第三讲 空间向量基本定理 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量基本定理及坐标表示，通过联系平面向量基本定理导入，以基底概念的分层理解为支架，从定义、判断到正交分解逐步深入，衔接后续空间几何证明与计算。 资料亮点在于题型分层明确，从基底判断到综合解答题覆盖全面，结合四面体、平行六面体等载体培养空间观念，通过命题辨析提升逻辑推理能力，规范向量表示助力数学语言表达，有效发展数学眼光与思维。

第三讲 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】经历空间向量基本定理的生成过程，能够准确表达空间向量基本定理，并会应用空间向量基本定理表示空间中任意一个向量． 【学习重点】空间向量基本定理. 【学习难点】空间向量基本定理的推证及唯一性证明. 必掌握知识点 必掌握知识点 一：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间任意向量p，存在有序实数组使得。 2、基底与基向量 如果向量a，b，c三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合，这个集合可看作是由这三个向量生成的。我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 二：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量，使得。当向量a的起点为原点时，向量a的坐标恰是其终点在空间直角坐标系中的坐标，其中x,y,z分别叫做该终点的横坐标、纵坐标、竖坐标，像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量a在单位正交基底下的坐标．记作，此时向量a的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，横坐标、竖坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 必考题型全掌握 题型一：空间基底的判断（能否构成空间一组基底） 1.空间向量基本定理：如果是空间不共面的三个向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得。 2.基底定义：不共面的三个向量叫做空间的一组基底；每一个向量叫基向量。 关键条件：三个向量必须不共面才能做基底；零向量不能作为基向量，零向量和任意两个向量共面。 3.判断方法 ①若其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合，则三向量共面，不能构成基底； ②假设，方程只有零解，则三向量不共面，可以构成基底。 4.推论：若是一组基底，则经过非零系数线性变换后，只要新的三个向量仍然不共面，依然可以作为新基底。 1．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 2．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 3．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 4．已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】三向量可作为基底等价于不共面，待定系数后方程组有解则共面. 【详解】对于A，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于B，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 对于C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底. 对于D，假设存在实数，，使得， 则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底. 题型二：空间向量基本定理 —— 向量的基底表示（线性分解） 1.核心：选定一组基底，把几何体中的目标向量拆解成基向量的形式。 2.常用几何中点、分点结论 中点：若是中点： 分点：若，。 3.几何体载体：四面体、平行六面体、三棱柱；利用棱向量作为基底，结合中点、三等分点条件，完成向量分解。 4.基底下的坐标定义：若，有序实数组叫做向量在基底下的坐标。 5.解题技巧：向量等式两边，同一基向量的系数对应相等，可以建立方程组求参数。 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理将向量表示成关于的线性组合，结合题设得到方程组，求解即得关于基底的表达式. 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得，故有 6．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以，解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 7．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 8．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 题型三：共面向量定理，三点、四点共面判定 1.共面向量定理：若不共线，则向量与共面存在实数，使。 2.四点共面推论 三点不共面，为空间任意一点： 四点共面，并且。 易错：系数之和不等于，四点一定不共面。 3.三点共线推论：三点共线，且。 9．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，， 则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在 使成立，②错误； 对于③，若 四点共面，则存在唯一 使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，因为为空间的一个基底，则不共面， 故不存在不全为0的使得； 假设不是空间的另一个基底，即存在不全为0的， 使得， 即，这与为空间的一个基底矛盾， 故假设不成立，所以构成空间的另一个基底，故④正确. 所以给定命题中不正确的个数为3. 10．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】C 【详解】A选项，设两个共线的向量为和，第三个向量为， 因为和共线，所以存在实数使得：，那么：， 根据向量共面定理，向量、、共面，所以A选项正确； B选项，若是共面的向量，则存在实数，使得：， 即，与不共面矛盾，所以B选项正确； C选项，若，则，当时，也满足条件，即不一定为锐角，所以C选项错误； D选项，由空间向量四点共面定理，对于空间中任意一点，若满足：，且， 则四点共面， 因为D选项中 ，所以四点共面，所以D选项正确. 11（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 12（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【答案】ABD 【详解】选项A：若，则，故A正确； 选项B：空间四点共面的充要条件是： 对空间任意一点，存在实数，使得，且， 所以，因此四点共面，故B 正确； 选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误； 选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 题型四：利用基底求向量的模长（求线段长度） 1.核心公式：；把向量写成基底的线性组合，等式两边平方，展开数量积运算。 2.展开公式： 。 3.已知基底向量的模、两两之间夹角，代入计算，开平方得到线段的长度。 载体：平行六面体求体对角线、面对角线长度。 13．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 14．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 15．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)， (2)因为，，，， 所以，， 由（1）得 ， 所以，即； (3) 【分析】（1）依托空间向量加减法法则，用线性表示； （2）将两向量数量积展开，结合边长与夹角算出点积为，证明向量垂直； （3）对平方展开，代入模长与数量积求出模长平方，开方得到线段长度． 【详解】（1）， ； （2）略 （3）由（1）得， 所以 ， 所以，即的长为． 题型五：命题辨析多选综合（基底、共面、数量积混合） 1.综合考点：基底判断、共面向量、四点共面、投影向量、向量夹角、异面直线夹角、动点轨迹、模长最值。 2.高频易错点 ①任意两个空间向量一定共面，但三个向量不一定共面； ②，夹角不一定是锐角，还可能两向量同向； ③向量共线，对应的直线可以平行，也可以重合； ④异面直线的方向向量可以平移，故异面直线上的两个向量是共面向量。 3.解题技巧：逐个选项验证；基底看是否共面；四点共面检验系数和是否等于 1；求模优先平方。 16（多选）．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 17（多选）．关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 【答案】ABC 【分析】利用必要不充分条件的定义，结合向量夹角公式判断A；利用共面向量定理的推论判断B；利用空间基底的意义判断C；利用共面向量的意义判断D. 【详解】对于A，由，得，反之，由为锐角，得， 因此“”是“为锐角”的必要不充分条件，A正确； 对于B，在中，，则P，A，B，C四点共面，B正确； 对于C，假设向量共面，则，而， 则，即，向量与共面，与是空间的一个基底矛盾， 因此向量不共面，也是空间的一个基底，C正确； 对于D，异面直线的方向向量可以平移到同一平面内， 因此分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线时，这两个向量共面，D错误. 故选：ABC 18（多选）下列关于空间向量的说法，正确的有（   ） A．若空间向量，与任意空间向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．若构成空间的一个基底，点D满足，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念判断A、D，根据向量垂直及共线的定义判断B，根据空间向量共面定理的推论判断C. 【详解】对于A：若向量，与任意空间向量都不能构成基底， 则只能这两个向量为共线向量，即，故A正确； 对于B：若非零向量，，满足，则，又，所以， 所以，即，所以，故B正确； 对于C：若是空间的一组基底，且， 又，所以，，，四点不共面，故C错误； 对于D：若、、共面，设， 即， 又是空间的一个基底，所以，方程组无解， 所以、、不共面，即也是空间的一个基底，故D正确. 故选：ABD. 19（多选）．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量的模都相等 B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 【答案】ACD 【分析】结合空间向量的基本概念依次判断即可． 【详解】对于A项，空间中所有的单位向量的模都为1，故A项正确； 对于B项，若两个非零向量方向相同且长度相等则它们是相等向量， 但它们的起点与终点可以不相同，故B项错误； 对于C项，若两个非零向量，不共线， 则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个向量不在此平面内， 使得，，不共面，从而构成空间的一个基底， 这与题设“与任何一个向量都不能构成空间的一个基底”矛盾， 故假设不成立，所以，共线，故C项正确； 对于D项，因为，所以，，，四点共面，故D项正确． 故选：ACD 题型六：解答综合大题（基底表示、证明垂直、求法向量） 1.题型：①用基底表示向量；②求线段长度；③证明向量垂直（证明）；④求平面法向量。 2.平面法向量定义：若且，则为平面的一个法向量。 3.解题步骤 ①选定题目给出的一组基底； ②把平面内两个方向向量全部用基底表示； ③设，联立数量积等于 0 的方程组，解出的一组解，得到法向量。 20．在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 21．如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 巩固提升： 1．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 2．在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能.故选：D 3．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . 4．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 5．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 6．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 7．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知有点在线段上动，即为直线与所成角，且，即可求. 【详解】由点满足，则点在线段上动，如图所示， 由于，可知即为直线与所成角， 连接，且， 在中，， . 8．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 10．在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 空间向量及其运算的坐标表示 【学习目标】经历空间向量基本定理的生成过程，能够准确表达空间向量基本定理，并会应用空间向量基本定理表示空间中任意一个向量． 【学习重点】空间向量基本定理. 【学习难点】空间向量基本定理的推证及唯一性证明. 必掌握知识点 一：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间任意向量p，存在有序实数组使得。 2、基底与基向量 如果向量a，b，c三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合，这个集合可看作是由这三个向量生成的。我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 二：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量，使得。当向量a的起点为原点时，向量a的坐标恰是其终点在空间直角坐标系中的坐标，其中x,y,z分别叫做该终点的横坐标、纵坐标、竖坐标，像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量a在单位正交基底下的坐标．记作，此时向量a的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，横坐标、竖坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 必考题型全掌握 题型一：空间基底的判断（能否构成空间一组基底） 1.空间向量基本定理：如果是空间不共面的三个向量，那么对空间中任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得。 2.基底定义：不共面的三个向量叫做空间的一组基底；每一个向量叫基向量。 关键条件：三个向量必须不共面才能做基底；零向量不能作为基向量，零向量和任意两个向量共面。 3.判断方法 ①若其中一个向量可以写成另外两个向量的线性组合，则三向量共面，不能构成基底； ②假设，方程只有零解，则三向量不共面，可以构成基底。 4.推论：若是一组基底，则经过非零系数线性变换后，只要新的三个向量仍然不共面，依然可以作为新基底。 1．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 4．已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二：空间向量基本定理 —— 向量的基底表示（线性分解） 1.核心：选定一组基底，把几何体中的目标向量拆解成基向量的形式。 2.常用几何中点、分点结论 中点：若是中点： 分点：若，。 3.几何体载体：四面体、平行六面体、三棱柱；利用棱向量作为基底，结合中点、三等分点条件，完成向量分解。 4.基底下的坐标定义：若，有序实数组叫做向量在基底下的坐标。 5.解题技巧：向量等式两边，同一基向量的系数对应相等，可以建立方程组求参数。 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A． B． C． D． 7．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 8．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型三：共面向量定理，三点、四点共面判定 1.共面向量定理：若不共线，则向量与共面存在实数，使。 2.四点共面推论 三点不共面，为空间任意一点： 四点共面，并且。 易错：系数之和不等于，四点一定不共面。 3.三点共线推论：三点共线，且。 9．在以下命题中，不正确的个数为（    ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数 ，使； ③对空间任意一点 和不共线的三点 ，若，则 四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底. A．1 B．2 C．3 D．0 10．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．已知向量是空间中的一组基底，则也是空间中的一组基底 C．若，则是锐角 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 11（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 12（多选）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 题型四：利用基底求向量的模长（求线段长度） 1.核心公式：；把向量写成基底的线性组合，等式两边平方，展开数量积运算。 2.展开公式： 。 3.已知基底向量的模、两两之间夹角，代入计算，开平方得到线段的长度。 载体：平行六面体求体对角线、面对角线长度。 13．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 14．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在平行六面体中，，，，． (1)以为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长． 题型五：命题辨析多选综合（基底、共面、数量积混合） 1.综合考点：基底判断、共面向量、四点共面、投影向量、向量夹角、异面直线夹角、动点轨迹、模长最值。 2.高频易错点 ①任意两个空间向量一定共面，但三个向量不一定共面； ②，夹角不一定是锐角，还可能两向量同向； ③向量共线，对应的直线可以平行，也可以重合； ④异面直线的方向向量可以平移，故异面直线上的两个向量是共面向量。 3.解题技巧：逐个选项验证；基底看是否共面；四点共面检验系数和是否等于 1；求模优先平方。 16（多选）．已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 17（多选）．关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．“”是“为锐角”的必要不充分条件. B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面. C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底. D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面. 18（多选）下列关于空间向量的说法，正确的有（   ） A．若空间向量，与任意空间向量都不能构成一组基底，则 B．若非零向量，，满足，，则有 C．若构成空间的一个基底，点D满足，则，，，四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 19（多选）．下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量的模都相等 B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．设是空间中任意一点，若，则，，，四点共面 题型六：解答综合大题（基底表示、证明垂直、求法向量） 1.题型：①用基底表示向量；②求线段长度；③证明向量垂直（证明）；④求平面法向量。 2.平面法向量定义：若且，则为平面的一个法向量。 3.解题步骤 ①选定题目给出的一组基底； ②把平面内两个方向向量全部用基底表示； ③设，联立数量积等于 0 的方程组，解出的一组解，得到法向量。 20．在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 21．如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 巩固提升： 1．已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，则直线AP与CD所成角的正切值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 10．在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 1 学科网（北京）股份有限公司 $