3.3相似三角形判定定理的证明同步练2026-2027学年数学九年级上册北师大版

**基本信息** 以“三级达标”分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合拓展的梯度，系统强化相似三角形判定定理应用，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级双基过手|相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）、直角三角形相似判定|基础填空、选择及简单证明，如矩形中相似计算，夯实概念应用| |B级能力提升|平行四边形、正方形中相似综合应用|动态几何（动点问题）、多步推理计算，如正方形中∠EAF=45°的最值探究，发展转化思想| |C级综合拓展|四边形中相似与面积、角度综合|跨知识综合题，如含∠ABC+∠ADC=90°的四边形面积计算，提升创新意识与综合应用能力|

第三章 图形的相似 第三节 相似三角形判定定理的证明 今日复习 1.(1)平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得三角形的三边与原三角形的三边 。 (2)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 . 2.相似三角形的判定定理： (1) 对应相等，两个三角形相似. (2) 对应成比例且 相等，两个三角形相似. (3) 对应成比例，两个三角形相似. 3.直角三角形相似的判定定理： (1)直角三角形被斜边上的 分成的两个直角三角形和原三角形相似. (2) 和一条 边对应成比例，两个直角三角形相似. 名师点拨 1.相似三角形判定定理的证明方法：构造法——全等+“A”(或“X”)字形相似. 2.相似三角形判定定理的证明思路体现了转化思想.“AA”证明，转化为用相似定义证明;“SAS”证明,转化为用“AA”证明;“SSS”证明,转化为用“SAS”证明. 课时三级达标 A级双基过手 1.若 则 2.(1)如图,在矩形ABCD中,AB=2, E为CD 的中点，连接AE,BD交于点 P,过点 P 作PQ⊥BC于点Q,则PQ= . (2)(2026·编写)如图,在△ABC中,点D是线段BC 的黄金分割点(DC>BD),若△ABD的面积是 则△ABC的面积是 . 3.(2026·编写)如图,在矩形 ABCD 中,点E,F分别在BC,AD上,四边形ABEF是正方形,矩形 ABCD∽矩形 ECDF,AD=2,则DF 的值为 . 4.(2026·编写)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AB 边的中点,AF⊥CD于点E,交 BC于点F,连接DF,则图中与△ACE 相似的三角形共有 个. 5.(2026·编写)已知 abc≠0,且 则k 的值为 ( ) A.2 B.-1 C.2或-1 D.3 6.(2026·编写)如图,在△ABC中,∠A=60°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是 ( ) 7.(2026·编写)如图,在正方形 ABCD中,E为AD 边上的一个动点(点E与点A，D不重合),∠EBM=45°,BE交对角线AC 于点F,BM交对角线AC 于点G,交CD 于点M，下列结论中错误的是 ( ) A.△AEF∽△CBF B.△CMG∽△BFG C.△ABF∽△CBG D.△BDE∽△BCG 8.(2026·编写)如图,在四边形ABCD中,已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 ( ) A. CA平分∠BCD D.∠DAC=∠ABC 9.(2026·编写)如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，BC于M，N两点；②以点M和点N为圆心，大于 MN长为半径作弧，两弧交于点 P；③作射线 BP 交AD 于点E,过点 E 作EF⊥BE交BC 延长线于点 F.若 AB=4, BC=5,求 CF的长. 10.(2026·编写)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是边DC 上一点,连接AE,F为AE 上一点，且∠BFE=∠C, 求证:△ABF∽△AED. B级 能力提升 11.(2026·编写)如图,在□ABCD中,AB=1,AC=4 ，对角线AC与BD 相交于点O,E是BC的中点,连接AE交BD 于点F.若AC⊥AB,则 FD的长为 . 12.(2026·编写)如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB =6,BC=3,BD 是△ABC的中线,过点 C作CP⊥BD 于点P，则图中阴影部分的面积为 . 13.(2025·武侯)如图,在▱ABCD中,AB=10, 对角线 AC与BD 相交于点O,过点 O作OE⊥BD交DA 的延长线于点E，交AB于点F.若 则对角线 BD 的长为 . 14.(2026·编写)如图,在正方形ABCD中,点 E,F在射线BC 上,∠EAF=45°,求 的最大值. C级综合拓展 15.(2026·锦江)如图,在四边形ABCD中,对角线 AC,BD 有交点,且∠ABC +∠ADC=90°.点 E 与点 C 在 BD 同侧,连接 BE,CE,DE.若△ABD∽△CBE, BD=20, 求△BDE 的面积. 【今日复习】 1.(1)对应成比例 (2)相似 2.(1)两角 (2)两边夹角 (3)三边 3.(1)高 (2)斜边 直角 【课时三级达标】 A级(双基过手) 1. 2.(1) (2)2 +23.3- 4.3 5. C6. A 7. C 8. C 9.【解】由作图知,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. 如图,过点A作AH⊥BE于点 H, ∴∠AHB=90°, ∵EF⊥BE,∴∠BEF=∠AHB=90°. 又∵∠ABH=∠EBF,∴△AHB∽△FEB, ∴BF=8. ∵BC=5,∴CF=BF-BC=3. 10.【证明】∵AD ∥BC, ∴ ∠D + ∠C = 180°. ∵∠BFE+∠AFB=180°,∠BFE=∠C, ∴∠D=∠AFB. 又 ∴△ABF∽△AED. B级(能力提升) 11.4 13.4 14.【解】如图,过点E作EG⊥AE交AF 于点G,过点G作GH⊥EF于点 H. 设BE=x,正方形ABCD的边长为a, 其中x>0,a>0,k>0. ∵EG⊥AE,∠EAF=45°, ∴△AEG为等腰直角三角形,∴AE=EG. ∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=90°. 又∵EG⊥AE,GH⊥EF, ∴∠B=∠AEG=∠EHG=90°,GH∥AB, ∴∠BAE+∠AEB=90°,∠AEB+∠HEG=90°, ∴∠BAE=∠HEG. 在△ABE和△EHG中: ∴△ABE≌△EHG(AAS), ∴AB=EH=a,BE=GH=x, ∴BH=BE+EH=x+a, ∴FB=FH+BH=FH+x+a. ∵GH∥AB,∴△FGH∽△FAB, ∴GH:AB=FH: FB, 即x:a=FH:(FH+x+a), 整理，得 由题意可知，关于x的方程( 有两个实数根， ∵a>0, ∴将上式两边同时除以a²，得： 整理，得 ∵k>0,∴k+ <2, ∴k的最大值为 的最大值为 C级(综合拓展) 15.【解】如图,过点A作AF⊥CD于点F. ∵∠ABC+∠ADC=90°, ∴∠BAD+∠BCD=270°, ∵△ABD∽△CBE,∴∠BAD=∠BCE, ∴∠BCE+∠BCD=270°, ∴∠DCE=90°,即CD⊥CE. ∴可设CE=16k,AF=5k(k>0). ∵△ABD∽△CBE, ,∴AD=10k, 在Rt△DAF中, ,∠AFD=90°, ∴∠ADC=30°, ∵∠ABC+∠ADC=90°,∴∠ABC=60°. ∵△ABD∽△CBE, ∴∠ABD=∠CBE, ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, ∴∠DBE=∠ABC=60°. 过点 D作DN⊥BE于点N. 在 Rt△DBN中,∠DBN=60°,∴∠BDN=30°, 学科网（北京）股份有限公司 $