精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级下学期开学测试数学试题

哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年度七年级数学学科假期学情衔接检测 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( ) A. 160元 B. 180元 C. 200元 D. 220元 3. 将方程 去分母得 (　 ) A. 2﹣2(2x-4)= - (x-7) B. 12﹣2(2x﹣4)=﹣x﹣7 C. 12﹣4x﹣8= - (x-7) D. 12﹣2(2x﹣4)= x﹣7 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠A与∠B是同旁内角 B. ∠3与∠1是同旁内角 C. ∠2与∠3是内错角 D. ∠1与∠2是同位角 5. 如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长表示点C到的距离 B. 线段的长表示点A到的距离 C. 线段的长表示点B到的距离 D. 线段的长表示点C到的距离 6. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 7. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于( ) A. 15° B. 10° C. 7.5° D. 5° 9. 关于的叙述正确的是（ ） A. 在数轴上不存在表示 的点 B. C. D. 与最接近的整数是3 二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 10. 27的立方根为_____． 11. 的绝对值是 _______ 12. 在坐标平面内，已知点， 那么点A 关于y 轴的对称点的坐标为_____ 13. 已知点，将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度到达点，则点的坐标为______________． 14. 若，，则点在第________象限． 15. 已知OA⊥OC于O，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数为____________度． 16. 若∠1和∠2是对顶角，∠1=35°，则∠2的补角是_______． 17. 整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，那么应先安排做4小时的人数为 _____． 18. 当_____时，代数式可以合并成一项 三、解答题（本题共9小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，． （1）点的坐标为_______； （2）将三角形先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的图像是三角形，画出三角形； （3）三角形的面积为________． 22. 如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 23. 当时，整式的值是；当为何值时，这个整式的值为0？ 24. 如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°． (1)求证：AB∥CD； (2)求证：∠2+∠3=90°． 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍相关点”． 例如，点的 “3倍相关点”的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的 “3倍相关点”的坐标为． （1）已知点的“倍相关点”是点，求的值； （2）已知点的“倍相关点”是点，且点在轴上，求点到轴的距离． 26. 某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件？ （2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 27. 已知，如图，平分平分． （1）如图1，探究与的数量关系并证明． （2）如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年度七年级数学学科假期学情衔接检测 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A、是方程，是未知数，式子又是等式； B、不是方程，因为它不是等式； C、不是方程，因为它不含未知数； D、不是方程，因为它不是等式； 故选：A． 2. 某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是( ) A. 160元 B. 180元 C. 200元 D. 220元 【答案】C 【解析】 【分析】设这种衬衫的原价是x元，根据衬衫的成本不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种衬衫的原价是x元， 依题意，得：0.6x+40=0.9x-20， 解得：x=200． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3. 将方程 去分母得 (　 ) A. 2﹣2(2x-4)= - (x-7) B. 12﹣2(2x﹣4)=﹣x﹣7 C. 12﹣4x﹣8= - (x-7) D. 12﹣2(2x﹣4)= x﹣7 【答案】D 【解析】 【分析】根据原方程可知将其两边同时乘以各分母的最小公倍数6即可求得相应的答案. 【详解】∵原方程分母的最小公倍数为6， ∴原方程两边同时乘以6可得：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元一次方程中去分母的运算，熟练掌握相关方法是解题关键 4. 如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠A与∠B是同旁内角 B. ∠3与∠1是同旁内角 C. ∠2与∠3是内错角 D. ∠1与∠2是同位角 【答案】D 【解析】 【详解】解：∠A与∠B是同旁内角，所以A说法正确，不符合题意； ∠3与∠1是同旁内角，所以B说法正确，不符合题意； ∠2与∠3是内错角，所以C说法正确，不符合题意； ∠1与∠2是邻补角，所以D说法错误，符合题意， 故选D． 5. 如图，直角三角形中，，，垂足为点D，则下列说法正确的是（ ） A. 线段的长表示点C到的距离 B. 线段的长表示点A到的距离 C. 线段的长表示点B到的距离 D. 线段的长表示点C到的距离 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、线段的长表示点A到的距离，故A不正确，不符合题意； B、线段的长表示点C到的距离，故B不正确，不符合题意； C、线段的长表示点B到的距离，故C正确，符合题意； D、线段的长表示点B到的距离，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题的关键是掌握点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离． 6. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x，则愿两位数是=10（9﹣x）+x，新两位数是10x+（9﹣x），根据新两位数=原两位数+9”列方程求解可得 【详解】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x． 根据题意得：10x+（9﹣x）=10（9﹣x）+x+9 解得：x=5，9﹣x=4 ∴原来的两位数为45． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找出题目中的相等关系列出方程是解题的关键． 7. 如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，据折叠性质得到，再根据，求出，最后根据平行线性质即可得到的度数．利用折叠找到图中相等的角是解题关键． 【详解】解：由折叠可知， ∵，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，，，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP等于( ) A. 15° B. 10° C. 7.5° D. 5° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意与图形，可得，根据平行线的性质定理与角平分线的性质求解即可． 【详解】解: ∵，， ∴ABCDMP， ，， ， 又平分， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与角平分线的定义，掌握定理，观察图形，找到数量关系是解答的关键． 9. 关于的叙述正确的是（ ） A. 在数轴上不存在表示 的点 B. C. D. 与最接近的整数是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，算术平方根等知识点，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，求算术平方根即可． 【详解】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示的点，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、与最接近的整数是3，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 10. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 11. 的绝对值是 _______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数，绝对值，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：． 12. 在坐标平面内，已知点， 那么点A 关于y 轴的对称点的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数． 【详解】解：根据平面直角坐标系中关于轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数， ∴点关于轴的对称点是． 故答案为：． 13. 已知点，将点A先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度到达点，则点的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】让点A的横坐标加4，纵坐标加6即可得到的坐标． 【详解】解：由题中平移规律可知：的横坐标为；纵坐标为； ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用坐标表示平移．注意左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加． 14. 若，，则点在第________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限．第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴点在第二象限， 故答案为：二． 15. 已知OA⊥OC于O，∠AOB∶∠AOC=2∶3，则∠BOC的度数为____________度． 【答案】30°或150° 【解析】 【分析】根据垂直关系知∠AOC=90°，由∠AOB：∠AOC=2：3，可求∠AOB，根据∠AOB与∠AOC的位置关系，分类求解． 【详解】解：∵OA⊥OC， ∴∠AOC=90°， ∵∠AOB：∠AOC=3：2， ∴∠AOB=60°． 因为∠AOB的位置有两种：一种是在∠AOC内，一种是在∠AOC外．如图， ①当在∠AOC内时，∠BOC=90°-60°=30°； ②当在∠AOC外时，∠BOC=90°+60°=150°． 故答案为30°或150°. 【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形． 16. 若∠1和∠2是对顶角，∠1=35°，则∠2的补角是_______． 【答案】145° 【解析】 【分析】设∠2的补角为∠3，根据对顶角、补角的性质，可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，则∠2+∠3=∠1+∠3=180°，从而求出∠3的值. 【详解】设∠2的补角为∠3， ∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1=∠2， 又∵∠2与∠3是补角， ∴∠2+∠3=180°， 等角代换得∠1+∠3=180° ∴∠3=180°-35°=145°， 故答案为145． 【点睛】本题主要考查对顶角的性质以及补角的定义，是需要熟记的内容． 17. 整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，那么应先安排做4小时的人数为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设先安排x人做4小时完成，根据题意，求解即可． 【详解】设先安排x人做4小时完成，根据题意，得 ， 解得， 故答案为：2． 18. 当_____时，代数式可以合并成一项 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同列关于n的方程，求解即可． 【详解】解：可以合并，得 ． 解得， 故答案为：2． 三、解答题（本题共9小题，共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值意义，正确化简各数是解题关键． （1）先计算乘法，再合并同类二次根式即可； （2）先根据绝对值意义化简绝对值，并根据二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，正确的计算是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后化系数为1； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后化系数为1． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1，得； 【小问2详解】 解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，． （1）点的坐标为_______； （2）将三角形先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的图像是三角形，画出三角形； （3）三角形的面积为________． 【答案】（1） （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据坐标系中点的位置进行求解即可； （2）根据平移方式先确定、、对应点、、的位置，然后顺次连接、、即可； （3）根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 如图所示，三角形即为所求； 【小问3详解】 由图可知，， 故答案为：3． 22. 如图 ，，，， 将求 的过程填写完整． 解：∵（已知）， ∴（_______________________ ）， ∵， ∴（等量代换）， ∴_______ （_______________________）， ∴_______ （______________________）， ∵， ∴_________． 【答案】两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 故答案为：两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，． 23. 当时，整式的值是；当为何值时，这个整式的值为0？ 【答案】当时，整式的值为0 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、代数式的知识，根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到，再根据题意列方程并求解，即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， 要使得整式的值为0，则， ∴， 解得：， 即：当时，整式的值为0． 24. 如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°． (1)求证：AB∥CD； (2)求证：∠2+∠3=90°． 【答案】 证明：（1）∵DE平分∠BDC，BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角的平分线的定义）． ∴∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（ 等量代换）． ∵∠1+∠2=90°（已知）， ∴∠ABD+∠BDC=180°（ 等式的性质）． ∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行）． （2）∵∠1+∠2=90°， ∴∠BED=180°﹣（∠1+∠2）=90°， ∴∠BED=∠EDF+∠3=90°， ∵∠2=∠EDF， ∴∠2+∠3=90°． 【解析】 【分析】（1）首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2），进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案； （2）先根据三角形内角和定理得出∠BED=90°，再根据三角形外角的性质得出∠EDF+∠3=90°，由角平分线的定义可知∠2=∠EDF，代入得到∠2+∠3=90°． 【详解】略 25. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍相关点”． 例如，点的 “3倍相关点”的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的 “3倍相关点”的坐标为． （1）已知点的“倍相关点”是点，求的值； （2）已知点的“倍相关点”是点，且点在轴上，求点到轴的距离． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，“相关点”的定义，解题的关键是理解题意，理解“相关点”的运算． （1）根据相关点的定义即可求解； （2）先再根据点在轴上，得到其横坐标为0，即可求出的值，再根据相关点的定义求出点的纵坐标，进而求解； 【小问1详解】 解：点的横坐标为：， 点N的纵坐标为：， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在轴上， ∴点的横坐标为0， ∵点是点的“倍相关点”， ∴，解得：， ∴点的纵坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点到轴的距离为． 26. 某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件，且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、乙厂每天费用120元． （1）求这批校服共有多少件？ （2）为了尽快完成这批校服，若先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了， 而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是 甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲厂单独完成；方案二：由乙厂单独完成；方案三： 按(2)问方式完成；并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并 由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种即省时又省钱的加工方案． 【答案】（1）960件 （2）28天 （3）方案三既省时又省钱 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）设这批校服共有件，则可知甲厂需天，乙厂需要天，单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （2）可设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意找出等量关系，根据此等量关系列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③按（2）问方式加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【小问1详解】 解：设这批校服共有件，由题意得： ， 解得：． 答：这批校服共有960件； 【小问2详解】 解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，依题意有 ， 解得， ． 故乙工厂共加工28天； 【小问3详解】 解：①由甲厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由乙厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为28天，需要费用为：元． 所以，按方案三方式完成既省钱又省时间． 27. 已知，如图，平分平分． （1）如图1，探究与的数量关系并证明． （2）如图2，在（1）的条件下，过A作交于点H，平分，求的度数． 【答案】（1） 解：，证明如下： 如图，过点E作，过点F作， ， ， ∵平分， ， ， ∵， ， ， ∵平分， ， ， ， ， 即 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）过点作，过点作，利用角平分线的定义和两直线平行，内错角相等得出，再利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补即可得出结论； （2）设，，求得，推出，利用平行线的性质列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 解得∶， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $