湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高二上学期9月阶段性检测数学试卷

明德中学2025年下学期高二年级九月份阶段性检查 数学 2025.09 时量：120分钟满分：150分命题：高二数学备课组审定：高二数学备课组 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案） 1.已知集合A {传s2 ,B={0,12,3},则4nB=6)001() A.{0, B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 2.复数z=2二 2+1 (为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 人冲公 3.若1og4x+log4y=2,则二 +之的最小值为 今样 头意() A. 2 B. 8 C.3 D.I 10.04 4.在△MBC中，已知AB=2,4C=3,A=行，D为BC中点，则AD= () A.2 B ，0C.3 2 D.西 2 5.者ae0且ora+ow*2a]，则ma A. B.3 c D. 5 6.已知空间四面体SABC中，SA,SB,SC两两垂直且SA=SB=SC=2,那么四面体SABC的 外接球的表面积是 () A.12π B.24r 0(八路C.36π D.48 7.若实数x,y,z满足3= ==log2z,则x,y,z的大小关系不可能是 () A.z>y>x B.x>y>z C.z>x>y D.y>z>x 8.·已知)是定义在R上的奇函数，当∈0，十四)且时，都有)）-）>0， x1一x2 若6=6，则不等式x)>x的解集为 () A.(-o,-6)U(0,6) B.(-6,0)U(6,+∞) C.(-6,0)U(0,6) D.(-0,-)U(6,+∞) 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分。共18分，每小题有多项符合题目要求，全 部选对得6分，部分选对得3分，选错得0分) 9.已知一组样本数据，，名，为，，x。,将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组 新样本数据片，2，为，，，则 () A.两组样本数据的中位数相同B.两组样本数据的极差相同)心 C.两组样本数据的标准差相同 D.两组样本数据的平均数相同 10.·已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的命题() A.在△MBC中，若sinA>sinB,则A>B B.若B=,b=2,c=V3,则△ABC有两个解 C.若a cos A=b cos B,则△ABC是等腰三角形或直角三角形 D.若(c+e-btan=3ac,则角B=号 11.在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD,中，E为AB的中点，P是侧面BCCB内的动点， 下列说法正确的是 A.平面APC⊥平面ABD B.若四面体A-BDC的四个顶点均在球O的表面上，则球0的表面积为48元 C当点P在线段8C上运动时，异面直线4与仙所成角的取值范图是[引 D.当直线PE与直线CD所成的角是时，点P的轨迹长度为B 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12.·在△ABC中，D是BC边上靠近B的一个三等分点，若C与2D+mDB平行，则实数 m=04些，江岩简治对赶 13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+2)为偶函数，且当0<x≤2时，f(x)=1og2(2x), 则f(2025)= 14.在如图所示的长方形台球桌面示意图中，OM=4,MP=2,桌面的六个网分别位于长方 形的因个顶点及长边中点上。现有三个台球分别在侵》及仔}」直所在的位置 上，且本B、C三点共线.用球A贴着桌面移动去击球C(不能碰到球B),使得球C沿球 A运动的方向径直落入O,R,M三个网⑧中之一，若球和网⑧近似地看成点，且台球在桌面 上为直线运动，球A碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角.则球A击中球C前，球A移 2 动的最短路径的路程为达，农食谷@诗沙个共本 静器多导的老液☆3数 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步 骤。) 15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=bsinA. (1)求角B: 2)若b=5,a=反，求△ABC的面积S.两奇O8业4限L《t f流答幸污大合限82于=20置 16.·已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是 AC与BD的交点O,已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形. (I)求证：AC⊥PD: 时喻油S代 (2)求点D到平面PBC的距离； (3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？ 求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段DE的长， 四的点式村通西济 17.2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办 的重要保障当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了100名候 选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,5)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)， 第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.045 0.020 的烟个奔个之许度。两中形汁氨功风个俱神酒 0.005 0455565758595成绩分 (1)求a的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数： 司表实染障标料运联道以 (2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宜传者若本市宜传者中 第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均 数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 18.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产 提供x(x∈[0,10)（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司 在收到政府：O历元琳贴后，防护服产基将消加到！=6片)万件其中上为工厂工人 的复工率(k∈[0.5，]).A公司生产1万件防护服还需投入成本(20+9x+50)(万元). (1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数：（政府补贴x万元计入 公司收入) (2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？ (3)对任意的x[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？ (精确到0.01). 19.已知函数y=f(x),若存在实数m,(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x,均有 m·f(x)=f(x+k)+f(x-)成立，则称函数f(x)为“可平衡”函数，有序数对(m,月称为函 数f(x)的“平衡”数对 (1)若m=l,判断xsix是否为“可平衡”函数，并说明理由： (2)若a∈R,a≠0，当a变化时，求证：f(x)=x2与g(x)=a+2的平衡"数对相同： (3)若网，%∈R,且引%，到均为函数f)=ox的平衡数对.当0<x≤浮时， 求m+的取值范围 项·应里+川以学元商的月的联 装器出1的的0我明德中学2025年下学期高二年级九月份阶段性检查答案 一， 单选题。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A 0 A B B 二. 多选题 题号 9 10 11 答案 BC AC ACD 三.填空题. 12.4 13.-2 14. 35 2 四.解答题. 15.解：(1)由a cos B=bsin A, 根据正弦定理得sin Acos B=sin B sin A, 又sinA≠0，则tanB=l, 因为B∈(0，，所以B= 4 (2)在48C中，B=年b=5,a=反， 由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B,即3=2+c2-2c, 解得c=V2+1或-√2+1（舍去)， 枚48C俏国积为csn8-5小5小9 2 16.解：(1)：点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, .PO⊥平面ABCD, ·ACc平面ABCD, .P0⊥AC, :四边形ABCD为菱形， BD⊥AC, PO∩BD=O,PO、BDC平面PBD, AC⊥平面PBD, BDC平面PBD, .AC⊥PD; (2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形， P0=A0=C0=V5,Sa0c=X2x5=5, :PC=VP02+C02=√6， BP=BC=2, 2 SPsc=×V6×,22 5 2 2 设点D到平面PBC的距离为h, 由'o-ac=-ne得写Sah=亏5acOP, 即h=5x5,解得h=25 2 5 故点D到平面PBC的距离为2 5 (3)设直线PE与平面PBC所成的角为O, :ADI BC→ADI平面PBC, ∴.E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离. 过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F,则0=∠EPF, D ! C B 此时sin0 EF_2,要使O最大，则需使PE最小，此时PE LAD. PE 5PE 由题意可知：0D=1,OA=3, :PO⊥平面ABCD,且PO=√3， .PA=V0P2+0A2=V6,PD=V0P2+0D2=2, 在△PAD中，由余弦定理可得： COSLPAD=4P+4D-PD6+4-46 2AP.AD 2×V6×24 sin PAD=-c0 ZPAD=o 4 由面积相等S,PD-)AP,ADsin∠PAD=ADPE, 即×6×2xD-×2xPE,解得：PE= 42 2 151 DE=PD2-PE2=4- V42 即点E在线段AD上靠近点D的4分点处，此时sn0-子，DE=) 17.(1)由图得(0.005+a+0.045+0.02+0.005)×10=1, 解之可得a=0.025: 根据题意知，x=0.05×50+0.25×60+0.45×70+0.2×80+0.05×90=69.5 (2)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 x1=62,x2=80,s2=40,5=50, 且两组的频率之比为0.25_5， 0.24’ 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为w=5×62+4×80=70, 9 身二组和第压组所有面试者的面试成锁的方差为-多时+低-1+音+店-网门。 -高40+(62-701+号50+80-70 9 520,6001120 9 9 9 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为120 9 18.(1)由题意，y=x+801-20+9x+50t)=301-8x-20 =30k 6、12 -8x-20=180k-360k-8x-20 x+4 x+4 即y=180k-360k -8x-20,x∈[0,10，k∈[0.5,1； x+4 （2）y=180-004-8x-20=180k+12-8x+4+45 x+4 x+4 因为re0,10,所以4≤x+4≤14，所以x+4利+45之2，x+4×455:6N5乐当且仅当 x+4 x+4 4三，即x=35k-4时，等号成立 所以y=80+12-8+4+经]e180+12-4厥 故政府补贴为3√5k-4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+12-48√5k 万元. (3)对任意的xe0,10](万元)，A公司都不产生亏损，则180k-360 -8x-2020在 x+4 x∈[0,10上恒成立 不等式整理得，180k≥20+8xx+4到 x+2 令m=x+2,则me2,12],则20+8xx+4-8m+4m+2=8m+8+20 x+2 m m 1 令y=m+二，m∈[2,12] 任取m1,m2∈2,12]，且m1<m2 则y-y2=m-m2+ 1_1=m-mmm- mm mm2 2≤m1<m2≤12，.m1-m2<0,m1m2-1>0,月<y2 即函数m=8m+8+20在2,121上单调递增 m 可得Mmla=ha12)=8x12+8+20=16+2 12 3 、16+2 所以180k≥116+，即k2180 ≈0.65 所以当复工率k达到0.65时，对任意的x∈[0,10]（万元），A公司都不产生亏损. 19.(1)若m=1,则m·f(x)=sinx, f (x+k)+f (x-k)=sin (x+k)+sin(x-k)=2sin xcosk 要使得f(x)为“可平衡”函数，需使故(1-2cosk)sinx=0对于任意实数x均成立，只有 cosk=2 1 此时表=2±写meZ,故k存在，所以=血x是可平衡函数 (2)fx)=x2及gx)=a+2的定义域均为R, 根据题意可知，对于任意实数x,mx2=(x+k)2+(x-k)2=2x2+2k2, 即mx2=2x2+2k2,即(m-2)x2-2k2=0对于任意实数x恒成立， 只有m=2,k=0,故函数f(x=x2的“平衡"数对为(2,0)， 对于函数g(x=a+2而言，ma+2）=a+2+a+2-=2a+22+2), 所以ma+2）=2a+22+2), 2[m-(2+2)】]+am-2)=0, m=2+2 am-2=0' m-2故m=2只有k=0,所以函数8到=a+2的平衡数对为2,0， m22 即 综上可得函数f(x=x2与g(x)=a+2的"平衡”数对相同. 3）mw心=w(+引oew(-引所以属o=2 %os=as+}om-到所以w.cox1, 由于0<x≤元，所以≤cos2x<1,故m,=2tan2xe(0,2],m,=sec2xe1,21, 4 m+m=l+am刘+4amx=5am+2amx+1=5m2x+写+号 由于0<xs受所以0<mx≤1时写 5+tan'xs5 1 1<2(tan2x+2}'-3≤8，所以1<m+m≤8.