2.3 对称问题 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦对称问题习题课，核心内容包括中心对称和轴对称的求解方法，以及对称在最值问题、反射问题中的应用。课堂通过问题引导学生思考对称点坐标关系，知识梳理系统整合点点、点线、线线对称的转化方法及特殊对称结论，搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料以问题驱动结合典型例题，注重转化化归与数形结合，通过反射光线、距离最值等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的对称关系，用数学思维推理对称点坐标及直线方程的求解逻辑，培养抽象能力与应用意识，助力学生自主构建知识体系，提升解决综合问题的能力。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案 　对称问题习题课 [学习目标]　1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点).2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点). 一、中心对称和轴对称问题 问题1　若点A(x，y)关于点P(a，b)对称的点为B(x'，y')，则A(x，y)，P(a，b)，B(x'，y')三点坐标满足什么关系？ 问题2　若点P(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x'，y')，则你能得到哪些数量关系式？ 知识梳理 1.中心对称：若P(a，b)是点A(x，y)和点B(x'，y')的中点，则 2.轴对称：若点P(x0，y0)和点Q(x'，y')关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)对称，则 注意点： (1)直线关于点对称(转化成点关于点对称) 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. (2)直线关于直线对称(转化成点关于直线对称) 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. (3)常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y). 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 例1　已知直线l：y=3x+3. (1)求点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)求直线y=x-2关于l的对称直线的方程； (3)求直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程； (4)直线l2：y=x+1，过点Q(2，5)的直线l1夹在直线l和l2之间的线段恰好被点Q平分，求直线l1的方程. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题. 跟踪训练1　已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 二、对称问题的综合应用 例2　(1)一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，则光线从O点到达P点所经过的路程为　　　　　　　　. (2)点P在直线l：x-y-1=0上，则P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值的最大值为　　　　. 反思感悟　(1)根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. (2)利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 跟踪训练2　(1)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.2 B.6 C.3 D.2 (2)已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　. 1.知识清单： (1)常见的对称问题. (2)光的反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 1.若点N与点M(-4，3)关于原点对称，则点N的坐标是(　　) A.(-4，-3) B.(3，-4) C.(4，-3) D.(4，3) 2.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是(　　) A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是(　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 4.若光线从A(-2，3)射出，经x轴反射后，过点C(2，1)，则反射光线所在的直线方程为　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案 　对称问题习题课参考答案 [学习目标]　1.学会解决点点、点线、线线对称问题(重点).2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题(难点). 一、中心对称和轴对称问题 问题1　若点A(x，y)关于点P(a，b)对称的点为B(x'，y')，则A(x，y)，P(a，b)，B(x'，y')三点坐标满足什么关系？ 提示　 问题2　若点P(x0，y0)关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x'，y')，则你能得到哪些数量关系式？ 提示　 知识梳理 1.中心对称：若P(a，b)是点A(x，y)和点B(x'，y')的中点，则 2.轴对称：若点P(x0，y0)和点Q(x'，y')关于直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)对称，则 注意点： (1)直线关于点对称(转化成点关于点对称) 方法一：在已知直线上任取两点，求出这两点关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程； 方法二：在已知直线上任取一点，求出该点关于已知点的对称点的坐标，再利用两直线平行，由点斜式求出直线方程. (2)直线关于直线对称(转化成点关于直线对称) 求直线l1：ax+by+c=0关于直线l2：dx+ey+f=0(两直线不平行)的对称直线l3. 第一步：联立l1，l2的方程，求得交点P(x0，y0)； 第二步：在l1上任取异于点P的一点Q(x1，y1)，求出点Q关于直线l2的对称点Q'(x2，y2)； 第三步：利用两点式写出l3的方程. (3)常见的一些特殊的对称 点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y). 点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x). 点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y). 点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y). 点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 例1　已知直线l：y=3x+3. (1)求点P(4，5)关于l的对称点的坐标； (2)求直线y=x-2关于l的对称直线的方程； (3)求直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程； (4)直线l2：y=x+1，过点Q(2，5)的直线l1夹在直线l和l2之间的线段恰好被点Q平分，求直线l1的方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上，且直线PP'垂直于直线l， 即解得 所以点P'的坐标为(-2，7). (2)解方程组得 则点在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则 解得 点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=， 化简得7x+y+22=0，即为所求直线的方程. (3)在直线l上取两点E(0，3)，F(-1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E'(6，1)，F'(7，4).因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为=， 即3x-y-17=0. (4)设直线l与l1的交点为M(a，b)，所以点M关于点Q的对称点为N(4-a，10-b)，又点M在l上，点N在l2上，所以解得所以M(1，6)，所以直线l1的方程为=，即x+y-7=0. 反思感悟　对称问题的解决方法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式. 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P'(2a-x，2b-y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0. (3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”. 设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. (4)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题. 跟踪训练1　已知P(-1，2)，M(1，3)，直线l：y=2x+1. (1)求点P关于直线l的对称点R的坐标； (2)求直线PM关于直线l对称的直线方程. 解　(1)设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， 则有 解得 所以R的坐标为. (2)因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R， 则直线MR即为所求的直线，由两点式得所求直线方程为11x+2y-17=0. 二、对称问题的综合应用 例2　(1)一束光线从原点O(0，0)发出，经过直线l：8x+6y=25反射后通过点P(-4，3)，则光线从O点到达P点所经过的路程为　　　　　　　　. 答案　8 解析　如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得 解得 所以点A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 所以光线从O到P的路程即为AP的长度， 由A(4，3)，P(-4，3)知，|AP|=4-(-4)=8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. (2)点P在直线l：x-y-1=0上，则P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差的绝对值的最大值为　　　　. 答案　 解析　如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为(a，b)，连接BB'，则kBB'·kl=-1，即×1=-1， ∴a+b-4=0， ① ∵BB'的中点在直线l上， ∴--1=0，即a-b-6=0. ② 由①②得 ∴点B'的坐标为(5，-1). 易知||PB|-|PA||=||PB'|-|PA||≤|AB'|，当且仅当P，B'，A三点共线时，||PB|-|PA||取得最大值|AB'|， 最大值|AB'|==. 反思感悟　(1)根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解. (2)利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差的绝对值最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 跟踪训练2　(1)如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A.2 B.6 C.3 D.2 答案　A 解析　由题意知，AB所在直线的方程为x+y-4=0.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，点P关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线所经过的路程为|CD|=2. (2)已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为　　　　. 答案　 解析　根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y=x的对称点为A'(x，y)， 所以 解得即A'(3，1)， 连接A'B，则|A'B|即为|MA|+|MB|的最小值，|A'B|==. 1.知识清单： (1)常见的对称问题. (2)光的反射问题. (3)利用对称解决有关最值问题. 2.方法归纳：转化化归、数形结合. 3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆. 1.若点N与点M(-4，3)关于原点对称，则点N的坐标是(　　) A.(-4，-3) B.(3，-4) C.(4，-3) D.(4，3) 答案　C 解析　因为点N与点M(-4，3)关于原点对称，所以N(4，-3). 2.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是(　　) A.(-1，-3) B.(17，-9) C.(-1，3) D.(-17，9) 答案　A 解析　设点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标为(-1，-3). 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是(　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 答案　D 解析　直线x-2y+1=0与x=1的交点为(1，1)， 在直线 x-2y+1=0上任取一点， 点关于直线x=1的对称点为， 可知所求直线方程即为点(1，1)和点所在直线的方程，则y-1=-(x-1)，即 x+2y-3=0. 4.若光线从A(-2，3)射出，经x轴反射后，过点C(2，1)，则反射光线所在的直线方程为　　　　. 答案　x-y-1=0 解析　因为点A(-2，3)关于x轴的对称点A'(-2，-3)在反射光线所在直线上，从而kA'C==1， 所以直线A'C的方程是y-1=x-2.故反射光线所在的直线方程为x-y-1=0. . 学科网（北京）股份有限公司 $