2.4.1圆的标准方程同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到创新应用，适配新授课知识巩固与核心素养培养 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|圆的标准方程及基本量计算|直接应用概念，如已知圆心半径求方程，点与圆位置关系判断，夯实运算能力| |B级|圆与直线、对称及综合应用|结合情境问题，如三角形外接圆、动圆性质分析，体现推理意识与模型观念| |C级|数学建模与几何意义|跨情境创新，通过两点距离几何意义转化，发展数学眼光与逻辑思维|

2.4.1　圆的标准方程 A级　必备知识基础练 1.已知一个圆满足圆心在点(-3,4),且过原点,则它的方程为(　　) A.(x-3)2+(y-4)2=5 B.(x+3)2+(y+4)2=25 C.(x+3)2+(y-4)2=5 D.(x+3)2+(y-4)2=25 2.圆C:(x-1)2+y2=2的圆心到直线y=x-3的距离为(　　) A.1 B. C.2 D.2 3.(2026河北高二期中)已知A(-1,3),B(3,-5),则以线段AB为直径的圆的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=20 B.(x-1)2+(y+1)2=20 C.(x+1)2+(y-1)2=10 D.(x-1)2+(y+1)2=10 4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则该圆的标准方程为(　　) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 5.点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,1) B.(-∞,) C.(-) D.(-) 6.若直线2x+y-1=0是圆x2+(y+a)2=1的一条对称轴,则a=(　　) A.-1 B.1 C. D.- 7.(多选题)已知圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,则下列说法正确的有(　　) A.圆M的圆心为(4,-3) B.点(1,0)在圆内 C.圆M的半径为5 D.点(-3,1)在圆内 8.(2026浙江台州期中)若圆M:(x-1)2+(y-2)2=25的弦AB被点Q(2,1)平分,则直线AB的方程为　　　　　　.  9.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是　　　　　.  10.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程. B级　关键能力提升练 11.关于奇数的哥德巴赫猜想:任何大于5的奇数都是三个素数之和,如7=2+2+3, 17=3+7+7.若从2,3,7中任取2个不同的素数a,b组成点(a,b),其中a<b,且组成的所有点都在圆E上,则圆E的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y-)2=4 B.(x-2)2+(y-)2=16 C.(x-)2+(y-5)2=17 D.(x-)2+(y-5)2= 12.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是(　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 13.若圆C1:(x-1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称,则直线l的方程是　　　　　　　　　.  14.已知在平面直角坐标系中,A(-1,2),B(2,1),C(3,4),△ABC恰好被面积最小的圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)及其内部所覆盖,则a-2b=　　　　　,r=　　　　　.  15.(2026浙江温州高二期中)已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上. (1)求圆C的方程; (2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射,反射光线l1恰好平分圆C的圆周,求反射光线l1所在直线的一般式方程; (3)若P为圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值. C级　学科素养创新练 16.已知实数x1,x2,y1,y2满足:=1,=1,x1x2+y1y2=,求的最大值. 答案 1.D　设圆的半径为r,因为圆心坐标为(-3,4),且圆过点(0,0),所以r==5,所以圆的方程为(x+3)2+(y-4)2=25.故选D. 2.B　因为圆C:(x-1)2+y2=2的圆心为(1,0),所以圆心到直线y=x-3的距离为d=.故选B. 3.B　易知AB的中点C(1,-1),点C(1,-1)为以线段AB为直径的圆的圆心,半径r=|AB|==2, 所以以线段AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=20.故选B. 4.B　由题意可知原点在圆上, 圆的半径为r=. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 5.D　依题意有(5a)2+144a2<1,得169a2<1, 所以a2<,即-<a<.故选D. 6.A　圆x2+(y+a)2=1的圆心为(0,-a),因为直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴,所以圆心(0,-a)在直线2x+y-1=0上,所以2×0+(-a)-1=0,解得a=-1.故选A. 7.ABC　对于A,圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,其圆心为(4,-3),故A正确; 对于B,由于(1-4)2+(0+3)2<25,则点(1,0)在圆内,故B正确; 对于C,圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=25,其半径为5,故C正确; 对于D,由于(-3-4)2+(1+3)2>25,则点(-3,1)在圆外,故D错误.故选ABC. 8.x-y-1=0　因为圆M:(x-1)2+(y-2)2=25的圆心为M(1,2), 则直线MQ的斜率kMQ==-1, 由题意可知MQ⊥AB,则AB的斜率为k=1, 所以直线AB的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0. 9.5　由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5. 10.解 (方法1)设点C为圆心, ∵点C在直线l:x-2y-3=0上, ∴可设点C的坐标为(2a+3,a). 又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|. ∴, 解得a=-2. ∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=. 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由条件知解得 故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 11.D　由题意知,(a,b)所有可能的结果为A(2,3),B(2,7),C(3,7), 则=(0,4),=(1,0),∴=0,则AB⊥BC, ∴圆E的圆心为AC的中点E(,5),半径r=|AC|=, ∴圆E的标准方程为(x-)2+(y-5)2=.故选D. 12.ABD　圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确; 令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,∵Δ=36-40=-4<0,∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确; 由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0, ∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误; 由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确.故选ABD. 13.2x+y+3=0　圆C1:(x-1)2+y2=9的圆心为C1(1,0), 圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9的圆心为C2(-3,-2), 则线段C1C2的中点为(-1,-1),直线C1C2的斜率. 因为圆C1:(x-1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称, 所以直线l的斜率kl=-=-2. 所以直线l的方程是y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0. 14.-5　　由题可知,=(3,-1),=(1,3), 则=0,所以△ABC是直角三角形且∠B=. 易知覆盖△ABC且面积最小的圆为△ABC的外接圆,故外接圆的半径为,圆心为(1,3),所以△ABC的外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5, 所以a-2b=1-2×3=-5,r=. 15.解 (1)由A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率kAB==-1,线段AB的中点D(2,2), 所以直线CD的斜率kCD=1,直线CD的方程为y-2=x-2,即y=x, 联立解得即C(3,3), 所以圆C的半径r=|AC|=, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10. (2)由l1恰好平分圆C的圆周,得l1经过圆心C(3,3). 设点M关于直线y=-x的对称点为N(x,y), 则直线MN与直线y=-x垂直,且线段MN的中点()在直线y=-x上, 即解得 所以N(-1,-4). 所以直线CN即为直线l1,=kCN=, 直线l1的方程为y-3=(x-3),即7x-4y-9=0. (3)设P(x,y),则|AP|2+|BP|2=(x-4)2+y2+x2+(y-4)2=2[(x-2)2+(y-2)2]+16,其中(x-2)2+(y-2)2表示点P(x,y)到点(2,2)的距离的平方. (2-3)2+(2-3)2<10,即点(2,2)在圆C:(x-3)2+(y-3)2=10的内部. 由圆心(3,3)到点(2,2)的距离为,圆的半径为, 所以点P(x,y)到点(2,2)距离的最小值为, 所以(x-2)2+(y-2)2的最小值为()2=12-4, 所以|AP|2+|BP|2的最小值为40-8. 16.解 设A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,则=(x1,y1),=(x2,y2), 由=1,=1,x1x2+y1y2=, 可得A,B两点在圆x2+y2=1上,且=x1x2+y1y2=1×1×cos∠AOB=, 所以∠AOB=60°,所以△AOB为等边三角形,|AB|=1. 的几何意义为A,B两点到直线l:x+y-1=0的距离d1与d2之和,点O到直线l的距离为,取AB的中点M,过点M作MM'⊥l于点M',则根据梯形的中位线定理得d1+d2=2|MM'|. 因为△AOB为等边三角形,AB=1,所以|OM|=, 所以点M在圆x2+y2=上运动,所以点M到直线l的最大距离为,即|MM'|max=,所以d1+d2的最大值为2|MM'|max=2()=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $