2.4.1 圆的标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的标准方程”，通过李白《古朗月行》中月亮的圆形象导入，引导学生从现实情境抽象出数学问题，回顾确定圆的几何要素，通过问题链推导方程，搭建从几何定义到代数表达的学习支架。 以情境激发兴趣，用问题驱动探究，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过几何法与待定系数法的归纳，发展数学思维的逻辑推理能力，例题与跟踪训练结合，提升用数学语言表达和解决问题的能力，助力知识掌握与素养提升。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.4.1　圆的标准方程 [学习目标]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程. 导语 古朗月行(节选) [唐] 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆. (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1　(1)圆C的圆心在x轴上，且经过(0，1)，(2，1)两点的圆的标准方程为　　　　　　. (2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间的距离公式. 跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？ 知识梳理 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d=|PC|=. 位置 关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在 圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在 圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在 圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 例2　(课本例1)求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上. 例3　已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则实数a的取值范围为　　　　. 三、求圆的标准方程 例4　(1)(课本例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程. (2)(课本例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 例5　求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 反思感悟　求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 跟踪训练3　过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. (3)求圆的标准方程. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况. 1.圆心为(4，0)且过点(0，-3)的圆的标准方程为(　　) A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25 2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则实数a的取值范围为(　　) A.a> B.a<- C.a>或a<- D.不确定 4.经过O(0，0)，B(4，-4)两点，且圆心C在直线l：x+2y-1=0上的圆的标准方程为　　　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.4.1　圆的标准方程参考答案 [学习目标]　1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程.2.会根据已知条件求圆的标准方程. 导语 古朗月行(节选) [唐] 李白 小时不识月，呼作白玉盘. 又疑瑶台镜，飞在青云端. 月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 一、圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示　如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，由两点间的距离公式，得 =r， 两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2. 知识梳理 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. 注意点： (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆. (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1　(1)圆C的圆心在x轴上，且经过(0，1)，(2，1)两点的圆的标准方程为　　　　　　. 答案　(x-1)2+y2=2 解析　设圆心坐标为(a，0)，则a2+(0-1)2=(a-2)2+(0-1)2， 解得a=1，即圆心坐标为(1，0)，半径为=， ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. (2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　　. 答案　(x-1)2+(y-2)2=25 解析　∵AB为直径， ∴AB的中点(1，2)为圆心， |AB|==5为半径， ∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25. 反思感悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间的距离公式. 跟踪训练1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 解　(1)∵圆心坐标为(-5，-3)， 又与y轴相切，∴该圆的半径为5， ∴所求圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25. (2)设圆心坐标为(0，b)， 则(3-0)2+(-4-b)2=52， ∴b=0或b=-8， ∴圆心坐标为(0，0)或(0，-8)， 又半径r=5， ∴所求圆的标准方程为x2+y2=25或 x2+(y+8)2=25. 二、点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？ 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径. 知识梳理 圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 设d=|PC|=. 位置 关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在 圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在 圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在 圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 例2　(课本例1)求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上. 解　圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上. 把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图). 例3　已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 答案　-2或-6　a<-6或a>-2 解析　当点P在圆C上时， 由+(1-1)2=1， 解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时， 由+(1-1)2>1， 解得a<-6或a>-2. 反思感悟　判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 跟踪训练2　已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则实数a的取值范围为　　　　. 答案　[0，1) 解析　由题意知 即解得0≤a<1. 三、求圆的标准方程 例4　(1)(课本例2)△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程. 解　设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. ① 因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5-a)2+(1-b)2=r2，得r2=25. 所以，△ABC的外接圆的标准方程是 (x-2)2+(y+3)2=25. (2)(课本例3)已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程. 解　方法一　设圆心C的坐标为(a，b). 因为圆心C在直线l：x-y+1=0上， 所以a-b+1=0. ① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|. 根据两点间距离公式，有 =， 即a-3b-3=0. ② 由①②可得a=-3，b=-2. 所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径 r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 方法二　如图，设线段AB的中点为D.由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，-2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB==-3. 因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=，即x-3y-3=0. 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解. 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是(-3，-2). 圆的半径r=|AC|==5. 所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25. 例5　求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程. 解　方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦， 其垂直平分线为x+y-1=0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴ 得 即圆心坐标为(4，-3)， 半径为r==5. 即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. 反思感悟　求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程. 跟踪训练3　过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程是(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 答案　C 解析　方法一　设圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2， 则有解得 即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 方法二　因为kAB==-1， 线段AB的中点坐标为(0，0). 所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x. 由解得 所以圆心坐标为(1，1)，半径为2， 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. (3)求圆的标准方程. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况. 1.圆心为(4，0)且过点(0，-3)的圆的标准方程为(　　) A.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+4)2=25 C.(x-4)2+y2=25 D.(x+4)2+y2=25 答案　C 解析　方法一　由题意知所求圆的半径r==5，∴该圆的标准方程为(x-4)2+y2=25. 方法二　由x2+(y-4)2=25的圆心为(0，4)，A错；由x2+(y+4)2=25的圆心为(0，-4)，B错；由(x-4)2+y2=25的圆心为(4，0)，显然点(0，-3)在圆上，C对；由(x+4)2+y2=25的圆心为(-4，0)，D错. 2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 答案　B 解析　∵12+32=10<24， ∴点P在圆内. 3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则实数a的取值范围为(　　) A.a> B.a<- C.a>或a<- D.不确定 答案　C 解析　∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a<-. 4.经过O(0，0)，B(4，-4)两点，且圆心C在直线l：x+2y-1=0上的圆的标准方程为　　　　　　. 答案　(x-3)2+(y+1)2=10 解析　设圆心为C(a，b)，半径为r，则由|OC|=|BC|可得r==，即a-b-4=0， ① 又圆心C(a，b)在直线l：x+2y-1=0上，所以a+2b-1=0， ② 联立①②解得a=3，b=-1，所以半径r==， 所以圆的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=10. . 学科网（北京）股份有限公司 $