2.2 基本不等式（六大题型）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式的概念理解与应用，通过六类题型构建从比较大小、证明到各类最值求解的递进式训练，突出知识逻辑与题型覆盖的系统性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较大小|4题（选择/填空/解答）|直接应用基本不等式比较代数式大小|从概念理解到简单应用，培养抽象能力| |证明不等关系|4题（选择/填空/解答）|构造不等式进行逻辑推理证明|强化推理意识，构建数学逻辑链条| |求积的最大值|4题（选择/填空/解答）|已知和定条件求积的最值|体现“和定积最大”原理，发展模型意识| |求和的最大值|4题（选择/填空/解答）|已知积定条件求和的最值|体现“积定和最小”原理，深化应用意识| |商式最值|4题（选择/填空/解答）|二次与一次（或二次）商式的最值求解|需代数式变形，培养数学思维灵活性| |条件等式求最值|4题（选择/填空/解答）|含条件等式的多元最值问题|综合应用“1”的代换等技巧，提升问题解决能力|

2.2 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 1．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由，利用的符号判断A、B，化并应用基本不等式判断C、D. 【详解】已知，， 由于均为正数，和也都大于0 ，则， 判断正负可以转为判断正负. ， 因为，，所以恒成立， 即，又，所以，B正确，A错误； ，因为均为正数，所以， 将分子和分母同时除以：， 对于分母，由，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故，C正确，D错误. 3．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 【答案】≤ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 4．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 题型二 由基本不等式证明不等关系 5．已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解选项A；利用作差法比较大小求解选项B,C,D. 【详解】因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 6．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 7．已知都是正实数，若，则则与的大小关系是__________． 【答案】 【分析】根据题意，结合基本不等式，求得，，，再利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 所以， 同理可得，， 所以， 即，即. 故答案为：. 8．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 题型三 基本不等式求积的最大值 9．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 10．已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 11．已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 12．已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 题型四 基本不等式求和的最大值 13．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 14．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 15．已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）4. 【分析】（1）应用基本不等式计算求解； （2）化简应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】（1）. 当且仅当，即时，等号成立， 因此的最小值为. （2）. . 4. 当且仅当，且，即且时，等号成立， 因此的最小值为4. 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 17．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 18．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】凑“积”为定值后利用基本不等式判断A；分和两种情况结合基本不等式可判断B；作差后转化为完全平方式可判断C；根据得到，再根据基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，则， 当且仅当，即时等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AC. 19．若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 20．利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. 题型六 条件等式求最值 21．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 22．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D．（a+）（b+）≥ 【答案】ACD 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由（a+）（b+）=ab+，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； （a+）（b+）=ab++2，令，则．函数在（0，]上单调递减， 所以在（0，]上的最小值为f（）=+4+2=. 所以（a+）（b+）≥，当且仅当时，等号成立，故D正确． 23．已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 24．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 题型一 由基本不等式比较大小 1．已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 4．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 题型二 由基本不等式证明不等关系 5．已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知都是正实数，若，则则与的大小关系是__________． 8．(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 题型三 基本不等式求积的最大值 9．已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知实数，满足，则的最大值为________． 12．已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 题型四 基本不等式求和的最大值 13．已知，则 的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 15．已知，，且，则的最小值为____________. 16．（1）已知，求的最小值； （2）已知，且，求的最小值. 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 17．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 18．下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．若，则的最大值是______． 20．利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 题型六 条件等式求最值 21．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．已知，，且，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值是 B．的最小值是10 C．的取值范围是 D．（a+）（b+）≥ 23．已知，均为正数，若，则最小值为________. 24．设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $