精品解析：海南省2023-2024学年高一上学期期末学业水平诊断数学试题（一）

海南省2023—2024学年高一年级学业水平诊断（一） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知指数函数单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若角的顶点在坐标原点，始边为轴的非负半轴，则“的终边关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则的最大值为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 60 8. 已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式恒等于的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的最大值为1，最小值为 D. 在区间上单调递增 12. 已知是定义域为的奇函数，满足，若对任意的且，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 不等式的解集为 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________. 14. 已知偶函数在上是增函数，若，则实数__________. 15. 已知某段电路中电流（单位：A）随时间（单位：）变化的函数解析式是，若时的电流为，则时的电流为__________. 16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 18. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若且，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最大值为0，求实数的值. 20. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若在区间上的取值范围是，求实数的值. 21. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，证明：. 22. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省2023—2024学年高一年级学业水平诊断（一） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，结合并集的概念即可得解. 【详解】由题意集合， 所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解. 【详解】原命题为特称命题它的否定为全称命题，. 故选：A 3. 已知指数函数单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，列式求解. 【详解】指数函数单调递减，则，得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数定义域、具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 5. 已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理及特殊角的三角函数值得解. 【详解】由已知可得， 所以. 故选：D 6. 若角的顶点在坐标原点，始边为轴的非负半轴，则“的终边关于轴对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，诱导公式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若角的终边关于轴对称，则，， 所以， 反过来，若，则或， 即的终边关于轴对称或重合. 所以“的终边关于轴对称”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 某村现有180户村民，且都从事海产品养殖工作，平均每户的年收入为8万元.为探索科技助农新模式，村委会决定调整产业结构，安排户村民只从事直播带货工作，其余的只从事海产品养殖工作，预计调整后从事直播带货工作的村民平均每户的年收入为万元，从事海产品养殖工作的村民平均每户的年收入相比原来提高，若从事直播带货工作的村民不管有多少人，他们的总年收入都不大于从事海产品养殖工作的村民的总年收入，则的最大值为（ ） A. 12 B. 14 C. 22 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立不等式，分离参数后根据均值不等式求最值即可. 【详解】由题意可得， 化简可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：B 8. 已知函数的图象与直线在区间上有交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】问题转化为在时，方程有解，作出函数图象，利用数形结合求解. 【详解】当时，由函数图象与直线相交可得有解， 化简得，方程有解， 可设，，在同一坐标系内作出函数的大致图象，如图， 由图象可知，当时，即，解得， 此时函数图象有交点，即方程有根. 故选：D 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质判断A，取特殊值判断B，根据不等式性质判断CD. 【详解】因为，，所以，故A正确； 当时，显然不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：AC 10. 下列各式恒等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据诱导公式判断AB，根据同角三角函数的基本关系判断C，由二倍角的余弦公式判断D. 【详解】由诱导公式可知，，，故A错B对； 由同角三角函数的基本关系知，不恒成立，故C错误； 由二倍角的余弦公式可得，，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上的最大值为1，最小值为 D. 在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式及余弦函数的奇偶性判断A，根据正弦型函数的对称中心判断B，根据正弦型函数的值域与最值判断C，根据正弦型函数的单调性判断D. 【详解】因为，为偶函数，故A正确； 当时，，所以的图象关于点对称，故B正确； 当时，，正弦函数在上有最大值1，无最小值，所以在区间上的最大值为1，没有最小值，故C错误； 当时，，因为正弦函数在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：ABD 12. 已知是定义域为的奇函数，满足，若对任意的且，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由及函数为偶函数可判断A，根据单调性定义及周期性可判断B， 根据函数周期及函数的单调性判断C，根据不等式在一个周期内的单调性求解判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由，可得，所以 在上单调递减，又是奇函数，所以在上单调递减，因为，所以在上单调递减，故B错误； 因为，，又在上单调递减，所以，故C正确； 由，在上单调递减，可得在[1,3]上单调递增， 因为为上的奇函数，所以，所以，所以在上不等式即的解集为，再由可得函数周期为4，可得不等式即的解集为，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式求解. 【详解】由可知，， 所以扇形面积， 故答案为： 14. 已知偶函数在上是增函数，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数和单调性的定义可得，即，即可得出答案. 【详解】因为是偶函数，所以， 又因为在上是增函数，， 则，所以. 故答案为： 15. 已知某段电路中电流（单位：A）随时间（单位：）变化的函数解析式是，若时的电流为，则时的电流为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，结合角、平方关系以及二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】由题意，所以， 又因为， 所以， 所以时的电流为. 故答案为：. 16. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围,跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】因为，值域为,所以对于时的函数值范围应包含，若函数值含有正数则正数部分不超过，根据图像可知 故答案为： 四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正切公式化简即可得解； （2）利用同角三角函数的基本关系转化为正切函数求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 18. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. （1）求的值； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式求解； （2）根据三角函数的定义求出，再由两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 由角的终边经过点，可知， 所以. 【小问2详解】 由角的终边经过点，可知, 由且，可知， 所以. 19. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）由对数函数的单调性知有最大值，转化为二次函数开口向下，最大值为1，建立方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 不等式即， 解得， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 由函数的最大值为0，可知的最大值为， 所以，且， 解得或（舍去）， 故实数的值为. 20. 已知函数. （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）若在区间上的取值范围是，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的周期、单调区间求解即可； （2）由正弦型函数的值域，结合正弦函数的图象与性质求出的范围，再由自变量的范围 的范围，即可建立方程求解. 【小问1详解】 的最小正周期， 令， 解得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 由，可得， 当时，， 因为在上的值域为， 所以，解得. 21. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，证明：. 【答案】（1） （2）的定义域为R， 因为是偶函数，， 故， 所以为偶函数， ， ，且， ， 因为在R上单调递增，，且， 所以，， 故，所以，， 所以在上单调递增， 又为偶函数，故在上单调递减， 故，当且仅当时，等号成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故. 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）先得到为偶函数，利用单调性定义得到在上单调递增，结合奇偶性得到在上单调递减，从而求出，当且仅当时，等号成立，再由，当且仅当时，等号成立，证明出结论. 【小问1详解】 由得， 即， 故，解得； 【小问2详解】 略 22. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）设函数，若对任意，总有，使得，求的取值范围. 【答案】（1）若，则，在上单调递增. 证明如下： 设且， 则， 因为，所以， 即， 故在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）判断函数在单调递增，再由定义证明即可； （2）原题可转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出函数值域，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对任意，总有，使得， 则在上的值域是在上值域的子集. 因为，所以在上单调递增， 当时，所以的值域为. 当时，在上单调递增，所以的值域为. 由，可得，解得； 当时，，满足题意； 当时，由在时，，由对勾函数性质可知， 只需且，解得. 综上可得，的取值范围. 【点睛】关键点点睛：首先在于对题意理解后，将问题转化为在上的值域是在上值域的子集是解题的第一个关键点，其次在研究值域时，需要分类讨论，结合函数单调性求出值域是第二个关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $