第十三章三角形提升卷2026-2027学年上学期人教版八年级数学

**基本信息** 人教版八年级数学第十三章三角形提升卷，涵盖三角形性质、判定及应用，基础与能力提升结合，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、直角三角形判定、高线画法|结合直尺三角板情境，考查空间观念| |填空题|5/15|稳定性、角平分线性质、中线性质|联系生活实例（自行车支架），体现应用意识| |解答题|8/75|等腰三角形计算、方位角应用、新定义“和谐三角形”|分层设计，23题创新定义探究，培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年上学期人教版八年级数学第十三章三角形 提升卷（原卷+详解) 本试卷测试内容：人教版（新课标）八年级上册第十三章 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分)· 1.若有四根木棒，长度分别为3,6,8,10（单位：cm),从中任意选取三根首尾顺次连接围 成不同的三角形，下列不能围成三角形的是( ）. A.6,8,10 B.3,6,8C.3,8,10 D.3,6,10 2.在具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ） A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=3∠C 3.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是( B 4.如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是( 第1页，共1页 H A◇ A. B. ▣ H A 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E,∠BAC=60°， ∠ABE=25°，则∠DAC的大小是( ）. A.15 B.20° C.25° D.30° 6.如图，在△ABC中，D,E,F分别是BC,AD,CE的中点，SAAc=4Cm,则S△BEF等于 ( A.2cm2 B.1cm2 C.1。 D. cm 1 第2页，共1页 7.将直尺和三角板按如图所示的位置放置.若∠1=40°，则∠2度数是( A.60 B.50° C.40° D.30° 8.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD,若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于 A 609 140 C D A.40° B.45° C.50 D.55° 9.如图，△ABC的面积为30cm, AE=ED,BD=2DC,则图中 四边形EDCF的面积等于 E D C A.6cm2 B.8cm2 C.9cm2 D.10cm2 第3页，共1页 10.如图①②③中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4，则∠01+∠02+∠03=( )°. 01 A.84 B.111 C.225 D.201 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分). 11.生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这利用的数学原理是 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D,那么图中以AD为高的三角形共有 个. D 第4页，共1页 13.如图，在△ABC中，B0、C0分别平分∠ABC、∠ACB.若∠B0C=110°，则∠A=一 A B 14.如图所示，已知AD是△ABC 的中线，CE是△ACD的中线， SAACE=4cm,则S△ABc=_ D cm 15.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角形， 则∠BCD的度数为 度 第5页，共1页 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.（本小题9分)用一条长为l8cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长. (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理 由 17.(本小题9分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平 分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数： 第6页，共1页 (2)过点D作DF/IBE,交AC的延长线于点F,求∠F的度数. D 18.(本小题9分)如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北 偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从 C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？ 第7页，共1页 C 北 19.(本小题9分)如图，在△ABC中，AD1BC,AE平分∠BAC,∠B=70°，∠C=30°，求： (1)∠BAE的度数： (2)∠DAE的度数. C 第8页，共1页 20.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠A=72°，∠BCD=31°，CD平分∠ACB (1)求2B的度数： (2)求∠ADC的度数. D 21.（本小题9分)如图所示，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm, BC=10cm,∠CAB=90°.试求： (1)AD的长； (2)△ABE的面积； (3)△ACE与△ABE的周长的差. 第9页，共1页 B 22.(本小题10分)如图，在△ABC中，BD,CD分别是∠ABC,∠ACB的平分线，BP,CP分 别是∠EBC,∠FCB的平分线. (1)已知∠A=30,求∠BDC'∠BPC的度数： (2)不论∠A为何值时，探索∠D+∠P的值是否变化，并说明理由. 第10页，共1页 23(本小题11分)定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的度数的我们 称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”.例如：在△ABC中，如果 ∠A=70,∠B=35,那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC为“和谐三角形”· (1)如图1在△ABC中，∠ACB=90,∠A=60,点D是线段AB上一点（不与A,B重合）？ 连接CD ①△ABC 填“是”或“不是”)“和谐三角形”； ②若CD1AB:请判断△BCD是否为“和谐三角形”，并说明理由： (2)如图2：在△ABC中，∠ACB=60,∠A=80,点D是线段AB上一点（不与A'B重合y 连接CD,若△ACD是“和谐三角形”，请直接写出∠ACD的度数. 第11页，共1页 / 图1 图2 第12页，共1页 答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】D 【解析】 本题考查三角形的内角和等知识。 由直角三角形内角和为180°求得三角形的最大角，再判断形状. 注意直角三角形中有一个内角为90°. 【解答】 解：A中∠A+∠B=∠C,即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形， B中∠A-∠B=∠C,即∠A=∠B+∠C,所以2∠A=180,解得∠A=90.为直角三角形. C中由∠A:∠B:∠C=1:2:3:推出∠C=90,△ABC是直角三角， D选项中∠A=∠B=3∠C即7∠C=180,三个角没有g0角，故不是直角三角形， 故选D. 3.【答案】A 4.【答案】B 【解析】 第13页，共1页 此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键. 直接利用高线的概念得出答案 【解答】 解：A中AH是BC边上的高，不是AB边上的高，故A错误； B中CH是AB边上的高，故B正确； C中AH与AB垂直，但不经过顶点c,所以AH不是边AB边上的高，故C错误； D中BH是AC边上的高，不是边AB边上的高，故D错误.。 故选B 5.【答案】B 【解析】 本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是 解题的关键. 根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE,再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD,然 后根据∠DAC=∠BAC-∠BAD计算即可得解. 【解答】 第14页，共1页 解：.BE平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠ABE=2×25°=50 :AD是BC边上的高， .∴.∠BAD=90°-∠ABC=90°-50°=40， .∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°· 故选B. 6.【答案】B 【解析】 解：·D是BC的中点，S△ABc=4cm2, ∴.S△ABD=SAACD=2cm? :E是AD的中点， S-5m=1cm Saco1cm, .SABEC=SABDE+SACDE=1+1=2cm2 :F是CE的中点， 第15页，共1页 ∴.SABEF 号S6c=1cm· 2 故选B. 7.【答案】B 【解析】解：如图，根据题意可知4A为直角，直尺的两条边平行， B .∠2=∠ACB, .'∠ACB+∠ABC=90°，∠ABC=∠1， ∴.∠2=90°-∠1=90°-40°=50°， 故选B. 如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互 为余角，即可求解 本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质 进行推导. 第16页，共1页 8.【答案】C 【解析】 本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键， 根据三角形外角性质求出∠ACD,根据角平分线定义求出即可. 【解答】 解：：∠A=60°，∠B=40°， .∴.∠ACD=∠A+∠B=100°' :CE平分∠ACD .∴.∠ECD=∠ACE=50· 故选C. 9.【答案】B 【解析】 本题主要考查三角形中线的性质.根据三角形的中线平分三角形的面积和同高的两个三角形面 积之比等于底边长之比来解答即可. 【解答】 第17页，共1页 解：如图 B D 设S△AE=X, AE=ED, .SAFED=S△AFE=X, :△ABC的面积为30cm BD=2DC, ∴.SAABD=2S△ADC,S△BDF=2S△DCF, 5ax-5a4e-号×30=10cm, .S△ABD=20cm, AE=ED, 5-ao=10cm, .S△BFD=10+X, 第18页，共1页 SADCF=10-2x, ∴.10+x=2(10-2x), X=2, 四边形EDCF的面积=SAADC-SAAFE=10-2=8(cm). 故选B. 10.【答案】D 【解析】 本题考查了三角形的内角和、三角形的外角性质、角的平分线及其相关应用. 在图①②③中，分别根据三角形的内角和、外角性质及互补关系推导出∠O1、∠O2、∠O3的 度数，再相加即可得答案. 【解答】 解：.①②③中，∠A=42°，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴@中，22+24-×(1+22+∠3+24到=3×180-42=69，故 2 ∠01=180°-69°=111： ②中，0，=24-22=×[23+∠4)-(21+22]=吃<A=21: 第19页，共1页 ③中，∠ABC+∠ACB=1800-∠A=180-42=138, 则∠1+∠2+∠3+∠4 =180°-∠ABC+180°-∠ACB =180°+180°-138° =222°， 故∠0，=180°-（∠2+∠3）=180°-号×222°=69， .∠01+∠02+∠03=111°+21°+69°=201， 故选D. 11.【答案】三角形具有稳定性 12.【答案】6 【解析】解：：'AD⊥BC于D,且以A为顶点的三角形有6个， :.以AD为高的三角形有6个. 故答案为6 由于AD⊥BC于D,图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为 高的三角形的个数. 此题主要考查了三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键. 第20页，共1页 13.【答案】40 【解析】解：：BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB, ∠0BC-3<ABC,∠0cB-AcB, 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∠B0C=180-(∠0BC+∠0CB=180-∠ABC+∠ACB, .∠A+∠ABC+∠ACB=180, .∠ABC+∠ACB=180°-∠A' ∠B0C=180-1800-∠A=90+2<A, 而4B0C=110, .90°+ ∠A=110° 2 ∴.∠A=40, 故答案为40° 先根据角平分线的定义得到∠O0C-∠ABC,∠0CB=之<ACB,再根据三角形内角和定 理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠B0C=180°-∠ABC+∠ACB,由于 ∠ABC+∠ACB=1B0°-∠A,所以∠B0C=90+号∠A,然后把∠B0C=110代入计算可 第21页，共1页 得到∠A的度数. 本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练进行角度的转换是解题的关键· 14.【答案】16 【解析】解：：CE是△ACD的中线， S&ACD=2 SAACE=8cm2· :AD是△ABC的中线， .S△ABc=2S△AcD=16cm2, 根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC的 面积的一半. 此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分， 15.【答案】60或10 【解析】 本题考查三角形的内角和定理和直角三角形的性质，解决本题的关键是分情况讨论△ACD中 哪个角是90°，不要漏解 【解答】 在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°， 第22页，共1页 ..∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100 .'△ACD是直角三角形 当∠ACD=90°时，∠BCD=LACB-∠ACD=100°-90°=10°， 当∠ADC=90°时，∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°， 综上，∠BCD=60或10 16.【答案】解：(1)设底边长为cm,则腰长为2cm. 依题意，得2x+2x+x=18, 解得x=18 .2x=36 小三角形三边的长为号cm、台om,曾am, (2若腰长为4cm:则底边长为18-4-4=10cm: 而4+4<10，所以不能围成腰长为4cm的等腰三角形. 若底边长为4cm,则腰长为×(18-4)=7cm. 此时能围成等腰三角形，三边长分别为4cm、7cm、7cm. 第23页，共1页 【解析】(1)设底边长为cm,则腰长为2cm,根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求 得各边的长： (2题中没有指明4cm的边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进 行检验. 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论， 不要漏解。 17.【答案】解：(1)：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴.∠CBD=∠A+∠ACB=40°+90°=130°· :BE是∠CBD的平分线， ·∠CBE=-号∠CBD=65: 2 (2).∠ACB=90,∠CBE=65, .∴.∠CEB=∠ACB-∠CBE=90°-65°=25· DF//BE' .∴.∠F=∠CEB=25o. 第24页，共1页 【解析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义，掌握 各定义与性质是解题的关键. (1)先根据三角形外角的性质求出∠CBD=∠A+∠ACB=130,再根据角平分线定义即可求 出∠CBE=5∠CBD=65°； (2)先根据三角形外角的性质得出∠CEB=∠ACB-∠CBE=90°-65=25，再根据平行线的 性质即可求出∠F=∠CEB=25°. 18.【答案】解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30 由AD//BE,得 ∠BAD+∠ABE=180°· 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°· 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90· 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 【解析】A,B,C三岛的连线构成△ABC,所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出 ∠CAB:∠ABC,就能求出∠ACB 第25页，共1页 19.【答案】解：(1).∠B+∠C+∠BAC=180°， .∴∠BAC=180°-∠B-∠C =180°-70°-30° =80°. :AE平分∠BAC .∠BAE=号∠BAC=40O, (2).AD⊥BC' ∴.∠ADB=90 ∴.∠BAD=90°-∠B =90°-70° =20°· .∴.∠DAE=∠BAE-∠BAD =40°-20° =20°· 【解析】(1)利用三角形的内角和定理，先求出∠BAC,再利用角平分线的定义求出∠BAE的 度数： (2利用垂直、三角形的内角和先求出∠BAD'再与1)结合求出DAE的度数. 第26页，共1页 本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识点，掌握三角形的内角和定理及推 论是解决本题的关键. 20.【答案】解：(1).CD平分∠ACB,∠BCD=31°， ..∠ACD=∠BCD=31o .∴.ACB=62o, :,在△ABC中，∠A=72,∠ACB=62, ∴.∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-72°-62°=46 (2在△BCD中，由三角形外角的性质得，∠ADC=∠B+∠BCD=46+31=77 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，准确识图 理清图中各角度之间的关系是解题的关键， (1)根据角平分线的定义求出∠ACB:再利用三角形的内角和等于180列式计算即可得解； (2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 21.【答案】解：（1).∠BAC=90°，AD是边BC上的高， ABAC-BGAD 2 AD-AB-AC-6x8-4.8(cm). BC 10 第27页，共1页 即AD的长为4.8cm, (2):△ABC是直角三角形，∠BAC=90,AB=6cm'AC=8cm' Sa号AB:AC=号x6×8=24cm2 2 又：AE是△ABC的中线， ∴BE=EC' ∴号BEAD-号ECAD,即Sae=Sar .w-w-1cm) △ABE的面积是12cm2: (3小：AE为BC边上的中线， ∴.BE=CE' :.△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm? 即△ACE与△ABE的周长的差是2cm. 【解析】本题主要考查了三角形的三线，三角形的面积，解答此题的关键是弄清三线的定义， (1)根据同一个三角形的面积相等可得号AB·AC-号BC·AD,代入已知数据可求AD的长： 第28页，共1页 (2)先求出△ABC的面积，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得AABE的面积； (3)由中线得到B距=EC,然后将两个三角形的周长相减可得周长差就是线段AC与AB的差。 22.【答案】解：(1)已知BD,CD是内角平分线， .∠A=30, .∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-30°=150， ∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB)=×150=75, .∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB)=180°-75°=105°， 又：'∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB)=360°-150°=210°， :BP'CP是∠ABC'∠ACB的外角平分线， ∠CBP+∠BCP=∠CBE+∠BCF)=105, .∴.∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP)=180°-105°=75 (2)不变，∠D+∠P=180 ,'∠ABC+∠EBC=180,∠ACB+∠BCF=180°， BD'CD是内角平分线， ∠DBC=克<ABC,∠DCB=号∠ACs, 2 第29页，共1页 :BP'CP是∠ABC,∠ACB的外角平分线， :∠PBC=号∠EBC,∠PCB=号 ∠FCB, ∠DBP=∠DBC+∠PBC=∠ABC+∠EBC)=90, ∠DCP=∠DCB+∠PCB=(∠ACB+∠FCB=90°， 在四边形DBPC中，∠D+∠DBP+∠P+∠DCP=360°， .∴.∠D+∠P=180°· 【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等，熟练进行角度的和差计算是解题的 关键此类题解答的关键是利用角平分线的定义.重点是运用内角和定理求出∠BDC,∠BPC, (1)已知BD'CD是内角平分线，∠A为30，可利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB? 再根据角平分线定义求出∠BDC,∠BPC即可. (2本题考查的是三角形内角和定理.因为BD'CD是内角平分线，BP,CP是∠ABC ∠ACB的外角平分线，又因为∠ABC+∠EBC=180,∠ACB+∠BCF=180,即可求出 ∠D+∠p的值不变. 23.【答案】【小题1】 解：①是②△BCD为“和谐三角形”，理由如下： 第30页，共1页 .:∠ACB=90,∠A=60°， .∴.∠B=30 .CD⊥AB' ∴.∠BDC=90 .∴∠BCD=60, 在△BCD中，∠BCD=60°，∠B=30°， BCp. .△BCD为“和谐三角形”. 【小题2】 ∠ACD的度数为40或100· 3 若△ACD是“和谐三角形”，由于点D是线段AB上一点（不与A,B重合）， 则∠ACD号∠A或∠ACD=号∠ADC. 第31页，共1页 当∠ACD=2∠A时，∠ACD=2∠A=40': 当∠ACD=)∠ADC时，∠A+3∠ACD=180, 即3∠ACD=100°， ∴.∠ACD= 100。 3· 综上，∠ACD的度数为40或100 。. 3 第32页，共1页