5.2.1 三角函数的概念（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦任意角三角函数的概念，涵盖定义、符号规律及诱导公式一。通过初高中衔接，从初中锐角三角函数的直角三角形定义出发，引导学生将其放入坐标系，借助单位圆构建坐标法定义，形成从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以互动探究和问题链驱动概念生成，如通过单位圆上点的坐标唯一性抽象出三角函数定义，结合“牛刀小试”“举一反三”强化数学运算。小结“学海拾贝”系统梳理知识，助力学生形成结构化认知，既发展直观想象与数学抽象素养，又为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念 5.2三角函数的概念 学 习 目 标 1 2 3 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握三角函数定义域；能依据角终边所在象限，判断三角函数值符号；理解诱导公式一的几何意义，熟练运用公式一把任意角三角函数转化为[0,2π)内的角求值。 经历从锐角三角函数拓展到任意角三角函数的过程，体会坐标法定义三角函数的思想；提升数形结合、转化化归的数学思维。 发展数学抽象、直观想象、数学运算核心素养 初高衔接 知识讲解 互动探究 新课引入 同学们，初中我们学习过锐角三角函数。在直角三角形中，若锐角为α：sinα 1. 如果角α不再是锐角，变成钝角、大于的角，甚至任意角，还能放在直角三角形里定义三角函数吗？ 2. 我们已经学习了任意角、象限角、终边相同的角，能不能找到一种新方式，把三角函数拓展到任意角？ 我们可以把直角三角形放到平面直角坐标系中，尝试用坐标重新表达锐角三角函数，沿着这个思路，就能把定义推广到全体任意角。 3 目标一：单位圆与三角函数定义 单位圆 知识讲解 互动探究 新课引入 在弧度制下,我们已经将角的范围扩展到全体实数. 下面借助这些知识研究 上一节开头提出的问题.不失一般性,先研究单位圆上点的运动.现在的任务是: 在单位圆 ⊙O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋 转, 建立一个数学模型, 刻画点 P 的位置变化情况. 根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题. x y 如图，以单位圆的圆心 O 为原点，以射线 OA 为 x 轴的非负半轴，建立直角坐标系，点 A 的坐标为 (1,0)，点 P 的坐标为 (x,y). 射线 OA 从 x 轴的非负半轴开始，绕点 O 按逆时针方向旋转角 α，终止位置为 OP. 5 单位圆上点的唯一性 知识讲解 互动探究 新课引入 思考: 当α=时，点P的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？ 利用勾股定理可以发现, 当时, 点 的坐标是;当或时, 点 的坐标分别是和. 它们都是唯一确定的. 一般地, 任意给定一个角 α∈R, 它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标, 无论是横坐标 x 还是纵坐标 y, 都是唯一确定的. 所以, 点 P 的横坐标 x、纵坐标 y 都是角 α 的函数. 6 单位圆上定的坐标 以原点为圆心的单位圆上一点 绕点 逆时针旋转 到达点 , 则点 的坐标为 ( ) B. C. D. 典例分析 牛刀小试 D设 Q(x, y),确定点Q在第一象限，终边与相同，由锐角的三角函数定义可得 x=cos =cos =, y=sin =sin =.∴点的坐标为(, ). 故选 D. 正弦函数、余弦函数定义 知识讲解 互动探究 新课引入 设 α 是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x,y)。 把点 的纵坐标 叫做 的正弦函数，记作 ，即 ； 把点 的横坐标 叫做 的余弦函数，记作 ，即 ； 把点 的纵坐标与横坐标的比值叫做 的正切，记作 ，即 。 8 正切函数定义 知识讲解 互动探究 新课引入 可以看出，当时， 的终边在 轴上，这时点 的横坐标 等于 0，所以 无意义．除此之外，对于确定的角 ， 的值也是唯一确定的．所以， 也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 9 三角函数小结 知识讲解 互动探究 新课引入 通常记为: 正弦函数 ； 余弦函数 ； 正切函数 . 初中把三角函数定义在锐角区间，高中把定义推广到任意角，所以高中的三角函数的定义是上位概念。 10 利用定义求三角函数值 求的正弦、余弦和正切值. 典例分析 牛刀小试 解: 在直角坐标系中, 作∠AOB=(如图). 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(). 所以 1、画出单位圆与终边； 2、找出终边与单位圆的交点坐标； 3、根据三角函数的定义得出三角函数值。 利用定义求三角函数值 在平面直角坐标系中,以 x 轴的非负半轴为角的始边,如果角 的终边分别与单位圆交于点 和 ,那么 A. B. C. D. . 典例分析 牛刀小试 B 因为角 的终边与单位圆分别交于点 和 , 所以由三角函数的定义可得 , 所以 . 故选 B. 利用定义求三角函数值 设 , 角 的终边与圆 的交点为 , 那么 A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 D 因为角 的终边与圆 的交点为 , 所以 , 解得 , 又 , , , , 故选 D. 利用三角函数定义求值 已知直线 与以原点为圆心的单位圆交于 两点, 点 在 轴的上方, 是坐标原点. 求以射线 为终边的角 的正弦值和余弦值; 求以射线 为终边的角 的正切值.   典例分析 牛刀小试 解题思路 (1) 由题意可知 A 点的坐标为, 所以 . 由题意可得 B 点的坐标为, 所以 . 目标二：三角函数定义的拓展 已知角终边上任意点求三角函数值 知识讲解 互动探究 新课引入 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为 求证： 解：设角α的终边与单位圆交于点 ,分别过点P, 作x轴的垂线PM, ,垂足分别为M, , 则 .于是 ，即 . 因为 与 同号，所以 ，即 . 同理可得 . 16 利用三角函数拓展定义  (多选)已知函数 且 的图象经过定点 , 且点 在角 的终边上, 则的值可能是( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 BD 因为函数 的图 所以 或 ， 当点 在角 的终边上时， 则 当点 在角 的终边上时， 则 故选 BD. 利用三角函数拓展定义  (多选)已知函数 且 的图象经过定点 , 且点 在角 的终边上, 则的值可能是( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 BD 因为函数 的图 所以 或 ， 当点 在角 的终边上时， 则 当点 在角 的终边上时， 则 故选 BD. 利用三角函数拓展定义 已知角 θ 的终边过点(4,-3),求它的三个三角函数值。 典例分析 牛刀小试 已知角终边上一点， 坐标 。 先求该点到原点距离： 根据三角函数定义： 目标三：三角函数的符号 定义域 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数 在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的 符号填入下图中的括号． 三角函数 定义域 21 知识讲解 互动探究 新课引入 三角函数的符号 在单位圆中，角 θ 的终边与圆交于点 (x, y)： sin θ = y → 符号取决于 y 的正负（上正下负） cos θ = x → 符号取决于 x 的正负（右正左负） tan θ =→ 符号取决于 x、y 是否同号（同号为正，异号为负） 象限 x 符号 y 符号 sin cos tan Ⅰ + + + + + Ⅱ - + + - - Ⅲ - - - - + Ⅳ + - - + - 22 符号问题 求证: 角 为第三象限角的充要条件是 典例分析 牛刀小试 证明: 充分性: 即如果①②式都成立, 那么 为第三象限角. 因为①式 成立, 所以 角的终边可能位于第三或第四象限, 也可能与 轴的负半轴重合;又因为②式 成立，所以 角的终边可能位于第一或第三象限. 因为①②式都成立，所以 角的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 必要性：因为 为第三象限角，所以 且 ，即 符号问题 若 C 为的内角,则下列一定取正值的是 ( ) A. B. C. D. 典例分析 牛刀小试 A 由题意知 ，故 的符号不定， 故选 A. 若角 是第二象限角,则点 在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D 因为角 是第二象限角， 所以 , 所以点 在第四象限，故选 D. 目标四：诱导公式一 知识讲解 互动探究 新课引入 诱导公式一 由三角函数的定义, 可以知道: 终边相同的角的同一三角函数的值相等. 由此得到一组公式: （公式一） sin(α+k⋅2π)=sin_α, cos(α+k⋅2π)=cos_α, tan(α+k⋅2π)=tan_α, 其中 k∈Z . 由公式一可知，三角函数值有 “周而复始” 的变化规律，即角 α 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0∼2π(或)角的三角函数值. 26 诱导公式应用 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证： ； ； ； ．   典例分析 牛刀小试 解：（1）因为是第三象限角，所以； （2）因为是第四象限角，所以； （3）因为，而是第一象限角， 所以； （4）因为，而的终边在轴上，所以． 请同学们自己完成用计算工具验证． 诱导公式应用 求下列三角函数值: （精确到0.001）； (2) ； (3) . 可以直接利用计算工具求三角函数的值. 用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制. 典例分析 牛刀小试 解： (1) ； ； 目标五：针对训练 举一反三 1.已知角的终边上有一点，则 A. B. C. D. 答案：C 解析: 由题意, 角 的终边上有一点, 可得, 根据三角函数的定义, 可得, , 所以. 2.若，则点位于第______象限( ) A.一 B.二 C.三 D.四 答案：B 解析：因为，则，，所以点位于第二象限.  举一反三  3.若角 的终边在直线 上, 则 等于( ) A. B. C. D.  答案：B 解析：在角 的终边上取一点，则，，所以 .或取一点，则， ，所以   举一反三 4.已知角 的终边经过点，且，则的值是( ) A. B. C. D. 答案: B 解析: 由三角函数定义可得，即，且，解得. 5.已知角 的终边经过点，则_________________. 解析：设坐标原点为，由题意可得：，， ，故 目标六：小结 学海拾贝 1. 任意角三角函数定义 设α是任意角，终边上任取一点P(x,y) ，>0，sinα=, cosα=, tanα= (x≠0) 单位圆版本：若P在单位圆上 r=1 ，则sinα=y,cosα=x,tanα=。 2. 三角函数值符号规律 （口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦） 第一象限：sinα>0,cosα>0,tanα>0 第二象限：sinα>0,cosα<0,tanα<0 第三象限：sinα<0,cosα<0,tanα>0 第四象限：sinα<0,cosα>0,tanα<0 学海拾贝 3. 诱导公式一 sin(α+2kπ)=sinα, cos(α+2kπ)=cosα, tan(α+2kπ)=tanα, k∈Z 本质：终边相同的角，同名三角函数值相等； 作用：大角化小角，把任意角三角函数转化为0∼2π范围内的角求解。 4. 易错点提醒 tanα要求角终边不能落在y轴上（x≠0）； 判断符号时，关注终边位置，不能简单套用锐角三角函数； 诱导公式一只加2kπ，不要和后续其他诱导公式混淆。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $