2.4 轨迹问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦轨迹问题习题课，核心内容为直接法、代入法、定义法、消参法求曲线轨迹方程，课堂导入结合太阳移动、流星轨迹等生活实例，通过问题引导、例题示范、步骤总结（如直接法“建设现代化，补充说明”口诀）及跟踪训练，构建坐标法研究几何问题的学习支架。 资料以问题驱动探究，每种方法配套例题解析与反思感悟，强调轨迹方程中特殊点的检验，帮助学生形成步骤化解题思维，培养用数学眼光观察生活轨迹、用数学思维推理方程构建、用数学语言规范表达的核心素养，提升解题准确性与逻辑能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案 轨迹问题习题课 [学习目标]　1.掌握坐标法研究几何问题.2.会运用直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法求曲线的轨迹方程.(重点) 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：太阳一天中移动的轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹. 一、直接法求轨迹方程 问题1　已知动点P满足的等量关系，如何求动点P的轨迹方程？ 例1　在平面直角坐标系中，A(-2，0)，B(4，0)，点P满足=，求点P的轨迹. 反思感悟　直接法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的坐标系. (2)设点：设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式：列出有限制关系的几何等式. (4)代换：将轨迹所满足的条件用含x，y的代数式表示. (5)证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验). 简记为：建设现代化，补充说明. 跟踪训练1　动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1，则点P的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 二、代入法(相关点法)求轨迹方程 问题2　已知动点P的运动是由另外某一点P'的运动引起的，而点P'的运动规律已知(点P'的坐标满足某已知曲线方程)，如何求动点P的轨迹方程？ 例2　已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程. 反思感悟　代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点为P(x，y)，已知曲线上动点Q(x0，y0). (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程. (4)化简：化简方程得所求方程. 跟踪训练2　设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 三、定义法求轨迹方程 问题3　回顾圆的定义，圆上的点满足什么条件？ 例3　已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程. 反思感悟　定义法求轨迹方程的关键点 先从条件中判断点的轨迹为学过的哪个图形，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程. 跟踪训练3　一条定长为2a(a>0)的线段AB，点A在x轴上，点B在y轴上滑动.则线段AB的中点P的轨迹方程为　　　　　　. 四、消参法求轨迹方程 问题4　已知点P的坐标(x，y)满足如何求动点P的轨迹方程？ 例4　在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，求点P的轨迹方程. 反思感悟　消参法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建立动点P的坐标x，y与某个参数t的函数关系 (2)通过消参得到关于x，y的普通方程. 跟踪训练4　在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中t为参数，则点P的轨迹方程为　　　　. 1.知识清单： (1)直接法求轨迹方程. (2)代入法(相关点法)求轨迹方程. (3)定义法求轨迹方程. (4)消参法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合、直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点. 1.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则点P的轨迹方程是(　　) A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2 C.(x+1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=2 2.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P满足·=0，则点P的轨迹方程为　　　　　　. 3.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　. 4.已知Rt△ABC的斜边为BC，且B(-2，0)，C(2，0)，则直角边AC的中点M的轨迹方程是　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案 轨迹问题习题课 [学习目标]　1.掌握坐标法研究几何问题.2.会运用直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法求曲线的轨迹方程.(重点) 导语 生活中我们处处可见轨迹的影子.例如：太阳一天中移动的轨迹，美丽的流星划过夜空留下的轨迹. 一、直接法求轨迹方程 问题1　已知动点P满足的等量关系，如何求动点P的轨迹方程？ 提示　先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程. 例1　在平面直角坐标系中，A(-2，0)，B(4，0)，点P满足=，求点P的轨迹. 解　设点P(x，y)，则==， 化简整理得x2+y2+8x=0，即(x+4)2+y2=16， 所以点P的轨迹是以(-4，0)为圆心，4为半径的圆. 反思感悟　直接法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建系：建立适当的坐标系. (2)设点：设轨迹上的任一点P(x，y). (3)列式：列出有限制关系的几何等式. (4)代换：将轨迹所满足的条件用含x，y的代数式表示. (5)证明(一般省略)：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程(对某些特殊值应另外补充检验). 简记为：建设现代化，补充说明. 跟踪训练1　动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1，则点P的轨迹方程是　　　　　　　　　　. 答案　x2+y2=1(x≠±1) 解析　设P(x，y)，则kPA=，kPB=， ∵动点P与定点A(-1，0)，B(1，0)的连线所在直线的斜率之积为-1， ∴kPA·kPB=-1，∴=-1，即x2+y2=1， 又当x=±1时，必有一条直线的斜率不存在，故x≠±1， 综上，点P的轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1). 二、代入法(相关点法)求轨迹方程 问题2　已知动点P的运动是由另外某一点P'的运动引起的，而点P'的运动规律已知(点P'的坐标满足某已知曲线方程)，如何求动点P的轨迹方程？ 提示　设P(x，y)，用(x，y)表示相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程. 例2　已知定点A(4，0)，点P在圆O：x2+y2=4上运动，且点P不在x轴上，∠AOP的平分线交AP于点M，求点M的轨迹方程. 解　由题意知|OP|=2，|OA|=4， 设M(x，y)，P(x1，y1)，y1≠0， 因为OM是∠AOP的平分线，所以==2，所以=， 所以(x-4，y)=(x1-4，y1)， 所以所以 将P(x1，y1)代入x2+y2=4，可得+=4，即+y2=(y≠0)， 所以点M的轨迹方程为+y2=(y≠0). 反思感悟　代入法(相关点法)求动点的轨迹方程的步骤 (1)设点：设所求轨迹上动点为P(x，y)，已知曲线上动点Q(x0，y0). (2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程. (4)化简：化简方程得所求方程. 跟踪训练2　设定点M(-3，4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程. 解　设P(x，y)，N(x0，y0)，根据中点坐标公式得 由+=4，得(x+3)2+(y-4)2=4， 当O，M，N三点共线时，不能构成平行四边形， 此时 解得或得到两点和. 所以点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4，去掉，两点. 三、定义法求轨迹方程 问题3　回顾圆的定义，圆上的点满足什么条件？ 提示　圆上的点满足到圆心的距离等于半径. 例3　已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求底边另一个端点C的轨迹方程. 解　设C(x，y)，由题意知，|AB|==， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，-1)， 所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点). 反思感悟　定义法求轨迹方程的关键点 先从条件中判断点的轨迹为学过的哪个图形，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程. 跟踪训练3　一条定长为2a(a>0)的线段AB，点A在x轴上，点B在y轴上滑动.则线段AB的中点P的轨迹方程为　　　　　　. 答案　x2+y2=a2 解析　当A，B与原点O不重合时，|OP|=|AB|=a，∴点P的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，∴点P的轨迹方程是x2+y2=a2(x≠0且y≠0). 当点A为原点时，P(0，a)或P(0，-a)，当点B在原点时，P(a，0)或P(-a，0)，也符合上式. ∴点P的轨迹方程是x2+y2=a2. 四、消参法求轨迹方程 问题4　已知点P的坐标(x，y)满足如何求动点P的轨迹方程？ 提示　消去参数t后即可得到轨迹方程. 例4　在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，求点P的轨迹方程. 解　由已知得，cos θ=，sin θ=， 又cos2θ+sin2θ=1， 所以cos2θ+sin2θ=+=1， 即点P的轨迹方程为x2+y2=4. 反思感悟　消参法求动点的轨迹方程的步骤 (1)建立动点P的坐标x，y与某个参数t的函数关系 (2)通过消参得到关于x，y的普通方程. 跟踪训练4　在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中t为参数，则点P的轨迹方程为　　　　. 答案　x2+y2-y=0，去掉点(0，0) 解析　∵ 由得=t，代入②， 得y=， 即x2+y2-y=0. 又由②式得y>0， ∴点P的轨迹方程为x2+y2-y=0，去掉点(0，0). 1.知识清单： (1)直接法求轨迹方程. (2)代入法(相关点法)求轨迹方程. (3)定义法求轨迹方程. (4)消参法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合、直接法、代入法(相关点法)、定义法、消参法. 3.常见误区：在求动点的轨迹方程时，易忽略检查是否有要删除(增加)的点. 1.设A为圆x2+y2-2x=0上的动点，PA是圆的切线且|PA|=1，则点P的轨迹方程是(　　) A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2 C.(x+1)2+y2=4 D.(x+1)2+y2=2 答案　B 解析　圆x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1，由题意可得圆心(1，0)到点P的距离为，所以点P在以(1，0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2. 2.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P满足·=0，则点P的轨迹方程为　　　　　　. 答案　x2+y2=4 解析　设P(x，y)，所以=(-2-x，-y)，=(2-x，-y)， 因此由·=0得(-2-x)(2-x)+(-y)(-y)=0，即x2+y2=4， 所以点P的轨迹方程为x2+y2=4. 3.在平面直角坐标系中，已知点P的坐标(x，y)满足其中θ为参数，则动点P的轨迹方程为　　　　　　　. 答案　+y2=1 解析　由已知得，cos θ=，sin θ=y， 又cos2θ+sin2θ=1， 所以cos2θ+sin2θ=+y2=1， 即点P的轨迹方程为+y2=1. 4.已知Rt△ABC的斜边为BC，且B(-2，0)，C(2，0)，则直角边AC的中点M的轨迹方程是　　　　　　. 答案　x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2) 解析　设M(x，y)，A(x0，y0)， 因为C(2，0)，M是线段AC的中点， 由中点坐标公式得x=，y=，所以x0=2x-2，y0=2y， 即A(2x-2，2y)，所以=(4-2x，-2y)，=(-2x，-2y)， 由·=0，得(4-2x)(-2x)+(-2y)(-2y)=-8x+4x2+4y2=0， 即x2+y2-2x=0， 又A不能与B，C重合，所以2x-2≠-2且2x-2≠2，解得x≠0且x≠2， 所以动点M的轨迹方程为x2+y2-2x=0(x≠0且x≠2). . 学科网（北京）股份有限公司 $