周周测03 2.1-2.2等式、不等式性质与基本不等式（数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 高一数学周测聚焦等式与不等式性质，通过基础辨析（如单选3不等式成立条件）、应用拓展（如解答题19冬奥会海报设计），融合推理能力与应用意识，适配周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式性质、基本不等式|结合参数范围考查抽象能力| |多选|3/18|命题真假判断|通过多选项辨析推理意识| |填空|3/15|最值计算|设置变量约束强化模型观念| |解答|5/77|比较大小、证明、实际应用|19题以冬奥会宣传为情境，体现数学语言表达现实世界|

2026-2027学年高一上学期数学周周测03 2.1-2.2等式、不等式性质与基本不等式 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，得，则，而， 则，又，于是，， 所以的取值范围是. 故选：C 2．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 3．如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 4．下列不等式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差比较大小判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，，当时，，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：D 5．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，，将代数式与相乘，展开后可求出的最小值. 【详解】因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：B. 6．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 7．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 8．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数、满足， 等式两边同乘以可得， 所以，， 因为，解得，当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】AD选项，可举出反例；B选项，作差法比较出大小；C选项，利用不等式的性质得到C正确. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，若，则，故， 所以，B正确； C选项，若，则，故，C正确； D选项，不妨设，满足，但，D错误. 故选：BC 10．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取，可判断A；利用分析法证明不等式可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则与题意不符，故A选项错误； 对于B选项，要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明 因为，， 所以，符合题意，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，根据基本不等式，， 当且仅当时取得等号，故D选项错误. 故选：BC. 11．已知，并且满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则ab的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为9 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式 求解判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，， ，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，而，则， 于是，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的最小值为 __________． 【答案】9 【分析】变形，展开，然后利用基本不等式求解. 【详解】 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为9， 故答案为：9 13．已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 14．若均大于0，且满足则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】由可得，再结合基本不等式即可求得结果. 【详解】因为，则， 所以 当且仅当时，即时，等号成立 故答案为: 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 【答案】(1) (2)最小值为9 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可； （2）根据题意利用基本不等式可得，解不等式即可得结果. 【详解】（1）因为， 因为，，则， 可得， 所以. （2）由，得， 因为，即，整理可得， 且，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 故ab的最小值为9． 16．已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 17．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【详解】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 18．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件． (1)若，则； (2)若，则． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）讨论和两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可. 【详解】（1）证明：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． （2）证明：因为，当时，， 当且仅当时等号成立． 当时，， 当且仅当时等号成立． 综上，若，则成立，当且仅当时等号成立． 19．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为. (1)当时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】(1) (2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少． 【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解； （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为， 则梯形长的底边， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， ，， 故海报面积为． （2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为， ， 海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为， 海报宽，海报长， 故， 当且仅当，即， 故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测03 2.1-2.2等式、不等式性质与基本不等式 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，得，则，而， 则，又，于是，， 所以的取值范围是. 故选：C 2．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 3．如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 4．下列不等式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；作差比较大小判断D. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，，当时，，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：D 5．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 6．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】举例说明，即可判断AC；根据基本不等式计算即可判断BD. 【详解】对A：当时，，所以的最小值不为4，故A不符合题意； 对B：， 当且仅当即时等号成立，但无解，故B不符合题意； 对C：当时，，所以的最小值不为4，故C不符合题意； 对D：，当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D符合题意. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】取，可判断A；利用分析法证明不等式可判断B；利用基本不等式可判断CD. 【详解】对于A选项，若，则与题意不符，故A选项错误； 对于B选项，要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明 因为，， 所以，符合题意，故B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 所以， 所以，当且仅当即时等号成立，故C选项正确； 对于D选项，因为，根据基本不等式，， 当且仅当时取得等号，故D选项错误. 故选：BC. 8．已知，并且满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则ab的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为9 D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式 求解判断AB；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用二次函数求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，， ，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，当时，，而，则， 于是，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式可得何时取何最大值. 【详解】， 当且仅当即时等号成立， 故的最大值为，此时， 故答案为：，. 10．若均大于0，且满足则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】由可得，再结合基本不等式即可求得结果. 【详解】因为，则， 所以 当且仅当时，即时，等号成立 故答案为: 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知，.比较与的大小； (2)已知，，且.①求的最小值；②若恒成立，求的最大值. (3)设，，.证明：； 【答案】(1) (2)① ② (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意利用作差法分析证明即可；（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可.（3）先根据表示出，结合的符号可证结论； 【详解】（1）因为， 因为，，则， 可得， 所以. （2）①根据题意利用基本不等式由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； （2）②由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. (3)证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测03 2.1-2.2等式、不等式性质与基本不等式 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列不等式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 7．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知，并且满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则ab的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为9 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 10．若均大于0，且满足则的最小值为_________． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(1)已知，.比较与的大小； (2) 已知，，且. ①求的最小值； ②若恒成立，求的最大值. (3)设，，.证明：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测03 2.1-2.2等式、不等式性质与基本不等式 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．下列不等式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C．当时， D． 8．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，并且满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则ab的最大值为 B．若，则的最小值为 C．若，则的最小值为9 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若，则的最小值为 __________． 13．已知，则的最大值为______，当且仅当______时，等号成立. 14．若均大于0，且满足则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，. (1)比较与的大小； (2)若，求ab的最小值. 16．已知，，且. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 17．设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 18．证明下列不等式，并讨论等号成立的条件． (1)若，则； (2)若，则． 19．为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为. (1)当时，求海报纸的面积； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $