第十三章 三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第十三章三角形能力提升单元卷，融合多地期末及中考真题，覆盖三角形核心知识，梯度设计合理，适配单元复习，助力提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、角平分线、中线|第5题以折叠椅为情境，体现几何直观；第7题结合起重机旋转，培养空间观念| |填空题|6/18|稳定性、外角性质|第12题网红桥钢架结构，渗透应用意识；第16题折叠问题，发展抽象能力| |解答题|9/72|新定义探究、重心性质|第23题“梦想三角形”定义探究，提升推理能力；第25题重心性质综合题，贴合中考命题趋势，强化创新意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章三角形能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 0 A D 0 0 B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.40° 12.稳定性 13.30 14.36°36度 4 15.7 16.75或15或105 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分，第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：a,b,c是△ABC的三边长 且a=2,b=5」 .5-2<c<5+2,即3<c<7, c是奇数， c=5, ..b=c .△ABC是等腰三角形：3分 (2)解：，a,b,c是△ABC的三边长 ..a-b<c,b-c<a,c-a<b. .a-b-c<0,b-c-a<0,c-a-b<0. ∴.原式=-a+b+c+(-b)+c+a+(-c)+a+b =a+b+C..6分 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18 【详解】(1)解：：AE是△ABC的中线，BE=5, ∴.BC=2BE=2×5=10 △ABC的面积为20，AD是△ABC的高， 1BC.AD=5AD=20, AD=4.3分 (2)解：：∠BFE=∠BAE+∠ABF,且∠BFE=45°，∠BAE=30° ∠ABF=15°， :BF是△ABE的角平分线， ∠ABE=2∠ABF=30°， ∴.∠AED=∠ABE+∠BAE=60°， :AD是△ABC的高， .∠ADE=90°. .∠AED+∠EAD=90°， ∴.∠EAD=90°-∠AED=90°-60°=30° :AD平分∠CAE, ∠CAD=∠EAD=30°， .∠C=90°-∠CAD=60°..6分 19. 【详解】(I)解：CD是∠ACB的平分线， 24CD-4CB=5×56=28 2 :BE⊥AC,则∠CEF=90° 在RtACEF中，∠EFC=90°-∠ACD=90°-28°=62°， ∠DFB=∠EFC=62°；3分 (2)解：：CD是∠ACB的平分线， ∠ECF=1∠ACB=x56°=280 21 2 BE⊥CD, .∠CFE=90°， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CEB=90°-∠ECF=62° ∠ABE=∠CEB-∠A=62°-50°=12°.6分 20. 【详解】(1)解：∠A=25°，∠B=40°， .∠ACF=∠A+∠B=25°+40°=65°； :DF⊥AC, .∠CEF=90°」 ∠F=180°-∠CEF-∠FCE=180°-90°-65°=25°，2分 (2)∠A+∠B+∠F是定值，定值为90°. :∠ACF是△ABC的外角， ∠ACF=∠A+∠B: DF⊥AC, .∠CEF=90° :∠F+∠CEF+∠FCE=180°、 .∠F+90°+∠FCE=180°， ∴.∠F+∠FCE=90° ∴.∠A+∠B+∠F=90° 即∠A+∠B+∠F是定值，定值为90°.6分 21」 【详解】(1)解：，AE是边BC上的高， .∠AEB=90° .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=60°， ∠DAE=20°， .∠BAD=∠BAE-∠DAE=40°， ,AD是∠BAC的平分线， .∠BAC=2∠BAD=80°」 .LC=180°-∠B-∠BAC=70°.4分 (2)∠C-∠B=2∠F,理由如下： AE是边BC上的高， .AE⊥BC,∠AEB=90°， 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=90°-∠B .∠BAD=∠BAE-∠DAE=90°-∠B-∠DAE. ,AD是∠ABC的平分线， .∠BAC=2∠BAD=180°-2∠B-2∠DAE, ∠C=180°-∠B-∠BAC=∠B+2∠DAE, FG⊥BC,AE⊥BC, FG∥AE .∠F=∠DAE, .∠C=∠B+2LF,即∠C-∠B=2LF.8分 22. 【详解】（①）：∠A+∠D=180°-∠AED,∠B+∠C=180°-∠BEC, 又∠AED=∠BEC. LA+∠D=LB+∠C;2分 (2)设∠ABF=Q,设BF与CD交于点G, A G :AF⊥BF, .∠FAB=180°-90°-a=90°-a, AE平分∠DAF, ∴.∠DAB=∠FAB=90°-a, .AD∥BC, .∠ABC=∠DAB=90°-a, .∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°-2a, AF∥CD ∴.∠BGE=∠F=90°， .∠BGC=180°-∠BGE=90°， .∠C=180°-90°-∠CBF=2a,即∠C=2∠ABF;5分 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠M+2∠N=180°，理由如下： 设∠DAN=∠1，∠DCN=∠2， :AN平分∠BAD,CN平分∠BCD, ∴.∠DAE=2∠1，∠BCE=2∠2， ,AD∥BC, .∠ADE=∠BCE=2∠2， 由(1)的结论得∠DAN+∠ADC=∠DCN+∠N,即∠I+2L2=∠2+∠N, .∠N=∠1+∠2， 在△AED中， ∠AED=180°-（∠EAD+∠EDA)=180°-2（∠1+∠2） .DM⊥AB,BM⊥CD 由四边形内角和定理知∠M=360°-90°-90°-∠AEC=180°-∠AEC=∠AED, :∠M=180°-2(1+22) .∠M=180°-2∠W, .∠M+2∠N=180°.8分 23」 【详解】(1)解：，AB⊥OM, .∠OAB=90°. ,∠MON=60°，即∠AOB=60°， ∠ABC=180°-90°-60°=30°， .∠OAB=3∠ABC, .△AOB是“梦想三角形”； .∠ACB=80°， .∠AC0=180°-80°=100° .∠0AC=180°-100°-60°=20°， ,∠AOB=3∠OAC. .△AOC是“梦想三角形”；2分 (2)解：：DE平分∠ADC, ∴.∠ADE=∠FDE, 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..EF AB. ∴.∠ADE=∠DEF, ∴.∠ADE=∠FDE=∠DEF, .∠BDC=180°-∠ADE-∠FDE=180°-2∠DEF, .∠B=∠DEF, ∴.∠BDC=180°-2∠B ∠BCD=180°-∠B-(180°-2∠B)=∠B ,△BCD是“梦想三角形”， 当3∠B=∠BDC,即3∠B=180°-2LB,解得LB=36°， 此时△BCD中∠B=∠BCD=36°，∠BDC=108°，满足条件： 当3∠BDC=∠B,即3(180°-2∠B)=∠B,解得2B ∠B=∠BCD= 此时△BCD中 满足条件： 540 综上，∠B的度数为36°或7 ;5分 (3)解：如果一个“梦想三角形”有一个角为72°， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为x,y, 则有x+y=180°-72°=108° 当3x=72°时，解得x=24°， 此时y=84°，故最小内角的度数为24°： 当3×72°=x时，解得x=216°>180°，不满足题意： 当3x=y时，则有x+3x=108°，解得x=27°， 此时y=81°，故最小内角的度数为27： 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为24°或27°.8分 24. 【详解】(1)解：①：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∠PBC=∠ABC,∠PCB= 1 ∠ACB 2 2 ∠BPc=180-(☑P8c+∠Pc8)=180p-4Bc+∠Ac8=180-5080-Z0=180-5080-a=90+5a 2 当a=70时、∠BC=0+0=125, ②由①可知，∠BPC=90°+1a +20.4分 (2)解：'∠MBC=∠A+∠ACB,∠NCB=∠A+∠ABC, .∴∠MBC+∠NCB=2∠A+∠ABC+∠ACB=180°+a」 :点Q是△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线的交点， ZOBC-ZMBC.Z0CB-INCB. 20c+20c8-wnc+∠c到-080r+a=0+a. 20c-1m-u0c+40c8r-w-w0.5分 1) (3)解：：∠A+∠ABC+∠ACB=180° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-a :∠ABC=n∠PBC,∠ACB=nLPCB, ∴∠PBC+∠PCB=1(LABC+∠ACB)=180°-& n ÷∠BPC=l80°-（∠PBC+∠PCB)=I-l180°+a n 由(2)可知，∠MBC+∠NCB=180°+a, .∠MBC=n∠QBC∠NCB=n∠QCB 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠QBC+∠QCB=上（∠MBC+∠NCB)=180°+C n ∠B0C=180°-(QBC+∠QCB)=n-l180°-a .12分 25. 【详解】(1)解：：AD是三角形ABC的中线， .BD=CD, :△ABD和△ACD的底边分别是BD和CD,它们共用同一个顶点A, .它们的高相等，设为h, S。A8D=2 x BDxh=-2×DC×h=S.4cD.3分 ②5aao=S,cc,理白如下 :点G是△ABC的重心， :.BF-AF-1AB,AE-EC-TAC, 2 2 :△BCF和△ABC同高，设高为H, 1 11 .S.wcr-7xBFxH-7 22 2 同理得S8cE=2SAc,】 1 .S.cF=S.nCE=7S.c S.BCF-S.BGc=S.BCE-S.BGC S△BFG=SAGEC ;.6分 (3)解：点G是△ABC的重心， BD-DC-BC, :△ADC和△ABC同高，设高为a, 1 11 ∴S.4c=)×CDxa=)×)×BCxa= 2 22 2 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ...c 2 S.BDG=S.AEG 同理：：△BDG,△GDC等底同高，△CGE,AAEG等底同高， S.BDG=SGDC SACGE=SAAEG SAAGC=2SAGDC DG 1 AG2·9分 (4)解：如图，连接AG交BC于点M, y 1D 是 的重心， B .·G△ABC DG GM 1 :由(3)可得出，BG=AG2,AE=BE'AD=DC, 设DG=x,BG=2x, BGBG 2x=2 ∴.BDBG+GD2x+x3' CG AG 2 GM AM-AG 1 同理得CE=AM3,AMAM3' BD=6,CE=4, BG=4,CG-=8 BD⊥CE, 1 816 .SaGc=BGCG=×4× 2 33’ :△AGE,△ABG 同高， .设它们的高为b, 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.=Exb,S.4m-ABxb,HAE=BE=IAB, 1 1 2 2 :.S.oq-ABxb-x2AExb-2xxAExb-25.ao, 1 1 2 2 2 :△ABG、△BGM和△ABM同高，设高为C, .S4BG= AGxe,GMxe,wAMxe, 1 2 2 AG2 AM 3, 1 12 _2x1 2xAM×C=3×2 2 S。ABG= ×AM×c= 2 S.BGM -GMxc-1x 12 1 2AGxenmwS.am S4BG=2S4EG 1 1 .S.AEG S.APG7X3 S.AaM= 同理可得， SADG =S.CGM &S边oSo+So=Say+Scoy车Sc6.a2分 10/10命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26七年级下·山西临汾期末)若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是() A.1 B.2 C.12 D.7 2.(25-26七年级下·山西长治期末)下列各组线段中，不能组成三角形的是() 2cm,(a+2)cm,(a+3)cm(a>0) B.3cm,8cm,10cm C.6cm,6cm,6cm D.三条线段之比为1：2：3 3.如图，在RtABAC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,BC=5,则点A到BC边的距离是() c号 24 A.6 B.8 D.5 4.在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于E,∠B=30,∠ACB=80°，则∠DCE的度数为() A.10° B.15° C.20° D.25° 5.(2026江苏扬州中考真题)图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，EF∥BC, ∠AGE=120°，∠DCB=70°，则∠BDC=() 118 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 120°/ E G 70%C 图1 图2 A.50 B.60° C.70° D.80° 6.(25-26七年级下四川乐山期末)如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，若△ABC的面积为 24,则△ABE的面积为() A.12 B.8 C.6 D.4 7.(25-26七年级下·河南南阳·期末)如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角 ∠ABC=120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线.物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转 一定的角度并伸长，此时∠ABD=2LCBD,∠BDC减小了10°，则△DBC的外角∠DCE的变化情况为 () 支撑臂 Y2 机械臂 操作台 B C E A.增大10° B.减小10° C.增大30° D.减小30° 8.(25-26七年级下·重庆北碚期末)已知x,y,z为三角形的三边长，且满足 3x-3》+少-2+2y=x-y-+Vc+y-2,则以x,'为边长的等腰三角形的周长为（) A.5 B.7 C.8 D.7或8 9.如图，已知在△ABC中，∠A=50°，现将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经 过点B,C,直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=() 218 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.100° B.60° C.50° D.40° 10.(25-26七年级下·江苏南通期末)如图，C为线段AB上一点，分别以AC,BC为边在线段AB同侧 作△ACD和△BCE,且∠D=∠E=2LDAC=2LEBC.若∠DAC的平分线与LECB的平分线交于点F,则 ∠DCE与∠F的数量关系为() 0 A.∠DCE=∠F B.∠DCE+3∠F=90° C.∠DCE+4∠F=180° D.∠DCE+6∠F=360° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.在△ABC中，己知∠A+∠B=100°，∠C=2∠A,则∠A= 12.(25-26七年级下·山西长治期末)如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用 三角形钢架结构，这是利用了三角形的 13.(25-26七年级下江苏泰州期末)如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠A=∠B,∠ACD=60°，则 ∠A= D 14.(25-26七年级下·福建漳州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,点D在射线BC上，∠ABC 和∠ACD的角平分线相交于点E,若∠ECD=3∠E,则∠A的度数为 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15.(25-26七年级下·山西长治期末)如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC=3DB,连接AD,E为 AD边上的中点，连接CE并延长交AB于点F,G为CE上一点，且EC=4GC,已知△GDC的面积为1， 则△AEF的面积为， B D 16.(25-26七年级下江苏南京期末)折叠△ABC纸片，使点B,C均与点A重合，折痕交直线BC于点 D,E.若∠DAE=30°，则∠BAC=°. 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.已知a,b,c是△ABC的三边长，且a,b,c都是整数. (I)若a=2,b=5,且c是奇数，试判断△ABC的形状： (2化简：a-b-c+b-c-a4+e-g- 18.如图，在△ABC中，AE,AD分别是△ABC的中线和高，BF是△ABE的角平分线. (1)若△ABC的面积为20，BE=5,求AD的长： (2)若AD平分∠CAE,∠BFE=45°，∠BAE=30°，求∠C的度数. 19.如图，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，BE交CD于点F,∠ACB=56, 418 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B D B 图1 图2 (I)若BE⊥AC,求∠DFB的度数： (2)若BE⊥CD,∠A=50°，求∠ABE的度数 20.(25-26七年级下·江苏连云港期末)如图，在△ABC中，D是AB边上的动点，过点D作DF⊥AC交 AC于E,交BC的延长线于点F. D B (1)若∠A=25°，∠B=40°，则∠FCE=°，∠F=°； (2)在D点运动的过程中，探究∠A+∠B+∠F是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由。 21.在△ABC中，∠C>∠B,AE是边BC上的高，AD是∠BAC的平分线. D E 图① 图② (1)如图①，若∠DAE=20°，∠B=30°，求∠C的度数： (②)如图②，若F是AD的延长线上一点，FG⊥BC于点G,试探究∠F与∠C,∠B之间的数量关系，并 说明理由。 22.(25-26七年级下福建泉州期末)如图1，AB与CD交于点E, 518 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)求证：∠A+∠D=∠B+∠C: (2)如图2，AD∥BC,AF∥CD,AE平分∠DAF,AF⊥BF,求证：∠C=2∠ABF: 3)如图3，AD∥BC,AN平分∠BAD,CN平分LBCD,AN与CN交于点N,DM⊥AB,BM⊥CD, DM与BM交于点M,试探究∠M与∠W的数量关系，并证明你的结论， 23.阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这 样的三角形我们称为“梦想三角形”.例如，一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个 三角形就是一个“梦想三角形”·反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中 一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍 M D E 图1 图2 (1)如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A,作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线 AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合)，若∠ACB=8O°，则△AOB“梦想三角形”， △AOC “梦想三角形”（均填“是”或“不是”）： (2)如图2，点D在△ABC的边AB上，连接CD,DE平分∠ADC交AC于点E,作EF‖AB交DC于点F, ∠B=∠DEF.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数： (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 24.(25-26七年级下·福建泉州期末)数学探究 在△ABC中，已知∠A=Q. 618 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P ①当a=70°时，∠BPC=°：（直接写出结果） ②∠BPC的度数为一；（用含的代数式表示） (2)如图2，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q.求 ∠BQC 的度数.（用含的代数式表示） (3)如图3，点M,V分别为AB,AC延长线上的一点，点P,Q分别在△ABC内部和外部，且满足 ∠ABC=nLPBC∠ACB=nLPCB∠MBC=n∠QBC∠NCB=nZOCB ∠BPC∠BQC ·分别求 的度 数.（用含、n的代数式表示） 25.(25-26七年级下·四川资阳期末)综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 态 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ 图① 图② 图③ 图④ (①)如图@，AD是△1BC的中线，则AABD与△ACD 面积关系为： S4m(填、<或)： (2)如图③，点G是△ABC的重心，猜想△BFG与△CEG的面积之间的关系，并说明理由； 718 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，点G是△ABC的重心，三条中线AD、BE、CF分别交BC、AC、AB于点D、E、F,求 DG AG的值： (4)如图④，点G是△ABC的重心，且BD⊥CE,若BD=6,CE=4,求四边形AEGD的面积. 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（   ） A．1 B．2 C．12 D．7 2．（25-26七年级下·山西长治·期末）下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 3．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 4．在中，平分于E，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 8．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 9．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，已知，，则________． 12．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 14．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 15．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________． 16．（25-26七年级下·江苏南京·期末）折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 19．如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． (1)若，，则 ， ； (2)在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 21．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 22．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 24．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 25．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十三章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·山西临汾·期末）若三角形的两条边长分别为5和7，则第三边的边长可能是（   ） A．1 B．2 C．12 D．7 【答案】D 【分析】本题利用三角形三边关系定理，根据三角形三边关系：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，先求出第三边的取值范围，再判断符合范围的选项即可． 【详解】解：设第三边的边长为， ∵三角形已知两边长为5和7， ∴，即， 观察选项，只有选项D的7满足，故选D． 2．（25-26七年级下·山西长治·期末）下列各组线段中，不能组成三角形的是（     ） A． B． C． D．三条线段之比为 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边之和是否大于最长边，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项B：较小两边为和，和为，最长边为，，满足三边关系，能组成三角形，不符合题意． 选项C：三边均为，较小两边和为，，满足三边关系，能组成等边三角形，不符合题意． 选项D：设三条线段长分别为，较小两边和为，等于最长边，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意． 3．如图，在中，，，，，则点到边的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据即可求出点到边的距离． 【详解】解：作，如图， ， ， ． 4．在中，平分于E，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·江苏扬州·中考真题）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 7．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 【详解】解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 8．（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 9．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．若的平分线与的平分线交于点，则与的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据三角形内角和定理表示出，根据平角的定义表示出，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出，结合选项，即可求解． 【详解】解：∵，， 设 ∴ 又∵ ∵的平分线与的平分线交于点， ∴， ∴ ∴ 即． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在中，已知，，则________． 【答案】 【详解】解：在中，， ， 又， ． 12．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 14．（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，点在射线上，和的角平分线相交于点，若，则的度数为______． 【答案】/36度 【分析】利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导与的数量关系，再结合已知倍数关系列方程求解． 【详解】解：∵平分， ∴, ∵， ∴, ∵平分， ∴． 由三角形外角性质可知，，, ∴, ∴, ∵， ∴, 又∵, ∴，即, ∵， ∴, 在 中，∵， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，点在上，且，连接，为边上的中点，连接并延长交于点，为上一点，且，已知的面积为1，则的面积为__________． 【答案】 【分析】设的面积为，连接，由，结合等高三角形的面积比与底边的比有关可得，为边上的中点，求得，，得到，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设的面积为，连接， ∵，， ∴， ∵为边上的中点， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得， 即的面积为． 16．（25-26七年级下·江苏南京·期末）折叠纸片，使点，均与点重合，折痕交直线于点，．若，则______． 【答案】或或 【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理，外角的性质，分三种情况讨论：当为锐角时，若点，在边上；若点在边的延长线上；当为钝角时；即可求出的度数． 【详解】设． 分三种情况讨论： 当为锐角时， 若点，在边上， 根据折叠的性质，可得，， ∴， ∵， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， 解得； 若点在边的延长线上， 根据折叠的性质，可得，， ∴，， ∴， 解得； 当为钝角时， 根据折叠的性质，可得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上所述，的度数为或或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】(1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． 【详解】（1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 19．如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ，则． 在中，， ； （2）解：∵是的平分线， ． ∵， ∴， ， ． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． (1)若，，则 ， ； (2)在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)是定值，定值为 【分析】（1）根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理求得； （2）根据三角形的外角的性质可得；根据得出．即可得出． 【详解】（1）解：，， ； ， ， ， （2）是定值，定值为． 是的外角， ； ， ， ， ， ． ， 即是定值，定值为． 21．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 22．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 【答案】(1)是，是 (2)的度数为或 (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． 24．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) (3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 25．（25-26七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $