2.3.4 两条平行直线间的距离 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“两条平行直线间的距离”，核心内容包括点到直线距离公式的推导与应用，以及两条平行直线间距离公式的理解和最值问题。课堂导入承接上节课两点间距离公式，通过问题链引导学生思考点到直线距离的确定方法，搭建从已知到未知的学习支架。 导学案亮点在于采用坐标法与向量法推导公式，培养学生数学运算与逻辑推理素养。例题设计结合数形结合思想，包含课本例与延伸探究，习题分层且强调公式应用注意事项，助力学生掌握方法，发展直观想象与创新意识，适合自主学习与课堂教学使用。

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标]　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用(重点).3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离(重点). 导语 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下. 一、点到直线的距离公式 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 问题2　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 知识梳理 点到直线的距离公式：d=. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (4)点P(x0，y0)到直线x=x1的距离为|x0-x1|，点P(x0，y0)到直线y=y1的距离为|y0-y1|. 例1　(1)(课本例5)求点P(-1，2)到直线l：3x=2的距离. (2)(课本例6)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 例2　已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 延伸探究　求过点P(2，-1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. 二、两条平行直线间的距离 问题3　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4　怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离？ 知识梳理 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d=. 注意点： (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 例3　(课本例7)已知两条平行直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离. 例4　(1)已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0.求l1，l2间的距离. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x+y-1=0与l2：x+y-3=0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B. C. D.2 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，则两条平行直线间的距离d=. 跟踪训练1　已知直线5x+12y-3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是(　　) A.1 B.2 C. D.4 三、平行直线间的距离的最值问题 例5　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练2　已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点，则|PQ|的最小值为　　　　. 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式. (2)两条平行线间的距离. (3)平行直线间的距离的最值问题. 2.方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　) A.1 B. C.2 D. 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx+y-1=0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B. C.3 D.2 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 4.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 导学案2.3.4　两条平行直线间的距离参考答案 [学习目标]　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用(重点).3.理解两条平行直线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离(重点). 导语 距离问题是几何学的基本问题之一，上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离可以由点的坐标与直线的方程确定，如何确定呢？本节课我们就来学习一下. 一、点到直线的距离公式 问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l'，垂足为Q，由l'⊥l可知l'的斜率为， ∴l'的方程为y-y0=(x-x0)， 与l联立方程组， 解得交点 Q， ∴|PQ|=. 问题2　向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求点P到直线l的距离呢？ 提示　如图，设M(x，y)是直线l上的任意一点，可以看作在直线l的垂线上的投影向量， 直线l：Ax+By+C=0(AB≠0)的斜率为-， 所以m=(B，-A)是它的一个方向向量. (1)由向量的数量积运算可求得与m垂直的一个单位向量n=(A，B). (2)又P(x0，y0)， 可得向量=(x-x0，y-y0). (3)|PQ|=||=|·n|=. 知识梳理 点到直线的距离公式：d=. 注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax+By+C=0，则当A=0或B=0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (4)点P(x0，y0)到直线x=x1的距离为|x0-x1|，点P(x0，y0)到直线y=y1的距离为|y0-y1|. 例1　(1)(课本例5)求点P(-1，2)到直线l：3x=2的距离. 解　点P(-1，2)到直线l：3x-2=0的距离 d==. (2)(课本例6)已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解　如图，设边AB上的高为h， 则S△ABC=|AB|h. |AB|==2. 边AB上的高h就是点C到直线AB的距离. 边AB所在直线l的方程为=， 即x+y-4=0. 点C(-1，0)到直线l：x+y-4=0的距离 h==. 因此，S△ABC=×2×=5. 例2　已知点P(2，-1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时， 直线l的方程为x=2，符合题意； 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y+1=k(x-2)， 即kx-y-2k-1=0， 由点到直线的距离公式得=2， 解得k=， 所以直线l的方程为3x-4y-10=0. 故直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0. 延伸探究　求过点P(2，-1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？ 解　设原点为O，连接OP，如图， 易知当l⊥OP时，原点到直线l的距离最大. 由l⊥OP， 得kl·kOP=-1，又kOP=-， 所以kl=-=2. 所以直线l的方程为y+1=2(x-2)， 即2x-y-5=0， 即直线2x-y-5=0是过点P且与原点距离最大的直线， 最大距离为=. 反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. 二、两条平行直线间的距离 问题3　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示　根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离.这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离. 问题4　怎样求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离？ 提示　在直线Ax+By+C1=0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C2=0的距离，就是这两条平行直线间的距离， 即d=， 因为点P(x0，y0)在直线Ax+By+C1=0上， 所以Ax0+By0+C1=0， 即Ax0+By0=-C1， 因此d== =. 知识梳理 1.两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2.公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d=. 注意点： (1)两平行直线间的距离与一条直线上的任一点到另一条直线的距离相等. (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 例3　(课本例7)已知两条平行直线l1：2x-7y-8=0，l2：6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离. 解　先求l1与x轴的交点A的坐标.容易知道，点A的坐标为(4，0).点A到直线l2的距离 d===， 所以l1与l2间的距离为. 例4　(1)已知两条直线l1：2x-4y+7=0，l2：x-2y+5=0.求l1，l2间的距离. 解　l1：2x-4y+7=0即x-2y+=0， 所以l1，l2间的距离为d===. (2)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x+y-1=0与l2：x+y-3=0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　) A.1 B. C. D.2 答案　B 解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直， 则由两平行直线间的距离公式， 得|AB|==. 反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求. (2)公式法：设直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)，则两条平行直线间的距离d=. 跟踪训练1　已知直线5x+12y-3=0与直线10x+my+20=0平行，则它们之间的距离是(　　) A.1 B.2 C. D.4 答案　A 解析　由两条直线平行可得=， 解得m=24. 则直线10x+24y+20=0， 即5x+12y+10=0， 由两条平行直线间的距离公式得d==1. 三、平行直线间的距离的最值问题 例5　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解　(1)如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|==3. 故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)由图可知，当d取最大值时， 两直线与AB垂直. 而kAB==， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3)， 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. 反思感悟　应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 跟踪训练2　已知P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任意一点，则|PQ|的最小值为　　　　. 答案　 解析　因为3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0，又直线6x+8y-24=0与直线6x+8y+1=0平行，所以|PQ|的最小值即为两平行直线间距离=. 1.知识清单： (1)点到直线的距离公式. (2)两条平行线间的距离. (3)平行直线间的距离的最值问题. 2.方法归纳：公式法、数形结合法、解方程(组)法. 3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 1.原点到直线x+2y-5=0的距离为(　　) A.1 B. C.2 D. 答案　D 2.(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx+y-1=0的距离为3，则实数m等于(　　) A.0 B. C.3 D.2 答案　AB 解析　点M到直线l的距离 d==3， 所以m=0或m=. 3.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是(　　) A.4 B. C. D. 答案　D 解析　因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以=，所以m=4. 直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0， 由两条平行直线间的距离公式可得 d===. 4.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(-1，3)，Q(2，-1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能为(　　) A.1 B.3 C.5 D.7 答案　ABC 解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的距离最大，最大距离为|PQ|==5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0，5]. . 学科网（北京）股份有限公司 $