2.4.1 圆的标准方程（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学圆的标准方程同步练，分层设计清晰，知识覆盖从基础概念到综合应用，适配新授课差异化教学需求，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|圆心半径确定、点与圆位置关系等10个基础知识点|基础选择填空题为主，如由方程求圆心半径，强化概念理解与运算能力| |B组能力进阶|综合应用（三点求方程、对称问题）|中档解答题，如结合直线与圆位置关系求方程，培养推理能力| |C组思维拔高|阿波罗尼斯圆、参数方程应用等难点|创新题型，如轨迹问题与数学文化结合，发展创新意识| |拓展链接高考|高考真题再现|对接高考考点，如圆的方程与距离最值，提升应用意识|

分层作业 2.4.1 圆的标准方程 目 录 A组 巩固过关 知识点01 由圆的标准方程确定圆心和半径 知识点02 判断点和圆的位置关系 知识点03 由圆心（或半径）求圆的标准方程（常考点） 知识点04 由圆心在直线上和圆过点求圆的标准方程（常考点） 知识点05 由三个点求圆的标准方程（常考点） 知识点06 圆的对称性 知识点07 定点和圆上点的距离的最值（重点） 知识点08 阿波罗尼斯圆 知识点09 圆的参数方程的应用（难点） 知识点10 复数和向量中的隐圆（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 由圆的标准方程确定圆心和半径知识点01 知识点速记： 圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示.    ⑶圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是. 当时，方程为，表示以原点O为圆心，半径为的圆. 题型巩固练： 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 2.已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】A 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 3．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中曲线的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是一个圆的标准方程， 其中圆心坐标为，半径， 圆的周长为． 判断点和圆的位置关系知识点02 知识点速记： 平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在圆外 ； （2）在圆上，即在圆上； （3）在圆内，即在圆内． 题型巩固练： 4．（25-26高二上·江西·阶段检测）已知点在圆内，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，解得， 故选：A． 5．（24-25高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 6．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题知， 解得. 由圆心（或半径）求圆的标准方程知识点03 知识点速记： 圆的标准方程形式为：，为圆心，为半径。 由圆心（或半径）求圆的标准方程的步骤： 1.确认参数：明确圆心的横坐标，纵坐标以及半径的具体数值； 2.代入圆的标准方程。 题型巩固练： 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）圆心为，半径为4的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心为，半径为4的圆的标准方程为． 故选：C. 8．（25-26高三·全国·一轮复习）已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 10．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 11．（25-26高二上·吉林·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 12．（25-26高三上·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是， 故选：C. 13．（25-26高二上·安徽·阶段检测）有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是（    ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【详解】建立平面直角坐标系如图，则， 可知圆心在y轴负半轴上，设为， 则，即，解得， 即圆心为，半径， 可得桥拱所在圆的方程为， 令，可得，解得， 所以水面宽是12米． 故选：A. 14．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程知识点04 知识点速记： 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程的解题方法有： 方法一（代数法）：根据圆心在直线上，设圆心坐标为或，利用，求出未知参数，得到圆的方程； 方法二：（几何法）：求出线段的垂直平分线，与圆心所在直线联立，求出交点坐标即为圆的圆心，再求出半径，得到圆的方程。 题型巩固练： 15．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：（代数法）依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 方法二：（几何法）因为圆经过原点和点，的中点坐标， 又，所以线段的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，所以圆心坐标为， 半径,则所求圆的方程为. 故选：A. 16．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【详解】（方法一：几何法）线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （方法二：代数法）依题意，可设， 由，可得， 解得，故得圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 17．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）在平面直角坐标系中，已知直线. (1)求过点且和垂直的直线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意，直线的斜率， 则所求直线的斜率， 代入点斜式方程得， ∴过点且和垂直的直线的方程为. （2）设圆心为，半径为 ∵圆心在直线上，，则点为， 由题意可得， 则，解得， ∴圆心的坐标为，半径， 圆的标准方程为. 由三个点求圆的标准方程知识点05 知识点速记： 已知圆上的三点，求圆的方程的解题方法： 方法一：待定系数法：设圆的方程，将三点坐标代入方程，得到关于的方程组，求解方程组并写出圆的方程。 方法二：几何法：求出线段（或或）的垂直平分线，并将两条直线联立求出交点坐标，此交点即为圆的圆心，再利用求出半径，写出圆的方程。 题型巩固练： 18．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一（待定系数法）：设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为。 方法二（几何法）：设，，， 的中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为，即； 的中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立得，，所以圆心坐标为， ， 故圆的标准方程为。 19．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 20．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 21．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知的三个顶点为，，. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，，， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 点到直线距离为， 因此面积， （2）因为，，， 所以线段中点为，又直线的斜率为， 因此其中垂线的方程为，即， 直线的斜率为，线段中点为， 则中垂线方程，即， 联立，求出外接圆圆心为， 外接圆半径为， 因此外接圆方程为. 圆的对称性知识点06 知识点速记： 圆同时具有轴对称性、中心对称性和旋转不变性，其中对称轴由无数条（即为圆的直径），对称中心为圆的圆心。若一条直线是圆的对称轴，则此直线必过圆心。 题型巩固练： 22．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 23．（25-26高二上·山西吕梁·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，设点关于直线的对称点为， 则解得 故所求圆的方程为． 故选：A． 24．（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知圆关于直线对称，则坐标原点到直线的距离等于（    ） A．0 B． C． D．5 【答案】B 【详解】由题意可知，直线必过圆心，所以有， 解得，所以坐标原点到直线的距离． 故选：B． 25．（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 26．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 27．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 定点和圆上点的距离的最值知识点07 知识点速记： 当定点在圆外时，最大距离为，最小距离是，是定点到圆心的距离。 当定点在圆内时，最大距离为，最小距离是，是定点到圆心的距离。 题型巩固练： 28．（25-26高二下·云南曲靖·期末）设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 29．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 30．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 31．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意可得：圆：， 圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 阿波罗尼斯圆知识点08 知识点速记： 阿波罗尼斯圆是平面上到两个定点距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹。这个轨迹是个圆。 平面上有两个定点，点是平面内动点，（且），那么点的轨迹是个圆。 题型巩固练： 32．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）已知，，为平面上的一个动点，若，则的轨迹所围成的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：因为，，设，由得， 平方并整理得，化简并整理得， 故点的轨迹是圆，其半径为，故其面积为. 法二：因为，，，所以的轨迹为一条直径位于轴上的圆， 设此直径的端点坐标为，则或 所以或，所以的轨迹所围成的面积为. 33．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，，射线AO是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】AO是∠BAC的角平分线，， 设，则，两边平方化简得， 故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆（除去与轴的交点）. ，又，. 故选：C. 34．若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． 35．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 圆的参数方程的应用知识点09 知识点速记： 圆的参数方程为，此参数方程主要在以下情景中使用：①研究圆上点的动态变化；②求解与圆上点相关的最值问题。 题型巩固练： 36．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知且，则的最大值为（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】，是圆心在原点、半径的圆的方程， 设，将、代入， 得， 利用公式, 则， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故选：B. 37．（25-26高二上·广东广州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．1 B．11 C．21 D．31 【答案】C 【详解】因为，则设， 则，其中， 则， 当时，取最大值为. 故选：C. 38．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 39．（2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 40．（多选）（25-26高二上·山东·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．点到点的距离为定值 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于A，由得：， 点的轨迹是以为圆心，半径的圆，点到点的距离为该圆的半径，即定值，A正确； 对于B，，，的最大值为，B正确； 对于C，的几何意义为点到点的距离， 圆心到点的距离，的最大值为，C错误； 对于D，设，，，， ，，当，即时，取得最大值，最大值为，D正确. 故选：ABD. 复数和向量中的隐圆知识点09 知识点速记： 复数满足，则复数在复平面上对应的点在以为圆心，为半径的圆上。 题型巩固练： 41．（25-26高二上·四川成都·期末）已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（ ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 42．（2026·河南·模拟预测）若复数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数满足， 表示复数在复平面内的轨迹是以原点为圆心、半径为的单位圆， 表示复数到点的距离， 即求解单位圆上的点到的距离取值范围， 因为到点的距离为， 所以的最大值为，的最小值为， 故的取值范围是. 43．（25-26高一下·广东江门·期中）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【详解】因为， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上， 因为表示点与定点的距离， 所以点与定点的距离的最小值等于圆心与的距离减去圆的半径， 即. 44．（25-26高一上·北京·期末）已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【详解】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆：，则“点在圆外”是“点在圆外”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若点在圆外，则，所以. 若点在圆外，则，所以. 显然是的真子集， 故“点在圆外”是“点在圆外”的充分不必要条件. 2．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊．如今人行道两侧进行了加宽，建成了“彩虹桥”（图1），非常漂亮．桥上一圆拱形的结构跨度，拱高．在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，，为其中的两根支柱(图2)，且，则支柱的高度为（    ） A．7.5 B．8.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】以为原点，建立平面直角坐标系，如图： 设该圆弧所在圆为圆． 将的坐标代入圆的方程，得，解得， ∴圆． 当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7． 故选：C． 3．（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上. 又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线. 因为，所以， 因为， 所以. 由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为. 那么. 4．（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 5．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 6．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 7．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知，，P是圆上一点，G是的重心，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因在圆 上， 故，展开得， 则 的重心坐标为：， 因为，， 所以， 代入 ，得：， 因为圆得到，故 ， 又因为时，三点共线，不能构成三角形，故 ， 根据一次函数的单调性，， 因此 的取值范围是 . 故选：C. 8．（25-26高三上·河南漯河·期末）定义：如果在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为.那么称为两点间的曼哈顿距离；为两点间的欧几里得距离.已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，即， 令，，则，， 可得， 所以的最大值为. 故选：C. 9．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 10．（25-26高二上·贵州黔南·期末）已知两点（其中），若圆上总存在点使得，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】设，由， ， 从而，所以， 又因为，所以． 即的取值可看作到原点的距离， 由于，圆的半径， 则圆上一点到圆外一点距离的范围是， 即，解得或． 故答案为：． 11．（25-26高二上·福建·阶段检测）若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由，可得圆心，半径为， 设圆心关于直线的对称点为，可得， 因为关于，则， 则， 因为，所以， 当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 12．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知直线恒过定点，点为圆上的动点：为坐标原点，则面积的最小值为__________. 【答案】 【详解】由，令，即，解得，即， 所以，， 所以直线的方程为：， 又圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离为：， 所以点到直线的距离的最小值为：， 所以面积的最小值为. 13．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为________． 【答案】4 【详解】由可知E点在线段上，且 结合，知； 以点E为坐标原点，以直线为x轴，过点E作垂线为y轴，如图建立平面直角坐标系， 则， 由于CE是的角平分线，故，即， 设，则， 化简得，即点C在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 同理可得点D也在以为圆心，半径为2的圆上（不包括轴上的点）， 则当位于圆的直径的两端时，线段取到最大值，最大值为4， 1．【数学文化】（河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 2．【知识融合】（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 3．【知识融合】（2026·湖南·一模）在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，， ∵，∴， G点的轨迹为. 又，则，， 即， 化简得P点的轨迹为. 在平面直角坐标系中作出G，P轨迹， 设G点轨迹与y轴两个交点分别为M，N，P点轨迹为圆， 圆心为，半径， 且与y轴两个交点分别为H，T，如图所示， 结合图象得：， 又，， 所以. 4．【直观想象】（2026·广东·一模）如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和点，月牙尖的坐标分别为，则圆的标准方程为______． 【答案】 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上， 又的斜率，则直线的方程为， 设，所以，解得， 所以圆的方程为. 5．【知识融合】（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知平面向量，，，满足，且，，，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为__________. 【详解】由题意可设：，，，， 则，则，可得， 可知点A的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 因为，即，且， 即，可知三点共线， 因为的最小值为，可知为点到直线的距离， 若想取到最大值，则直线为圆的切线，可得，即， 所以的最大值为. 6．【知识融合】（25-26高三下·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 7．【新定义问题】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点、的曼哈顿距离为：．若点，点为圆上一动点，则的最大值与最小值之和为_________． 【答案】 【详解】设， 由题意可知， ∵，∴， 取，则， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， 当，取， ， ∴， ，当，即时，取最大值，， 当，即时，取最小值，， ∴当时，取最大值，当时，取最小值， ∴的最大值与最小值之和为， 故答案为：. 1．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 2．（2020·山东·高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为：. 故选：B. 3．（2017·全国·高考真题）已知点，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设中点为O，则，即， 设圆半径为r，则， 则以为直径的圆的方程为. 故选：B. 4．（2002·全国·高考真题）圆的圆心到直线的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为（1，0）， ∴圆心到直线的距离为. 故选：A. 5．（2005·重庆·高考真题）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆的圆心，半径等于， 圆心关于原点对称的圆的圆心， 故对称圆的方程为， 故选：． 6．（2001·全国·高考真题）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 7．（2006·重庆·高考真题）以点为圆心且与直线相切的圆的方程是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，圆的半径，故所求圆的方程为. 故选C 【点睛】本题主要考查求圆的方程，根据题意求出半径，即可求解，属于基础题型. 8．（2009·重庆·高考真题）圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是（    ） A．x2+(y-2)2=1 B．x2+(y+2)2=1 C．(x-1)2+(y-3)2=1 D．x2+(y-3)2=4 【答案】A 【详解】因为圆心在y轴上，半径长为1， 所以， 因为圆过点A(1，2)， 所以 ， 解得， 所以圆的方程x2+(y-2)2=1， 故选：A 9．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 【答案】 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 10．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【详解】[方法一]：圆的一般方程 依题意设圆的方程为， （1）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （2）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （3）若过，，，则，解得， 所以圆的方程为，即； （4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即； 故答案为：或 或 或． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 故答案为：或 或 或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4.1圆的标准方程 目录 A组巩固过关 知识，点01由圆的标准方程确定圆心和半径 知识，点02判断点和圆的位置关系 知识，点03由圆心（或半径）求圆的标准方程（常考点） 知识，点04由圆心在直线上和圆过点求圆的标准方程（常考点） 知识，点05：由三个点求圆的标准方程（常考点） 知识点06圆的对称性 知识点07定点和圆上点的距离的最值（重点） 知识点08阿波罗尼斯圆 知识点09圆的参数方程的应用（难点） 知识，点10复数和向量中的隐圆（难点) B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 由圆的标准方程确定圆心和半径 知识点速记： 圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示 1/14 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)圆的标准方程：圆心为4(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x-a+(y-b)}=r2. 当a=b=0时，方程为x+y2=r2,表示以原点0为圆心，半径为r的圆。 题型巩固练： 1.(25-26高二上：广东江门阶段检测)圆(x-2?+(少+)2=2，则圆的圆心坐标和半径分别为（) A.(2,-1),2 B.(2,-1),V2 C.(-2,1),2 D.(-2,1),√2 2.已知圆的方程为(c-)+(0y+2)》'=4,则圆的圆心C、半径R分别为() A.(1,-2).2B.(1,2).4 c.（-1,2),2 D.（-1,-2),4 3.(2026河北沧州一模)在平面直角坐标系中曲线x2+(y-)°=2的长度为() A.元 B.√2π C.2π D.22元 知识点02 判断点和圆的位置关系 知识点速记： 平面上的一点M(,)与圆C:(x-a)2+(0y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)MC>r台M在圆外，即(-a'+(%-b)'>r2台M在圆外： (2)MC=r台M在圆上，即(。-a'+(-b}=r2台M在圆上： (3)MC<r台M在圆内，即(：-a+(%-b)<r2台M在圆内. 题型巩固练： 4.(25-26高二上江西阶段检测)已知点A(1,1)在圆2+0y-a2=3内，则实数a的取值范围为() A.（1-2,1+V2) B.（-1-V2,-1+V2) C.(0,3) .别 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5,(24-25高二上福建莆田期末)点P1,2)可以向圆(x+)2+(0y-2)?=6-k引两条切线，则k的取值范围 为() A.k<6 B.2<k<6 C.0<k<6 D.k>2 6.(25-26高二上甘肃白银期末)已知点A(,)在圆x2+(y-a=3内，则实数a的取值范围为 知识点03 由圆心（或半径）求圆的标准方程 知识点速记： 圆的标准方程形式为：(-a}+0y-b}=r2(>0),(a,b)为圆心，r为半径。 由圆心（或半径）求圆的标准方程的步骤： 1确认参数：明确圆心的横坐标a,纵坐标b以及半径r的具体数值； 题型巩固练： 7.(25-26高二上河北邢台阶段检测)圆心为-3,7)，半径为4的圆的标准方程为() A.(x+3)2+(y-7)2=4 B.(x-3)2+(y+7)2=4 C.(x+3)2+(y-7)2=16 D.(x-3)2+y+7)2=16 8.(25-26高三·全国一轮复习)己知A(0,-5)B(0,-),则以线段AB为直径的圆的方程是() A.(x+3)+y2=2 B.x2+(y+3)}2=4 C.(x+3)2+y2=4 D.(x-3)2+y2=2 9.(25-26高二下河南阶段检测)过点A(-1,2),B(3,-2)的面积最小的圆的标准方程为（) A.(x+1)+y2=8 B.(x-1)+y2=8 C.（x+1)2+y2=32 D.(x-1+y2=32 10.(2026高三·全国·专题练习)圆心在x轴上，半径为2，且过点山，2)的圆的方程是() A.(x-1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=4 C.(x-1)2+(y-2)2=4 D.x2+y-1)2=4 11.(25-26高二上吉林期末)以C(2,2)为圆心，且过点B(6,-1)的圆的标准方程为（) A.(x-2)+(y-2)=5 B.(x+2)2+(y+2)}2=25 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.(x-2)}+(y-2)2=25 D.(x-2)}2+(y+2}2=10 12.(25-26高三上重庆阶段检测)圆心在y轴，且经过点(0,1)和(1,2)的圆的方程是（) A.(x-2}+y2=1 B.（(x+2)+y2=1 c.x2+(y-2)}2=1 D.x2+(y+2)2=1 13.(25-26高二上·安徽阶段检测)有一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面4米，水面 宽16米，当水面上涨2米后，水面宽是() A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 14. (2026黑龙江模拟预测)与y轴相切，且圆心坐标为(2，)的圆的方程为 知识点04 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程 知识点速记： 由圆心在直线上a心+by+C=0和圆过点A,B求圆的方程的解题方法有： -am-c 方法一（代数法)：根据圆心在直线x+y+c=0上，设圆心坐标为Cm, b 或 -bn-c n 利用C小=CB,求出未知参数，得到圆的方程： 方法二： (几何法)：求出线段AB的垂直平分线，与圆心所在直线ax+by+C=0联立，求出交 点坐标即为圆的圆心，再求出半径，得到圆的方程。 题型巩固练： 15.(25-26高二上重庆期末)已知圆C经过原点0和点A(2,2),并且圆心C在直线：2x-y+2=0上， 则圆C的方程为() A.x2+(y-2)2=4 B.x2+(y+2)2=4 C.(x+1)+(y-2)}=2 D.x2+(y+2)}2=2 16.(25-26高二下河南信阳期末)已知圆M经过点C(0,3),D(4,1),且圆心在直线y=x上，则圆M 的方程为， 17.(25-26高二上安徽蚌埠期末)在平面直角坐标系中，己知直线：x+2y-4=0. 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求过点A(4,0)且和l垂直的直线的方程： (2)若圆C经过A(4,0),B(2,2)两点，且圆心在直线x+y=0上，求圆C的标准方程 知识点05 由三个点求圆的标准方程 知识点速记： 己知圆上的三点A,B,C，求圆的方程的解题方法： 方法一：待定系数法：设圆的方程(x-a+(y-b)=r2,将三点坐标代入方程，得到关于a,b,r 的方程组，求解方程组并写出圆的方程。 方法二：几何法：求出线段AB,AC(或AB,BC或AC,BC)的垂直平分线，并将两条直线联立 求出交点坐标，此交点即为圆的圆心M,再利用r=MA=MB=MC求出半径，写出圆的方程。 题型巩固练： 18.(25-26高二下贵州遵义期中)己知圆C过点(0,2)，(4,0)，(2，-4)，则圆C的标准方程为() A.(x+1)+(y-12=10 B.(x-1)2+(y+1)2=40 c.(x-12+(y+1)2=10 D.(x+1)2+(y-12=40 A.(x-3)2+(y-3)2=10 B.(x-3)+(y+3)2=10 c.(x-1)2+(y-1)2=10 D.(x-4)}+(y-2)2=10 20.(25-26高二上河南阶段检测)己知△A0B的三个顶点分别为O(0,0),A(6,0),B(0,8),则△A0B的外 接圆的方程为() A.(x+3)2+(y+4)2=25 B.(x+6)2+(y+8)2=100 c.(x-6)}+(0y-8)2=100 D.(x-3)+(y-4)2=25 21.(25-26高二上江苏盐城期中)已知△ABC的三个顶点为A(4,1),B(6,3),C(3,0) (1)求△ABC的面积： (2)求△ABC的外接圆的方程， 知识点06圆的对称性 知识点速记： 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 圆同时具有轴对称性、中心对称性和旋转不变性，其中对称轴由无数条（即为圆的直径），对称中 心为圆的圆心。若一条直线是圆的对称轴，则此直线必过圆心。 题型巩固练： 22.(25-26高二上浙江杭州期中)若直线x-y+1=0是圆(c-a)+y2=r2的一条对称轴，则a=（) A.1 B.-1 C.r D.-r 23.(25-26高二上山西吕梁阶段检测)圆C:(x-)+(0少-2)=4关于直线x+y=0对称的圆的方程为 () A.(x+2)2+(y+1)2=4 B.(x+1)2+(y+2)2=4 C.(x+2)2+(y+2)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 24.(25-26高三上贵州安顺期末)己知圆C:(x-1)+(0-2)=4关于直线1：3x+y+m=0对称，则坐标 原点O到直线的距离等于() A.0 D.5 2 25.(25-26高二上江苏镇江期末)圆x2+(y-)=1关于直线x-y=0对称的圆的方程是() A.x2+y+1)2=1 B.(x+1)2+y2=1 C.(x-1)2+y2=1 D.x2+y2=1 26.(25-26高一下江西宜春阶段检测)己知圆C:c-a2+(0y-b)=1(a>0,b>0)上有两点关于直线 21 x+2y-2=0对称，则。+6的最小值为() A.2V2 B.3 C.4 D.8 27.(25-26高二下上海青浦期末)若圆C:(x-1+(y+2=9上存在不同两点P、Q关于直线 x+ay-3=0对称，则实数a= 知识点07 定点和圆上点的距离的最值 知识点速记： 当定点在圆外时，最大距离为d+r,最小距离是d-r,d是定点到圆心的距离。 当定点在圆内时，最大距离为d+r,最小距离是r一d,d是定点到圆心的距离。 题型巩固练： 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.(25-26高二下云南曲靖期未)设P为圆C:(x+1)+y2=9上任意一点，点A3,3),则PA的最大值 为() A.2 B.6 C.8 D.9 29.(25-26高二上·安徽合肥期中)在平面直角坐标系x0y中，点M(4,-2)到圆C:(c+2)+(y-2)}'=1 的最短距离是() A.2V13-1 B.4 C.8 D.2V10-1 30.(2026高二下·上海专题练习)己知实数x,y满足方程(x-2犷+y=9,则x2+y2的取值范围是 31.(2026河南洛阳模拟预测)己知P(m,m)是圆C:(x-62+0y+25)2=12上的一个动点，则Vm2+n 的取值范围为. 知识点08 阿波罗尼斯圆 知识点速记： 阿波罗尼斯圆是平面上到两个定点距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹。这个轨迹是个圆。 PA 平面上有两个定点4，B'点p是平面内动点， 那么点_的轨迹是个 >0k≠1 D 圆。 题型巩固练： 32. (25-26高三下·湖南邵阳阶段检测)己知A(-1,0),B(3,0),P为平面上的一个动点，若PB到=5PA, 则P的轨迹所围成的面积为() 25π c. 5π π A.An B. 36 6 .3 33.(25-26高二上河南信阳阶段检测)在平面直角坐标系中，已知00,0)，B(-2,0),CL,0),射线A0 是∠BAC的角平分线，则△ABC面积的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 34.若点P(x,)到两定点A(-3,0)和B(3,0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是 35.(2026重庆九龙坡模拟预测)在平面坐标系xOy中，A(-1,0),B(2,0),动点P满足PA=2PB,则 △ABP的面积的最大值为 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点09 圆的参数方程的应用 知识点速记： x=a+rc0sθ 圆(k-a}+(-b}=r2的参数方程为)y=b+rsin0:此参数方程主要在以下情景中使用：① 研究圆上点的动态变化；②求解与圆上点相关的最值问题。 题型巩固练： 36.(25-26高二上辽宁阶段检测)已知x,y∈R且x2+y2=3,则4x-3y的最大值为() A.5 B.53 C.7 D.7V5 37.(25-26高二上：广东广州期未)己知实数x,y满足(x+3)2+y=4,则3x+4y-2的最大值为() A.1 B.11 C.21 D.31 38.(2026山东青岛模拟预测)已知点M是圆0：x2+y2=1上一点，点P(0,2),Q(2,2),MP.M@的 最大值为() A.V5+1 B.4 c.5+2V5 D.2 39.(2026云南模拟预测)点P在以AB为直径的单位圆上运动，则PA+PB+PAPB的最大值为 () A.2√2 B.3V2 C.2+2W2 D.2+3V2 40.(多选)(25-26高二上山东阶段检测)已知实数xy满足方程x2+y2-4x+1=0,则下列说法正确 的是() A.点(x,y)到点(2,0)的距离为定值 B.y的最大值为√ c.Vx2+0y-)的最大值为V5 D.x+y的最大值为2+√6 知识点09 复数和向量中的隐圆 知识点速记： 复数z满足z-(a+b)=r(>0),则复数z在复平面上对应的点Z在以(a,b)为圆心，r为半径 的圆上。 题型巩固练： 8/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.(25-26高二上四川成都期末)己知R△ABC的斜边为AB,且A(0,-2),B(0,2),则直角顶点C的轨 迹方程为() A.x2+y2=4 B.x2+y2=4x≠2且x≠-2) C,x2+y2=4(x≠±2且y≠±2) D.x2+y2=4(y≠-2且y≠2) 42.(2026河南模拟预测)若复数2满足=1，则2-21的取值范围是() A.[0,2] B.1,2] c.1,3] D.[0,3] 43.(25-26高一下广东江门期中)已知复数z满足2-2+21=2，则z+1-21的最小值为() A.5-√2 B.3 c.5-√2 D.1 44.(25-26高一上北京期末)己知圆C:(x-3+y=9,D是圆C上的动点，点E(2,4),若动点M 满足DM=2DE,则点M的轨迹方程为 B组 能力进阶 1.(2026陕西商洛模拟预测)己知圆0：(x-1)+y2=r2,则“点M(2,1)在圆0外”是“点N(0,2)在 圆0外”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.(25-26高二上·陕西商洛阶段检测)上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊， 1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧进行了加宽，建成了 “彩虹桥”（图1），非常漂亮.桥上一圆拱形的结构跨度AB=24m,拱高OP=8m.在建造时每隔相等 长度用一个柱子支撑，4B,4B,为其中的两根支柱（图2），且OA=O4,=5m,则支柱AB的高度为 B B A O A2 B 图1 图2 A.7.5m B.8.5m C.7m D.8m 9/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026海南海口模拟预测)在平面直角坐标系x0中，圆C:(x-V5)+0y-)=9,过点P(0,6)且斜 率存在的直线1与圆相交于A,B两点，若OA=OB,则圆心C到直线1的距离为() A.1 B.2 C.3 2 0.4 5 4.(多选)(25-26高二上贵州遵义期末)己知点P在圆C:(x-1)'+(y-)2=10的内部，则点P的坐标 可能为() A.(0,0) B.(2,2) c.(4,2) D.(2025,2026) 5.(多选)(2026湖北武汉模拟预测)已知点A(1,0),B(4,0),M为圆0：x2+y2=4上一点，则 () A.点B在圆O外 B.MB的最大值为6 c.- D.MA+MB的最大值为9 6.(25-26高一下湖南长沙阶段检测)已知三角形ABC中，BC=3,角A的平分线交BC于点D,若 BD 1 DC=2,则三角形ABC面积的最大值为() A.2V3 B.3 c.2V2 D.4 7.(25-26高二上江苏苏州阶段检测)己知A(-2,0),B(2,0),P是圆x+(y-3=9上一点，G是 △PAB的重心，则GA+GB的取值范围是() A.[10,24] B.[10,14] c.(8,16] D.[8,12] 8。(25-26高三上河南漯河期末)定义：如果在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A,B的坐标分别 为(G,片)，(c,乃)那么称d(4,B)=:-+4-为4，B两点间的曼哈顿距离； D(4,B)=Vx-,)}+(y-y2}为4，B两点间的欧几里得距离已知M(3,2),D(O,N)=2,则d(M,N)的 最大值为() A.1+2V2 B.5-2W2 C.5+2√2 D.22-1 9.(24-25高二下四川德阳期末)已知圆C:(x-a°+(y-b)=2关于直线x+y-10=0对称，则圆C上 任意一点M到原点O的距离的最小值为 (请用数字作答) 10114 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高二上贵州黔南期末)己知两点A(-m,0),B(m,0)(其中m≠0)，若圆 C:(x-3)}+(y-4)}=1上总存在点P使得∠APB=90°，则实数m的取值范围是 11.(25-26高二上福建阶段检测)若M,N分别为圆℃：(x+6}+0y-5)》=4,与圆C,:(x-2+0-)2=1 上的动点，P为直线y=I上的动点，则PM+PN的最小值为 12.(25-26高二下贵州贵阳阶段检测)己知直线：：-y+2k+1=0恒过定点A,点B为圆 C:(x-1)}+(y-3=4上的动点：0为坐标原点，则△40B面积的最小值为， 13.(25-26高二上江苏苏州阶段检测)平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，4B=3且 AE=2EB,若CE,DE分别是∠ACB、∠ADB的角平分线，线段CD的最大值为 C组 思维拔高 1.【数学文化】（河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点 圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点， 这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.在△ABC中，若A(-1,4),B(3,2),C5,0),则△ABC的九点圆 的方程为() A.x-62+0-62=34 （- ,13)2 c.x-5+y-2=32 0.（9-2 2.【知识融合】(25-26高一下江西宜春阶段检测)已知圆C:(x-a)2+(0y-b)=1(a>0,b>0)上有两点 21 关于直线x+2y-2=0对称，则。+方的最小值为() A.2√2 B.3 C.4 D.8 3.【知识融合】(2026湖南一模)在空间直角坐标系4yz中，点M(x,,),N(x,2,2),定义 dM,N)=k-X+-+5-小如图，正方体的棱长为5，D正-号DC,平面内两个动点卫，G分 3 别满足(G,A)=l,∠APB=∠DPE,则PG的取值范围为() 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Z D B A.[2,16] B.[3,15] c.[4,15] D.[4,16 4.【直观想象】(2026广东·一模)如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，已知围成该月牙形 的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点O和点C,月牙尖的坐标分别为 A(-1,2),B(2,-1),则圆C的标准方程为一 5.【知识融合】(25-26高三上江苏徐州期中)已知平面向量a,6,c,满足p=1-4g,且=4， 6+2d=2,c=pa+gb,若对每一个确定的向量a,记的最小值为x,则当a变化时，t的最大值为 6.【知识融合】(25-26高三下·上海浦东新·期中)某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米 的正方形，高为3米.为营造动态光影效果，在底面一个项点处安装射灯A,在与该顶点相对的侧棱上、 距底面1米处安装射灯I,两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的 交汇点G始终落在实验室天花板上.则交汇点G形成的轨迹长度为 米 7.【新定义问题】(25-26高二上四川成都阶段检测)“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词 汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如在平面直角坐标系中，点P(x,)、Q(,)的曼哈 顿距离为：Lp阳=x-x+以-2.若点P(1,2),点9为圆C:x2+y2=4上一动点，则Le的最大值与最小 值之和为. 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接高考 1.(2022北京高考真题)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)}+y=1的一条对称轴，则a=() A C.1 0.-1 2.(2020山东高考真题)已知圆心为(-2,1)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是() A.(x+2)+(y-1)}2=1 B.(x+2)}+(0y-1)=4 C.(x-2)+(y+1)2=1 D.(x-2)2+(y+1)2=4 3.(2017全国高考真题)己知点4A(-5,4),B(3,-2),则以AB为直径的圆的方程为() A.(x+1)2+0y+1)2=25 B.(x+I)2+(y-1)2=25 C.(x+1)2+y+1)2=100 D.(x+1)2+(y-1)2=100 4.（202全国高考真题)圆(x-1+y=1的圆心到直线y=5 x的距离是() A月 2 C.1 D.5 5.(2005重庆高考真题)圆(x+2)}+y=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为() A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5 C.(x+2)2+(y+2)2=5 D.x2+(y+2)2=5 6.(2001全国高考真题)过点A(1,-),B(-1,),且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(） A.（x-1)+(y-1)2=4 B.(x+3)+(y-1)2=4 C.(x-3)+(y+12=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 7.(2006重庆高考真题)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程是 A.(x-2)2+(y+1)2=3 B.(x+2)2+(y-1)2=3 C.(x-2)2+(y+1)2=9 D.(x+2)2+0y-1)2=9 8.(2009重庆高考真题)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是() A.x2+y-2)2=1 B.x2+y+2)2=1 C.(x-12+y-3)2=1 D.x2+y-32=4 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(2022全国甲卷高考真题)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和0，)均在⊙M上，则⊙M的方程 为 10.(2022全国乙卷高考真题)过四点(0,0)，(4,0)，(-1，)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 14/14函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4.1 圆的标准方程 参考答案 A组 巩固过关 知识点01 由圆的标准方程确定圆心和半径 1.B: 2.A: 3.D; 知识点02 判断点和圆的位置关系 4.A; 5.B: 6.（1-2,1+2): 知识点03 由圆心（或半径）求圆的标准方程 7.C; 8.B; 9.B; 10.A: 11.C; 12.C: 13.A: 14. (x-2)2+y+1)2=4; 知识点04 由圆心在直线上和圆过点求圆的方程 15.A: 16.(x-2)2+(y-2)2=5: 17. 【答案】(1)2x-y-8=0,(2)x-1)2+0y+02=10 【解】④由整意，直线的制率= 则所求直线的斜率k,= 1=2 代入点斜式方程得y-0=2(x-4), 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .过点A且和1垂直的直线的方程为2x-y-8=0 (2)设圆心C为(a,b),半径为r ,圆心在直线x+y=0上，∴a+b=0,则点C为(a,-a), 由题意可得ACHBC卡r, 则V(a-4)2+(-a-0)2=(a-2}2+(-a-2)},解得a=1, ∴圆心C的坐标为(，)，半径r=V10, 圆C的标准方程为(x-)2+心+1)2=10. 知识点05 由三个点求圆的标准方程 18.C: 19.A: 20.D; 2L【答案】6a++0}- 【详解】(1)因为A(4,1),B(-6,3),C(3,0). AB到=V4+62+1-3y=2√26， 3-11 直线4B的斜率为6-4=5， 直线6的方程为y-1=写-4到.即+5y-9=0 3+5x0-91=6 点c到直线4B距离为1+2526， 因此A1BC面积S=2×2√26x 2 6, 26 (2)因为A(4,1),B(6,3),C(3,0), 所以线段4B中点为(-1,2)，又直线4B的斜率为5， 因此其中垂线的方程为y-2=5(x+),即5x-y+7=0, 百线4C的车为胃，线度4C中点为》 > 则C中垂线方程气-引.即+y-40 2/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5x-y+7=0 联立 19 x+y-4=0,求出外接圆圆心为22 外接圆半秘为++0-多 2 因此外接圆方程为(x+与？+0- 9=65 2 知识点06 圆的对称性 22.B: 23.A; 24.B: 25.C: 26.C; 27.-1: 知识点07 定点和圆上点的距离的最值 28. 29.A; 30.[,25； 31.[25,65]； 知识点08 阿波罗尼斯圆 32.B; 33.C: 34.(x-5)}+y2=16: 35.3: 知识点09 圆的参数方程的应用 36. 37.C: 38.C; 39.C; 40.ABD; 知识点09 复数和向量中的隐圆 41.D: 42.C: 43.B; 44.(x-12+(y-8}2=9; B组 能力进阶 1.B: 2.C: 3.A: 4.AB; 5.ABD; 6.B; 7.C; 8.C: 3/4 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7-25 9.42 10.【-6,-4U[4,6: 11.8√2-3 12. 2 13.4: C组 思维拔高 1 1.B;2.C: 3.A;4(x-1+(y-12=5; 53:6.2W2π 7.5+22-V3 拓展 链接高考 1.A:2.B;3.B; 4.A: 5.A;6.A: 7.C:8.A:9.(c-)2+0y+l)2=5: 10-2+0-y=13或-2+0-旷=5--威--(--8 414