2.4.2 圆的一般方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“圆的一般方程”，通过从圆的标准方程展开，设计探究问题引导学生将标准方程化为二元二次方程一般形式，再通过配方分析D、E、F的条件，构建从已知到未知的知识支架。 导学案以探究式学习为主线，结合典例、变式及解题感悟，培养学生抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和用方程表达轨迹的模型意识（数学语言），习题层次分明，助力学生自主学习与数学能力提升。

2.4.2 圆的一般方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ★学习目标　1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系. 2.会求圆的一般方程. 3.能利用圆的一般方程解决相关的问题，会求简单的动点的轨迹方程. 一、圆的一般方程的辨析 探究1　圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，能否化为二元二次方程的一般形式？ 探究2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？ ★梳理教材 1.圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程 称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以 为圆心， 为半径的圆 ★温馨提示　二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（ 　） （2）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆.（ 　） （3）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（ 　） 【典例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. ★解题感悟 二元二次方程与圆的关系 （1）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F值是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. （2）由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式（－，－）写出圆心，利用公式r＝求出半径. 【练习1】　（1）当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为（ 　） A.4 B.3 C.2 D.1 （2）点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为 . 二、求圆的一般方程 【典例2】　已知圆过P（4，－2），Q（－1，3）两点，且被y轴截得的线段长为4，求圆的一般方程. 【变式探究】　本典例中，将“被y轴截得的线段长为4”改为“被x轴截得的线段长为4”，其他条件不变，如何求解？ ★解题感悟 求圆的一般方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而整理得到圆的一般方程 待定系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程，整理得到圆的一般方程 【练习2】　已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的一般方程. 三、代入法求轨迹方程 探究3　轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？ 【典例3】　已知O为坐标原点，P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程. ★解题感悟 　　求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法： （1）直接法：它是求曲线方程最重要最直接的方法.可分为以下五个步骤： ①建立适当的直角坐标系，设M（x，y）是所求曲线（轨迹）上的任意一点； ②找出（写出）动点M所满足的条件； ③用坐标表示此条件，得到方程f（x，y）＝0； ④化简所列出的方程； ⑤验证以方程的解为坐标的点都在曲线上. （2）代入法（又叫相关点法）：它用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题，只需找出这两点坐标之间的关系（用被动点坐标表示主动点坐标），然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了所要求的轨迹方程. （3）定义法：先由已知及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程. 【练习3】　已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的一般方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（2，3），且点M满足＝2，求点M的轨迹方程. ★课堂达标 1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别为　（ 　） A.（－2，3），13 B.（－2，3）， C.（2，－3）， D.（2，－3），13 2.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ 　） A.（－∞，－） B.（，＋∞） C.（－，＋∞） D.（－∞，） 3.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0（a为实数）上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝ . 4.如图，已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，线段PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为 . 5.已知动点P到点A（4，1）的距离是到点B（－1，－1）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 . 解析版 ★学习目标　1.结合教材实例了解二元二次方程与圆的一般方程的关系. 2.会求圆的一般方程. 3.能利用圆的一般方程解决相关的问题，会求简单的动点的轨迹方程. 一、圆的一般方程的辨析 探究1　圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，能否化为二元二次方程的一般形式？ 提示：展开（x－a）2＋（y－b）2＝r2为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，令D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，则x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，它是二元二次方程的一般形式. 探究2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？ 提示：题干中的方程可配方变形为（x＋）2＋（y＋）2＝，显然当D2＋E2－4F＞0时，该方程表示圆心为（－，－）， 半径为的圆. ★梳理教材 1.圆的一般方程 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　称为圆的一般方程. 2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点　（－，－）　 D2＋E2－4F＞0 表示以　（－，－）　为圆心，　　为半径的圆 ★温馨提示　二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. ★判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　√　） （2）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆.（　✕　） （3）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（　√　） 【典例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. 解：（1）据题意知，（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0， 即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为（－∞，）. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0化成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m， 故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. ★解题感悟 二元二次方程与圆的关系 （1）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F值是否为正，若D2＋E2－4F＞0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. （2）由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式（－，－）写出圆心，利用公式r＝求出半径. 【练习1】　（1）当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为（　D　） A.4 B.3 C.2 D.1 （2）点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为　9π　. 二、求圆的一般方程 【典例2】　已知圆过P（4，－2），Q（－1，3）两点，且被y轴截得的线段长为4，求圆的一般方程. 解：方法一（待定系数法）：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③ 由已知得，｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两个根， ∴｜y1－y2｜2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④ 联立①②④解得或 故所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二（几何法）：由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上， 设圆心C（a，a－1）. 又圆C的半径r＝｜CP｜＝.（*） 由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为｜a｜， ∴根据勾股定理得，r2＝a2＋（）2，代入（*）式整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5， ∴r1＝，r2＝. 故所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 【变式探究】　本典例中，将“被y轴截得的线段长为4”改为“被x轴截得的线段长为4”，其他条件不变，如何求解？ 解：设所求的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将P，Q的坐标分别代入， 得 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③ 由已知，得｜x1－x2｜＝4，其中x1，x2是方程③的两个根， ∴｜x1－x2｜2＝（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝D2－4F＝48. ④ 联立①②④解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－8＝0. ★解题感悟 求圆的一般方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而整理得到圆的一般方程 待定系数法 ①根据题意，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程，整理得到圆的一般方程 【练习2】　已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的一般方程. 解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）. ∵圆经过点（4，2）和（－2，－6）， ∴ 当y＝0时，设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 当x＝0时，设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得x1＋x2＋y1＋y2＝－D＋（－E）＝－2， 即D＋E－2＝0. ③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 三、代入法求轨迹方程 探究3　轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？ 提示：轨迹是指点在运动过程中形成的图形，是几何问题；轨迹方程是指点的坐标所满足的关系式，是代数问题，依赖坐标系的建立.有时候可以将二者一一对应起来，如（x－1）2＋（y－2）2＝4这个轨迹方程表示以（1，2）为圆心，以2为半径的圆. 【典例3】　已知O为坐标原点，P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程. 解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0）， 由中点坐标公式，可得x＝，y＝. 于是x0＝2x，y0＝2y. ① ∵点P在圆C：（x－2）2＋y2＝1上运动， ∴点P的坐标满足方程（x－2）2＋y2＝1， 即（x0－2）2＋＝1. ② 把①代入②，得（2x－2）2＋（2y）2＝1， 整理，得（x－1）2＋y2＝. ∴点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝. ★解题感悟 　　求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法： （1）直接法：它是求曲线方程最重要最直接的方法.可分为以下五个步骤： ①建立适当的直角坐标系，设M（x，y）是所求曲线（轨迹）上的任意一点； ②找出（写出）动点M所满足的条件； ③用坐标表示此条件，得到方程f（x，y）＝0； ④化简所列出的方程； ⑤验证以方程的解为坐标的点都在曲线上. （2）代入法（又叫相关点法）：它用于处理一个主动点与一个被动点之间的问题，只需找出这两点坐标之间的关系（用被动点坐标表示主动点坐标），然后代入主动点满足的轨迹方程，便可得到被动点所满足的方程，也即得到了所要求的轨迹方程. （3）定义法：先由已知及曲线定义得到所求轨迹为何种曲线，再由该种曲线的标准方程求得轨迹方程. 【练习3】　已知圆C经过（2，6），（5，3），（2，0）三点. （1）求圆C的一般方程； （2）设点A在圆C上运动，点B（2，3），且点M满足＝2，求点M的轨迹方程. 解：（1）设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得 解得 则圆C的一般方程为x2＋y2－4x－6y＋4＝0. （2）设M（x，y），A（xA，yA）， 则＝（x－xA，y－yA），＝（2－x，3－y）， 由＝2， 得 解得 由点A在圆C上， 得（3x－4）2＋（3y－6）2－4（3x－4）－6（3y－6）＋4＝0， 即x2＋y2－4x－6y＋12＝0， 故点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－6x＋12＝0. ★课堂达标 1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别为　（　C　） A.（－2，3），13 B.（－2，3）， C.（2，－3）， D.（2，－3），13 2.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（　C　） A.（－∞，－） B.（，＋∞） C.（－，＋∞） D.（－∞，） 3.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0（a为实数）上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝　－2　. 解析：由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心C（－1，－），则－1＋＋2＝0，解得a＝－2. 4.如图，已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，线段PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为　（x＋）2＋y2＝1　. 解析：设M（x，y），则Q（2x＋1，2y），因为点Q在圆x2＋y2＝4上， 所以（2x＋1）2＋4y2＝4，即（x＋）2＋y2＝1. 所以轨迹C的方程为（x＋）2＋y2＝1. 5.已知动点P到点A（4，1）的距离是到点B（－1，－1）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为　3x2＋3y2＋16x＋10y－9＝0　. 解析：设P（x，y），则由题意，可知 2＝， 化简整理，得3x2＋3y2＋16x＋10y－9＝0. 即点P的轨迹方程为3x2＋3y2＋16x＋10y－9＝0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $