湖北武汉市第十二中学2025-2026学年高三上学期数学周练1.17

**基本信息** 高三数学周练试卷涵盖复数、向量、立体几何等核心知识，解答题设计函数导数、立体几何证明及数列新定义问题，注重思维层次性与创新应用，适配高三复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数对称、向量夹角、圆锥侧面积比|基础概念辨析，突出数学抽象能力| |多选题|3/18|统计标准差、抛物线切线性质|多选项设计考查推理严谨性，如切线性质判断| |填空题|3/15|数列求和、三角形面积最值、双曲线离心率|情境化问题，体现数学建模意识| |解答题|5/77|函数导数应用、立体几何面面垂直、数列新定义证明|综合性强，如第19题新定义数列证明，培养创新意识与逻辑推理能力，贴合高考命题趋势|

高三数学周练(1.17) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 2.已知，且满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，满足，，，则，的夹角为（     ） A． B． C． D． 4.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 5.将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种 A．60 B．240 C．180 D．150 6.已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ，垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ). A． B． C． D． 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．下列说法中正确的是　　 A.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B.若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16 C.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．已知抛物线C : y2= 4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C 的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）. A. QF = AF B. 直线QB 与C 也相切 C. PA丄PB D. 若∠PAF = 则 AF = 4 11.如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，三线不共点 C. 与平面所成角为 D. 设，则多面体的体积为1 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列的通项公式为，则__________. 13.在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______. 14．过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线为. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与最大值. 16. 如图所示，多面体满足四边形是等腰梯形，是正方形.平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17.已知函数． （1）若，求证：； （2）若且在上恒成立，求的最大值． 18. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. （1）求的方程； （2）设过另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 19. 数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列. （1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列； （2）若为数列，且，求证：； （3）若正项数列的前项和为，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周练(1.17) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为与在复平面内对应的点关于实轴对称，在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点为，所以，所以．故选B． 2.已知，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以．又，所以，所以．故选D． 3．已知，满足，，，则，的夹角为（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则，由于，所以．故选：B 4.已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为，故选：C． 5.将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种 A．60 B．240 C．180 D．150 由2:2:1分配有;由3:1:1分配有共150种,故D正确. 6.已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ，垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ). A． B． C． D． 【详解】因为4x2 = y,即x=y2, 因此F(0, ),|易知直线l是C的准线， 则PF = AP，如图，又 PB = PB，∠FPB =∠APB ， 所以△FPB ≌△APB ，得∠PFB = ∠PAB = 90，四边形ABFP为正方形，故△BFP 的面积为 = . 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且为钝角，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【详解】则由双曲线定义可知，， 所以，，， 所以， 解得， 因为为钝角，所以，所以， 由余弦定理可知， 所以，， 所以双曲线方程为. 故选：B. 8. 已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】函数的定义域为， 若时，由求导得，， 故当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 当时，；当时，； 若时，由求导得，， 因为，故恒有，即在上单调递增， 且当时，，当时，， 即当时，恒有. 作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时方程有2个不同的解； 要使方程恰有5个不同的解， 需使有3个零点，由图知，需使， 即，解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：A. 2、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是　　 A.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B.若样本数据的标准差为8，则数据，，，的标准差为16 C.数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【详解】解：对于，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，正确；对于，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故正确；对于，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故错误；对于，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故正确．故选：． 10．已知抛物线C : y2= 4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C 的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）. A. QF = AF B.直线QB 与C 也相切 C. PA丄PB D.若∠PAF = 则 AF = 4 【详解】依题意，抛物线C : ²=4 x的焦点为F(1,0), 准线方程为x =-1,不妨设 点A在第一象限，且A(x, ),B(x ₂,)则有点A处的切线方程为：y=2(x +),于是Q(-,0), 于是|QF|= x +1=|AF|, 选项A 正确；同理有点B 处的切线方程为：y=2(x +), 交 x轴 于(-,0), 显然直线QB不是抛物线C的切线，可以证明，直线PB才是抛物线C的切线，选项 B错误；设直线AB的方程为：x =t+1(t≠0),由 ²-4t -4=0, 所以 ，PA⊥PB,选项C正确；由 A 可知，△FAQ为等腰三角 形，且于是 AQ=, ，又²=4 x, 解得x=3, 此时 AF=4, 选项D 正确，故选ACD. 11.如图，在直三棱柱中，，，E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. ，，三线不共点 C. 与平面所成角为 D. 设，则多面体的体积为1 【详解】 对于A，如图，连接，，由G，E分别为，的中点，可得， 由可知，侧面为正方形，所以，所以，故A正确； 对于B，如图，连接，，由题易知, 则，延长，相交于点P， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以，，三线共点，故B错误； 对于C，作于点M， 因，，，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 又，平面，平面，所以平面. 而，所以为与平面所成的角，等于，故C正确； 对于D，过点H作交于点D，过点D作，连接， 易知直三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形， 柱高，则， 四棱锥的底面是边长为1的正方形，锥高， 则， 则多面体的体积为.故D错误. 故选:AC. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知数列的通项公式为，则__________. 【详解】因，可得则， 又则， …, 则. 故 故答案为：. 13.在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为_______. 【详解】因，则． 所以，又，所以．设边上的中线为， 则，则， 所以，当且仅当时等号成立，所以 14．过双曲线的左焦点作轴的垂线，为上一动点，已知，，若的最大值为，则双曲线的离心率为______． 【解析】由题意及，得． 经计算，得，．设，由对称性，不妨设，则，，，当且仅当时等号成立，所以，所以，即，解得，所以．故填． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线为. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与最大值. 【答案】（1） （2）在单调递减，单调递增， 【解析】 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义可得，列方程求即可； （2）利用导数判断函数的单调性，结合单调性求最值. 【小问1详解】 因为函数在处的切线为， 所以，， 又函数的导函数， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知 当，当且仅当时取等号， 当， 在单调递减，单调递增， 又，， . 16. 如图所示，多面体满足四边形是等腰梯形，是正方形.平面平面 （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线线垂直，即可求证平面，进而根据面面垂直的判定求证， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，根据向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 在等腰梯形中，，所以. 在正方形中，， 因为平面平面，且平面平面，且，平面,所以平面， 平面，从而, 又因为平面，且，故平面. 而平面，所以平面平面. 【小问2详解】 分别取中点 由等腰梯形和正方形的性质知 由（1）知，，故可以为原点，为轴正方向建立坐标系. 因为，所以设.则 , 设平面和平面的一个法向量分别为， 则.取，则 ，取，则 故. 所以平面和平面夹角的余弦值为. 17.已知函数． （1）若，求证：； （2）若且在上恒成立，求的最大值． 【解析】（1）的定义域为，（1分） 当时，，（2分） 易得在上单调递增，在上单调递减，（3分） 所以．（4分） （2）令，则在上恒成立． 求导，得，（6分） 当时，在上恒成立，所以在上单调递增． 又，不符合题意，舍去．（8分） 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，（10分） 只需即可．（11分） 设，则，（12分） 所以在上单调递增． 又，所以当时，恒成立，所以．（14分） 又，所以的最大值为-1．（15分） 18. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. （1）求的方程； （2）设过另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可； （2）（i）设直线方程：. 直曲联立.另外，由前问求出.进而得到直线方程，化简得到.即可求出定点. （ii）先求出和直线方程，还求出点到直线的距离，根据面积公式计算出点坐标，即可求出直线方程. 【小问1详解】 设直线方程：，代入中，消去得. 设，则. 当时，有的最小值为. ，故的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线方程：. 由消去得.① 又由（1）知，同理. 直线的斜率. 直线方程为，化简得② 由①②得，即. 由得，即证明直线过定点. （ii）由（i）知， 直线方程为：，点到直线的距离， ，解得或6.所以点坐标为，或. 且，或. 直线方程为或. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为k）， （2）利用条件得到有关k与x，y的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊点，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至找到定点， ①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，让系数等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数. 19. 数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列. （1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列； （2）若为数列，且，求证：； （3）若正项数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合等差数列性质，等比数列性质证明，结合新定义完成证明； （2）设，由条件结合数列定义可得，再证明，，由此可证明结论； （3）先证明，再证明，结合证明结论. 【小问1详解】 ∵数列为等差数列， ∵数列为等比数列，设数列的公比为， ∴，又 ， ∴数列为数列； 【小问2详解】 由数列则 设则， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 解得：； 【小问3详解】 由且， ∴， ∴ 又 ， ∴， ∴. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $