精品解析：湖南省湖湘名校联盟2025-2026学年高二上学期入学考试数学试卷

2025-2026学年湖南省湖湘名校联盟高二（上）入学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合复数运算法则求，根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应点的坐标，由此判断该点所在象限即可. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限， 故选：B. 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，则，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，故B错误； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：C 4. 已知单位向量满足，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件，向量数量积的运算律和向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意，，记， 由可得：， 即得，因，则. 故选：B. 5. 若函数的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得函数为偶函数，故，由此可求. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数， 所以， 所以， 所以恒成立， 所以， 故选：D. 6. 已知都是锐角，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用正切的和与差公式，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，又都是锐角，则， 所以，整理得到，解得，， 则， 故选：A. 7. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，则（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及相关性质，结合古典概型概率公式逐项分析即可. 【详解】A选项：由， 则有，所以， 即，故A不正确； B选项：因为，所以， 又， 所以，所以， 故B选项不正确； C选项：由，， ， 所以， 所以事件与相互独立故C正确； D选项：因为， , 所以，， 由事件与相互独立， 所以， 故D选项不正确， 故选：C. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的性质，平面和平面的交线与平行，所以在平面内过A点作出的平行线，且与直线相交，确定了唯一平面，进一步作出与正方体表面的交线，再求外接圆面积即可. 【详解】如图，设，为所在棱的中点，又且， 所以四边形为平行四边形，则有， 则经过点，，三点的平面即为符合题意的平面，则平面截正方体所得图形为矩形， 其中，，故， 所以平面截正方体所得图形的外接圆面积为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数的性质及函数的单调性、奇偶性一一判定选项即可. 【详解】对于A项，由可知，所以，即其定义域为，A正确； 对于B项，，显然， 所以为奇函数，B正确； 对于C项，由A项结论可知显然错误； 对于D项，由指数函数的性质知：当时， ，所以， 则，故D正确； 故选：ABD 10. 已知球（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（ ） A. 线段的长为 B. 直线与球相切 C. 的面积为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正方体内接球的表面积可得，进而可得，可判断A；设线段的中点为，则球与平面切于点，进而可判断B；结合B选项利用三角形面积公式计算可判断C；求出直线与平面所成角的平面角为，计算可得其正弦值，进而可判断D. 【详解】对于A，因为球的表面积为，所以（为球的半径），解得， 因为球的半径为，得，则正方体的边长为2， 则，故A错误； 对于B，设线段的中点为， 则由正方体及其内切球对称性结构特征可知球与平面切于点， 所以直线与球相切，故B正确； 对于C，因为， 所以的面积为，故C正确； 对于D，直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，即， 所以直线与底面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD 11. 设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用均值的性质判断A，利用方差的性质判断B，再结合题意判断C，D即可. 【详解】对于A，因为，所以，化简得，故A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质得，故B错误， 对于C，由题意得， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确， 对于D，由方差的性质得，则， 由题意得 ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的倍，则该圆锥的母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式以及条件列方程，即可得答案. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的侧面展开图的面积，圆锥的底面面积， 因为圆锥的底面半径为1，所以， 因为圆锥侧面展开图形的面积是底面面积的2倍， 所以，所以. 故答案为：2 13. 在矩形中，，点为中点，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的结构特点建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 如图，以为原点，所在直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 设，，点为中点， ，，，，， ，， ，，，， ，，，， . 故答案为：8. 14. 设函数的定义域为，且对于任意的正数都有若则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据赋值法求得，再根据条件求得的值，再结合条件，即可求解. 【详解】令，得，得， 令，得， 令，得， 因为所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数函数满足且． （1）求的值域； （2）求函数的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值最小值 【解析】 【分析】（1）先根据已知化简得到的两种可能表达式，再利用确定的解析式，最后应用正弦函数的值域求解； （2）应用（1）结合辅助角公式计算化简，最后结合正弦函数的最值计算求解. 【小问1详解】 由且 可得即 当时，符合题意； 当时，不符合题意，舍去． 综上所述， 结合，可知，即函数的值域为； 【小问2详解】 由（1）的结论，可得， 所以其中锐角满足， 当时，即时，取得最大值 当时，即时，取得最小值． 16. 已知复数． （1）求； （2）求的最小值； （3）若的实部大于，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可. （2）利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可. （3）利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． 【小问3详解】 因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 17. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求参数即可； （2）由中位数的求法，结合直方图求解即可； （3）根据分层抽样的各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以中位数在之间，设中位数为，那么， 解得，所以中位数为86. 【小问3详解】 设在中抽取的2人分别为；在中抽取的3人分别为； 从这5人中随机抽取2人，则样本空间为： ，共有10个基本事件. 设选取的2人评分均在内为事件， 则中包含3个基本事件，所以. 18. 如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面. （1）证明：； （2）证明：为二面角的平面角； （3）若，且，求二面角的大小 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）60° 【解析】 【分析】（1）根据三棱柱的性质可得四边形为平行四边形，由此判断其中位线与棱平行，进而得到； （2）先证明,根据二面角的平面角的定义即可证明为二面角的平面角. （3）先确定二面角的平面角为, 根据四边形为平行四边形，得，利用已知条件求出,即可得到二面角的大小. 【小问1详解】 由三棱柱的性质，四边形为平行四边形，故. 又P，Q分别为线段与的中点，则有. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为三棱柱所有侧棱都平行，所以，故. 【小问2详解】 因为平面，平面，故. 又，由三棱柱的性质知：，，所以. 又为线段的中点，故. 由于，，且，平面，故平面. 因为平面，故. 由(1)可知：，所以 因为平面平面,平面,平面且，，所以为二面角的平面角. 【小问3详解】 由(1)可知：，所以四边形为平行四边形,所以平面即为平面. 由(1)平面，因为，所以平面. 连接，因为，且P为线段的中点，所以 由(2),所以, 因为平面平面,平面,平面,所以为二面角的平面角， 由于，且为线段的中点，故. 又，故为等边三角形，不妨设，则. 由于，，故为等腰直角三角形，故. 故中，，故. 因为四边形为平行四边形,所以. 所以二面角的大小为. 19. 在中，，且． （1）求角； （2）求面积的最大值； （3）若是边上的一点，且证明，并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式，将化简为，求出，再根据角的范围即可求出角； （2）由，利用基本不等式得到，再代入三角形的面积公式即可得解； （3）在中，由分析出是的平分线，再根据三角形的面积公式表示出，即可证明；设，在中，利用正弦定理表示出，再根据余弦定理及的范围求出的范围，用含的式子表示，令，利用其单调性即可得解. 【小问1详解】 因为 所以在中，由， 可得，解得或. 又因为，所以，所以； 【小问2详解】 由可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以面积的最大值为； 【小问3详解】 在中，设角所对的边分别为， 因为，所以是的平分线， 因为，所以. 因为， 所以， 即，所以， 设， 在中， 由正弦定理可得， 则. 令，则， 在中，由余弦定理可得 ， 解得，所以. 则. 令， 由题意可得函数在区间上单调递减， 则， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年湖南省湖湘名校联盟高二（上）入学数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如果，那么下列不等式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则（　　） A. B. C. D. 5. 若函数的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知都是锐角，，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，，则（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与相互独立 D. 8. 如图，棱长为2的正方体中，，，均为顶点，为所在棱的中点，若平面，且，均在平面内，则平面截正方体所得图形的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数，则（　　） A. 的定义域为 B. 为奇函数 C. 为上的减函数 D. 无最值 10. 已知球（为球心）为正方体的内切球，且球的表面积为，则（ ） A. 线段的长为 B. 直线与球相切 C. 的面积为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 11. 设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个底面半径为的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的倍，则该圆锥的母线长为______． 13. 在矩形中，，点为中点，，则 ______． 14. 设函数的定义域为，且对于任意的正数都有若则 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数函数满足且． （1）求的值域； （2）求函数的最大值与最小值． 16. 已知复数． （1）求； （2）求的最小值； （3）若的实部大于，求的取值范围． 17. 这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），将评分绘制成频率分布直方图，请根据下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题. （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对景区满意度评分的中位数； （3）若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在内的有2人，评分在内的有3人.现从这5人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分均在内的概率. 18. 如图，三棱柱中，，且P，Q分别为线段与的中点.已知平面. （1）证明：； （2）证明：为二面角的平面角； （3）若，且，求二面角的大小 19. 在中，，且． （1）求角； （2）求面积的最大值； （3）若是边上的一点，且证明，并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $