3.3.2 相似三角形判定定理的证明-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(BS) 第2课时 相似三角形判定定理的证明 基 础 导学 1.相似三角形的判定定理 (1)两角分别相等的两个三角形相似， (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似， (3)三边成比例的两个三角形相似. 2.其他判定方法： (1)定义法：对应角相等，对应边成比例的 两个三角形相似. (2)平行法：平行于三角形一边的直线和其 他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角 形与原三角形相似. 课 后 演 练 【基础过关】 知识点①相似三角形判定定理的综合应用 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分 别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点 A落在点A'处，若A为CE的中点，则折痕 DE的长为 ( A号 B.2 C.3 D.4 第1题图 第2题图 2.如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（一2， 1),点C的纵坐标是4，则B,C两点的坐标分 别是 A(号3)，(-昌0 B.(3,(-74) 心子，.(-号0 D.(,2,(-号4) 3.如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足 ∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,则DB= 第3题图 第4题图 4.如图，在□ABCD中，EF∥AB,DE：EA= 2:3,EF=4,则CD的长为 5.在△ABC中，AB=6,AC=9,点D在边AB 所在的直线上，且AD=2,过点D作DE∥BC 交边AC所在直线于点E,则CE的长为 6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边 BA的延长线上，CE交AD于点F,∠ECA= ∠D,求证：AC·BE=CE·AD. 0 8· 知识点2多次相似问题 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平 分线BF分别与AC、AD交于点E、F.当 AB=4,C-6时，能的值为 A.2:3 B.2:5 C.3:5 D.3:10 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB ∠AED=90°，∠ABC=∠ADE,连接BD、CE, 若AC:BC=3:4,则BD:CE为 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F.请 说明△AEF∽△ABC的理由， 【能力提升】 10.如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC =3,BD=2,且∠BCD=∠A,则线段AD的 长为 第10题图 第11题图 第三章图形的相似 11.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, CD⊥AD,点E为AB的中点，DE交AC于 点F.若AB=√3，AC=√2，BC=1,则AF的 长为 12.如图，已知点D在△ABC边BC上，点E在 △ABC外，∠BAD=∠CAE=∠EDC. (1)求证：△ABC∽△ADE. (2)若AD=4,AB=5,BC=8,求DE的长， B D 79· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 【创新拓展】 13.在△ABC中，∠ACB=45°.点D(与点B、C 不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以 AD为一边且在AD的右侧作正方形 ADEF. (1)如果AB=AC.如图①，且点D在线段 BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位 置关系，并证明你的结论， 图① 图② (2)如果AB>AC,如图②，且点D在线段 BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？ ·80· (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线 段CF所在直线相交于点P,设AC=4√2， BC=3,CD=x,求线段CP的长.（用含x的 式子表示)