圆锥曲线中的同构问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦圆锥曲线中的同构思想，引导学生从椭圆、抛物线、双曲线的定义与性质出发，通过切线方程、轨迹方程、面积最值等问题，搭建从基础性质到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以多样化题型呈现同构思想的应用，通过抽象切线与曲线交点关系、推理韦达定理应用规律，培养学生的抽象能力与推理意识，提升用代数语言表达几何关系的模型观念，适合学生自主探究与教师教学评估。

圆锥曲线中的同构 一、单选题 1．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为和，焦距为2，点在椭圆上，当线段的中垂线经过时，有. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过原点作圆的两条切线，分别与椭圆交于点和点，直线、的斜率分别记为，.当点在椭圆上运动时. ①证明：恒为定值，并求出这个定值； ②求四边形面积的最大值. 4．如图，已知椭圆C：（）的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若过点A作圆（圆在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 5．如图，已知椭圆：的上顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作圆的两条切线，记切点分别为，令求此时两切点连线的方程； （3）若过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点）.当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 6．已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于､两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）若是抛物线上的点，点，在轴上，圆内切于，若面积等于8，求点的坐标. 7．已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． （1）求； （2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． 8．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：  上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴. 9．已知双曲线过点，且焦距为10． (1)求C的方程； (2)已知点，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：． 10．抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切． （1）求C，的方程； （2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由． 三、填空题 11．如图所示，已知、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，则的取值范围为 ；记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则的取值范围是 ． 12．如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于、两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 答案 B 1．B 【解析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程. 【详解】在抛物线上，故，即，抛物线方程为， 设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线. 联立 ，得， 故，由得，故， 联立 ，得， 故，由得，故， 故，又由在抛物线上可知， 直线的斜率为 ， 故直线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 求圆的切线的方程的求法： （1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程； （2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程. 2．（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 3．(1) (2)①;②1 【分析】（1）根据已知条件以及椭圆的定义求得，从而求得椭圆方程. （2）①由直线和圆相切列方程，利用根与系数求得恒为定值. ②先求得四边形面积的表达式，然后利用基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）取的中点记为，连结. 在Rt中，，所以， 则， 即，所以椭圆方程为. （2）①直线与相切，则； 直线与相切，同理有； 则是关于的方程的两根， 由韦达定理知， ②由①问知，如图， 设，由， 同理可得， ， ， ， 所以当即 【点睛】本题通过椭圆的标准方程、切线性质和四边形面积的求解，综合考察了椭圆的几何性质、韦达定理及不等式求解的能力.在解题过程中，椭圆参数的确定、切线斜率的关系及面积最大值的求解环环相扣，体现了代数与几何的紧密结合.在求四边形面积的最大值时，利用了基本不等式，确保最大值的合理性，并找出条件下的最优值. 4．（1）；（2）过定点， 【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程； （2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆，解出B，D坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率的关系，表示出直线BD的方程即可求得过定点. 【详解】解：（1）依题意可得：） （2）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得： ， 可得；同理可得 由圆M与l相切得： 由韦达定理得： 所以直线BD的斜率…… 直线BD的方程为： 化简为：，即 所以，当变化时，直线BD总过定点 【点睛】此题考查求椭圆的方程，根据直线与椭圆，直线与圆的位置关系讨论直线的定点问题，关键在于准确进行等价转化计算求解. 5．（1）；（2）；（3）过定点，理由见解析. 【解析】（1）利用待定系数法求椭圆方程；（2）方法一，由数形结合，直接看出切线方程，求切点，再求切线方程，方法二，设圆上切点，写出过该切点的圆的切线方程，同理得到过的切线方程，切线过点，利用两点确定一条直线，求切线方程，方法三，点也在以为直径的圆上，利用两圆相减就是直线的方程；（3）方法一，设切线方程为，与椭圆方程联立，求点的坐标，并表示直线的斜率，并求直线的方程，表示定点；方法二，可设BD的直线方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，并表示，得到的值. 【详解】（1）由已知可得，，所求椭圆的方程为      （2）法一，数形结合易知，切线的方程为切线的方程为，故切点，所以切点连线的方程为即 法二设圆上切点，过该切点的圆的切线方程为，又因为过点所以有，即同理设另一个切点，由同构可知，经过不同两点有且只有一条直线，所以的直线方程为 法三 在为直径的圆：上，由两圆相减得的方程为 （3）法一设切线方程为，则，即， 由得 设两切线的斜率为，则是上述方程的两根， 所以 ； 联立   可得，设 则由韦达定理得； 由得  ， 直线的斜率 直线的方程为 整理得， 故直线过定点 法二设切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为，则是上述方程的两根， 所以； 可设BD的直线方程为     可得，设，由韦达定理得 ，， 代入 将韦达定理代入得       化简得 或(舍去)   故直线的直线方程为，直线经过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问求直线过定点问题，关键一点时利用切线方程与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，围绕着这个条件，利用坐标表示，得到直线所过的定点. 6．（1）；（2）或. 【解析】（1）先设抛物线的焦点为，则直线：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，以及焦点弦公式，求出，即可得出抛物线方程； （2）设，，，得出直线的方程，由直线与圆相切，求出，得到，是的两个实数根，计算出，根据三角形面积，求出，进而可得出结果. 【详解】（1）设抛物线的焦点为，则直线：， 由得，，， ，， 抛物线的方程为. （2）由题意，设，，， 因为圆内切于，所以点，的横坐标与的横坐标均不相同，且， 则直线的方程为，化简得， 又圆心到直线的距离为1，所以， 所以， 即，则， 即， 同理可得， 所以，可以看作是的两个实数根， 则，， 所以. 因为是抛物线上的点，所以， 则，又，所以， 从而， 解得，， 故点的坐标为或. 【点睛】关键点点睛： 求解本题第二问的关键在于根据圆与三角形内切，由圆心到直线的距离等于半径，列出点，的横坐标所满足的关系，由此表示出，之间距离，进一步表示出三角形的面积，即可求解. 7．（1）；（2）. 【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于的等式，即可解出的值； （2）设点、、，利用导数求出直线、，进一步可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得面积的最大值. 【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值 由题意知，，设圆M上的点，则． 所以． 从而有． 因为，所以当时，． 又，解之得，因此． [方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值 抛物线的焦点为，， 所以，与圆上点的距离的最小值为，解得； （2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法 抛物线的方程为，即，对该函数求导得， 设点、、， 直线的方程为，即，即， 同理可知，直线的方程为， 由于点为这两条直线的公共点，则， 所以，点A、的坐标满足方程， 所以，直线的方程为， 联立，可得， 由韦达定理可得，， 所以，， 点到直线的距离为， 所以，， ， 由已知可得，所以，当时，的面积取最大值. [方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值 同方法一得到． 过P作y轴的平行线交于Q，则． ． P点在圆M上，则 ． 故当时的面积最大，最大值为． [方法三]：直接设直线AB方程法 设切点A，B的坐标分别为，． 设，联立和抛物线C的方程得整理得． 判别式，即，且． 抛物线C的方程为，即，有． 则，整理得，同理可得． 联立方程可得点P的坐标为，即． 将点P的坐标代入圆M的方程，得，整理得． 由弦长公式得． 点P到直线的距离为． 所以， 其中，即． 当时，． 【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得关于圆M上的点的坐标的表达式，进一步转化为关于的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得的值；方法二，利用圆的性质，与圆上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点、、，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线的坐标满足方程，然手与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用弦长公式求得的长，进而得到面积关于坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到，，过P作y轴的平行线交于Q，则．由求得面积关于坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方法三直接设直线，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到，且．利用点在圆上，求得的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得P的坐标，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于的函数表达式，然后利用二次函数的性质求得最大值； 8．证明见解析 【分析】设P，A，B的纵坐标分别为，根据中点坐标公式得PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论； 【详解】证明：设，，， 若抛物线上一动点，则的中点为， 当中点在抛物线上时，则， 即， 因为，的中点在抛物线上， 所以为方程的两个不同的实数根. 所以， 即点的纵坐标为，因此，垂直于轴. 9．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程； （2）根据四点共线，要证即证，设出直线，，，联立直线方程与椭圆方程得出，将其代入，计算结果为零，即证出． 【详解】（1）由题意可得，故，所以C的方程为． （2）设，， 当时，即，解得，则， 双曲线的渐近线方程为， 故当直线与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点， 此时直线方程为， 令，则，故． 则直线． 由得， 所以，． ． 所以，所以 即． 【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设，从而得到直线方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明即可. 10．（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析 【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论； （2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论. 【详解】（1）依题意设抛物线， ， 所以抛物线的方程为， 与相切，所以半径为， 所以的方程为； （2）[方法一]：设 若斜率不存在，则方程为或， 若方程为，根据对称性不妨设， 则过与圆相切的另一条直线方程为， 此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意； 若方程为，根据对称性不妨设 则过与圆相切的直线为， 又， ，此时直线关于轴对称， 所以直线与圆相切； 若直线斜率均存在， 则， 所以直线方程为， 整理得， 同理直线的方程为， 直线的方程为， 与圆相切， 整理得， 与圆相切，同理 所以为方程的两根， ， 到直线的距离为： ， 所以直线与圆相切； 综上若直线与圆相切，则直线与圆相切. [方法二]【最优解】：设． 当时，同解法1． 当时，直线的方程为，即． 由直线与相切得，化简得， 同理，由直线与相切得． 因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为． 所以直线与相切． 综上所述，若直线与相切，则直线与相切． 【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路 11． 【分析】分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，利用韦达定理结合已知条件求出的取值范围，可求得的取值范围；设圆切、、分别于点、、，分析可知直线的倾斜角取值范围为，推导出圆、圆的半径、满足，求得，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 在双曲线中，，，则，故点， 若直线与轴重合，则直线与双曲线交于该双曲线的两个实轴的端点，不合乎题意， 所以，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， ，可得， ，可得， 所以，，且 当时，，此时， 当时，轴，此时， 当时，，此时， 综上，， 不妨设点在第一象限，则； 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点，可知直线的倾斜角取值范围为， 由切线长定理可得，，， 所以， ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，，则， 所以， 即，则， 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则， 故， 则，其中， 令，其中，则在单调递减，在单调递增. 因为，，则当时，， 故. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 12． 【分析】设圆切、、分别于点、、，分析可知直线的倾斜角取值范围为，推导出圆、圆的半径、满足，求得，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】双曲线的，，，渐近线方程为，两渐近线倾斜角分别为和. 设圆切、、分别于点、、， 过的直线与双曲线的右支交于、两点，可知直线的倾斜角取值范围为， 由切线长定理可得，，， 所以， ，则，所以点的横坐标为. 故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴， 故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切. 在中，，， ，，所以，， 所以，，则， 所以， 即，则， 由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为， 则， 故， 则，其中， 令，其中，则在单调递减，在单调递增. 因为，，则当时，， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线焦点三角形内切圆面积和的取值范围的求解，在涉及焦点三角形的问题时，应充分利用双曲线的定义以及圆的几何性质，解本题的关键在于确定两圆的半径所满足的关系式，结合函数的值域来求解. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $