，所以a就是-3。答案选B。 ‹#› 3．（2026·河南郑州月考）计算：(-1) × (-2) × (-3) × (-4) 的结果是（ ） A. -24 B. 24 C. -12 D. 12 【解答】解：多个有理数相乘时，先根据负因数的个数判断积的符号：负因数的个数为偶数时，积为正数；负因数的个数为奇数时，积为负数。 本题中有4个负因数，负因数个数为偶数，因此积为正数。 再计算各数绝对值的乘积：1 × 2 × 3 × 4 = 24，所以原式的结果为24。 故选：B。 感受中考 1.7.2013 这道题是多个数相乘，我们该怎么办呢？方法一样，先判断符号。这里有4个负数，负数的个数是偶数，所以积为正数。然后把它们的绝对值相乘，1乘2乘3乘4等于24。所以最终结果是+24，选B。记住，多个数相乘，看负数的个数，偶数个负数结果为正，奇数个负数结果为负。 ‹#› 课堂小结 1.回顾本节课的核心收获，尝试用自己的语言完整复述有理数的乘法法则，重点梳理两数相乘时的符号判定规律与绝对值的运算方法。 2.在法则的推导与应用过程中，你发现并领悟了哪些数学思想方法？例如数形结合、分类讨论、转化思想等，思考这些思想如何助力我们理解抽象的数学规律。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下，今天你学到了什么？谁能用自己的话说说有理数的乘法法则？除了法则本身，我们还用到了哪些数学思想？比如，我们通过生活中的例子来理解抽象的法则，这就是数形结合和转化思想。希望大家不仅学会了知识，更学会了思考问题的方法。 ‹#› 布置作业 P47：习题2.2：第1、2、3题。 请同学们课后独立完成，认真书写解题步骤，下节课我们将进行详细讲解与答疑。 💡 温馨提示：完成后请对照教材例题自查，重点关注解题思路的规范性与步骤的完整性。 1.7.2013 课后请大家完成教材第47页的习题2.2，第1、2、3题。这些题目能帮助大家进一步巩固今天所学的知识。希望大家认真完成，我们下节课再见！ ‹#› $