5.2.1　三角函数的概念(二)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数值的符号、诱导公式一及综合应用，通过复习三角函数定义，结合象限角特征引出符号规律，再以“终边相同角”过渡到诱导公式，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，设“明辨是非”辨析易错点，典例分类型对应逻辑推理、数学运算等素养，如典例1通过充要条件判断培养逻辑推理，即学即练及时巩固。助力学生提升思维能力，教师可直接用结构化内容提高教学效率。

5.2.1　三角函数的概念(二) 【学习目标】 1.熟练掌握各象限角三角函数值的符号.(直观想象) 2.理解诱导公式一,并能解决相关问题.(数学运算) 3.会用三角函数的定义、诱导公式一解决相关的综合问题.(逻辑推理、数学运算) 1.三角函数值的符号 如图所示:   正弦:_______象限正,_______象限负; 余弦:_______象限正,_______象限负; 正切:_______象限正,_______象限负. [巧记]一全正、二正弦、三正切、四余弦 一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四 2.诱导公式一   即终边相同的角的同一三角函数的值_____. 相等 [思考] 通过公式一,你能发现什么规律? 提示:由公式一可知,三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角,则必有sin α>0.( ) 提示:因为0<α<π,所以sin α>0. (2)若sin α>0,则α为第一、二象限角.( ) 提示:α的终边位于第一、二象限或y轴正半轴. (3)sin α=sin β,则α=β.( ) 提示:比如α=30°,β=150°,sin α=sin β,但α≠β. √ × × (4)cos =1.　 ( ) 提示:因为cos =cos =cos (674π+π) =cos π=-1. × 类型1 三角函数值符号的应用(逻辑推理) 【典例1】(1)(2026·楚雄高一检测)“角θ为第二象限角”是“sin θcos θ<0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.若角θ为第二象限角,则sin θ>0,cos θ<0,sin θcos θ<0; 若sin θcos θ<0,则sin θ,cos θ异号,角θ为第二象限角或第四象限角. 故“角θ为第二象限角”是“sin θcos θ<0”的充分不必要条件. √ (2)若sin θcos θ>0,<0,则角θ的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选C.根据sin θcos θ>0,可知角θ的终边可能在第一或第三象限,再根据<0,可知角θ的终边可能在第三或第四象限,故角θ的终边在第三象限. √ 【解题有招】 确定象限角及三角函数值符号的方法 (1)由角α终边所在的象限判断角α的三角函数值的符号问题,要依据三角函数的定义; (2)由三角函数值的符号确定角α在第几象限,先由题中三角函数值的符号分别确定角α的终边位置,进而找出它们的公共部分. 【即学即练】 1.(2026·长沙高一检测)sin 2cos 3的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 【解析】选A.因为<2<π,<3<π,所以sin 2>0,cos 3<0,所以sin 2cos 3<0. √ 2.若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角; 当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0; 当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不合题意. 综上所述,α是第二象限角. √ 类型2 公式一的应用(数学运算) 【典例2】求下列各式的值: (1)sin (-1 320°)cos 1 110°+cos (-1 020°)·sin 750°+tan 495°; (2)sin (-)+cos ·tan 4π. 【解析】(1)原式=sin (-1 440°+120°)·cos (1 080°+30°) +cos (-1 080°+60°)·sin (720°+30°)+tan (360°+135°) =sin 120°cos 30°+cos 60°sin 30°+tan 135°=+-1=0. (2)原式=sin (-2π+)+cos (2π+)tan (4π+0)=sin +cos ×0=. 【解题有招】 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈[0,2π),k∈Z. (2)转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值. (3)求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值. 【即学即练】 cos 540°的值为(　　) A.1 B.0 C.-1 D.不存在 【解析】选C.cos 540°=cos (540°-360°)=cos 180°=-1. √ 类型3 三角函数概念的综合应用(逻辑推理、数学运算) 【典例3】(1)点P(tan 2 025°,cos 2 025°)位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选D.因为2 025°=5×360°+225°,则2 025°为第三象限角, 可得tan 2 025°>0,cos 2 025°<0, 所以点P(tan 2 025°,cos 2 025°)位于第四象限. √ (2)(多选)已知α是第一象限角,则下列结论中正确的是 (　　) A.sin 2α>0 B.cos 2α>0 C.cos >0 D.tan >0 【解析】选AD.由α是第一象限角,得2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以4kπ<2α< π+4kπ,k∈Z,2α的终边在x轴上方,则sin 2α>0,cos 2α的正负不确定;又因为kπ<<+kπ,k∈Z,所以是第一或第三象限角,则tan >0,但cos 的正负不确定. √ √ 【解题有招】 三角函数概念的综合应用 (1)三角函数的概念包括三角函数的定义、三角函数值的符号、诱导公式一; (2)一般先利用诱导公式一转化,再结合三角函数的定义与三角函数值的符号规律解决问题. 【即学即练】 1.已知角α的终边经过点P(3,4t),且sin(2kπ+α)=-(k∈Z),则t=　　　　.  【解析】sin(2kπ+α)=sin α=-<0,则α的终边在第三或第四象限. 又点P的横坐标是正数,所以α是第四象限角,所以t<0. 又sin α=,所以=-,所以t=-. 答案:- 2.已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是　　　　　.  【解析】由cos α≤0,sin α>0可知, 角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上, 所以解得-2<a≤3. 答案:(-2,3] $