2.3.2 两点间的距离公式导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦两点间的距离公式，涵盖两直线交点坐标求解、直线过定点问题、距离公式应用及坐标法证几何问题。通过问题驱动导入，从具体直线交点实例过渡到一般方程求解，衔接平面几何定性研究与代数定量分析，搭建知识支架。 以问题链引导学生抽象距离公式，结合例题与跟踪训练强化逻辑推理和运算能力，坐标法证明几何问题培养数学表达。注重数学眼光、思维与语言的融合，助力学生自主探究，提升知识应用与创新意识。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.3.2　两点间的距离公式 [学习目标]　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能初步判断两条直线的位置关系：相交或平行(重点).2.掌握平面上两点间的距离公式(重点).3.能运用坐标法证明简单的平面几何问题(难点). 导语 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 一、求两条直线的交点坐标 问题1　已知两条直线l1：x+y-5=0，l2：x-y-3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 问题2　已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？ 知识梳理 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解. 例1　(1)(课本例1)求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0. (2)(课本例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： ①l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0； ②l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0； ③l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 例2　判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x-3y=7，l2：4x+2y=1； (2)l1：2x-6y+4=0，l2：x-3y+2=0； (3)l1：2x+y-3=0，l2：4x+2y+1=0. 反思感悟　(1)判断直线与直线位置关系的方法有两种 ①解方程组判断 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 ②利用斜率判断. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 二、直线过定点问题 问题3　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 例3　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标. 延伸探究　若本例的条件不变，求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限. 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得. 三、两点之间的距离公式 问题4　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 问题5　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 知识梳理 1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|=. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|=. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k(k≠0)的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|= =·|x2-x1|， 或|P1P2|=|y2-y1|. 例4　(课本例3)已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值. 例5　已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 跟踪训练1　已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 四、坐标法的应用 例6　(课本例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 例7　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟　(1)用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|. 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线过定点问题. (3)两点间的距离公式. (4)坐标法证明平面几何问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法、待定系数法、坐标法. 3.常见误区： (1)对两直线相交条件认识模糊. (2)已知距离求参数问题易漏解. 1.两条直线l1：2x-y-1=0与l2：x+3y-11=0的交点坐标为(　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(-2，-3) D.(-3，-2) 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　) A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 3.已知M(2，1)，N(-1，5)，则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 4.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为　　　　. 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.3.2　两点间的距离公式参考答案 [学习目标]　1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，能初步判断两条直线的位置关系：相交或平行(重点).2.掌握平面上两点间的距离公式(重点).3.能运用坐标法证明简单的平面几何问题(难点). 导语 在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等. 一、求两条直线的交点坐标 问题1　已知两条直线l1：x+y-5=0，l2：x-y-3=0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示　直线l1，l2的图象如图所示. 点M既在直线l1上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x+y-5=0，也满足直线l2的方程x-y-3=0. 即交点坐标是方程组的解. 问题2　已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0相交，它们的交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？ 提示　点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标是方程组的解. 解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 知识梳理 已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组的解. 例1　(1)(课本例1)求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1：3x+4y-2=0，l2：2x+y+2=0. 解　解方程组 得 所以，l1与l2的交点是M(-2，2)(如图). (2)(课本例2)判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： ①l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0； ②l1：3x-y+4=0，l2：6x-2y-1=0； ③l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0. 解　①解方程组 得 所以，l1与l2相交，交点是M. ②解方程组 (ⅰ)×2-(ⅱ)得9=0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. ③解方程组 (ⅰ)×2得6x+8y-10=0. (ⅰ)和(ⅱ)可以化成同一个方程，即(ⅰ)和(ⅱ)表示同一条直线，l1与l2重合. 例2　判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x-3y=7，l2：4x+2y=1； (2)l1：2x-6y+4=0，l2：x-3y+2=0； (3)l1：2x+y-3=0，l2：4x+2y+1=0. 解　(1)由得 则l1与l2相交，交点坐标为. (2)由l1：2x-6y+4=0，l2：x-3y+2=0，l1的方程可化为x-3y+2=0， 故l1与l2重合. (3)由l1：2x+y-3=0，l2：4x+2y+1=0，l1的方程可化为4x+2y-6=0， 故l1与l2平行. 反思感悟　(1)判断直线与直线位置关系的方法有两种 ①解方程组判断 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 ②利用斜率判断. (2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 二、直线过定点问题 问题3　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示　当斜率存在时，y-1=k(x-4)(k∈R)；当斜率不存在时，x=4. 例3　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一定点P，求点P的坐标. 解　方法一　∵(m+1)x-y-7m-4=0， ∴m(x-7)+(x-y-4)=0， 令得 ∴点P的坐标为(7，3). 方法二　令m=0，直线方程为x-y-4=0， ① 令m=-1，直线方程为-y+3=0， ② 联立①②，解得x=7，y=3. 故点P的坐标为(7，3). 方法三　直线可化为y-3=(m+1)(x-7)，易知直线l过定点(7，3)，故点P的坐标为(7，3). 延伸探究　若本例的条件不变，求证：无论m为何值，直线l总经过第一象限. 证明　由例2的解答过程可知直线l恒过第一象限内的定点(7，3)， 所以无论m为何值，直线l总经过第一象限. 反思感悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解. (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得. 三、两点之间的距离公式 问题4　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|=|xA-xB|. 问题5　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|？ 提示　(1)当P1P2垂直于y轴时， |P1P2|=|x2-x1|； (2)当P1P2垂直于x轴时，|P1P2|=|y2-y1|； (3)当P1P2与坐标轴不垂直时，如图，在Rt △P1QP2中，=|P1Q|2+|QP2|2， 所以|P1P2|=. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离 |P1P2|=. 知识梳理 1.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|=. 2.原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|=. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k(k≠0)的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|= =·|x2-x1|， 或|P1P2|=|y2-y1|. 例4　(课本例3)已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值. 解　设所求点为P(x，0)，则 |PA|==， |PB|==. 由|PA|=|PB|，得x2+2x+5=x2-4x+11. 解得x=1.所以，所求点为P(1，0)，且 |PA|==2. 例5　已知△ABC的三个顶点A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状. 解　方法一　∵|AB|= ==2， |AC|===2， 又|BC|===2， ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2， 且|AB|=|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 方法二　∵kAC==， kAB==-， ∴kAC·kAB=-1，∴AC⊥AB. 又|AC|===2， |AB|===2， ∴|AC|=|AB|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)， |P1P2|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 跟踪训练1　已知A(a，2)，B(-2，-3)，C(1，6)三点，且|AB|=|AC|，则实数a的值为(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案　A 解析　由两点间的距离公式及|AB|=|AC|得，=， 解得a=-2. 四、坐标法的应用 例6　(课本例4)用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 证明　如图，四边形ABCD是平行四边形.以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 在▱ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a+b，c). 由两点间的距离公式，得 |AC|2=(a+b)2+c2，|BD|2=(b-a)2+c2， |AB|2=a2，|AD|2=b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(a2+b2+c2)， |AB|2+|AD|2=a2+b2+c2. 所以|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍. 例7　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|=|c|. 由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|==， ∴|DE|=|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟　(1)用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). ∴|AC|==， |BD|==. 故|AC|=|BD|. 1.知识清单： (1)两条直线的交点. (2)直线过定点问题. (3)两点间的距离公式. (4)坐标法证明平面几何问题. 2.方法归纳：消元法、直线系法、待定系数法、坐标法. 3.常见误区： (1)对两直线相交条件认识模糊. (2)已知距离求参数问题易漏解. 1.两条直线l1：2x-y-1=0与l2：x+3y-11=0的交点坐标为(　　) A.(3，2) B.(2，3) C.(-2，-3) D.(-3，-2) 答案　B 解析　解方程组得 2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点(　　) A.(-3，-1) B.(-2，-1) C.(-3，1) D.(-2，1) 答案　C 解析　直线l的方程可化为 m(x+2y+1)-x-3y=0， 令解得 ∴直线l恒过定点(-3，1). 3.已知M(2，1)，N(-1，5)，则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 答案　A 解析　|MN|==5. 4.已知△ABC的顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为　　　　. 答案　 解析　BC的中点坐标为(0，1)， 则BC边上的中线长为 =. . 学科网（北京）股份有限公司 $